Повышение порядка аппроксимации

ПОВЫШЕНИЕ ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ 561 [c.561]

ПОВЫШЕНИЕ ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ [c.563]

При сравнительной оценке методов с повышенным порядком аппроксимации и обычного метода конечных элементов следует учитывать, что последние значительно сложнее в программировании и требуют гораздо больше подготовительных операций, предшествующих решению системы уравнений. [c.564]

За счет введения в разностную схему значений функции / (т, и)вк точках, предшествующих искомой (/ + 1)-й точке, удается повысить порядок аппроксимации. Похожий прием использовался для повышения порядка аппроксимации в методе Рунге—Кутта, но там вычисление значений / (т, и) проводилось в точках интервала [т , [c.35]

Приведенное сравнение в какой-то мере отвечает на вопрос использовать ли элементы с повышенным порядком аппроксимации и с большим числом степеней свободы в узле либо ориентироваться на более простые элементы В большинстве случаев, особенно при решении больших задач, предпочтение следует отдавать первым элементам, так как они дают возможность достичь необходимой точности при меньшем порядке L разрешающей системы алгебраических уравнений (1.5), Это очень важно, так как при увеличении L обусловленность матрицы К ухудшается, а это может привести к невозможности достижения заданной точности, хотя порядок аппроксимации для используемых типов элементов может обусловливать эту точность. Критерием обусловленности матрицы К может служить спектральное число обусловленности а(К). Чем хуже обусловленность, тем больше а (К). В работе [63] дается оценка а (К), которая при равномерной сетке имеет вид [c.25]

Наряду с уменьшением погрешностей, связанных с уменьшением ширины размазанных разрывов, повышение порядка аппроксимации исключает дополнительные погрешности, накапливающиеся в подобластях непрерывности решения. Последнее отвечает сложившейся практике вычислений, которые по отношению к теоретическим оценкам принято проводить с некоторым запасом (по числу итераций и т.п.). Повышение порядка дает более ощутимый эффект, если оно сочетается с монотонностью схемы. В пользу этого свидетельствует сравнение результатов, полученных по немонотонной схеме второго [c.187]

Оценка требуемой точности решения. Вообще говоря, чем выше порядок точности метода, тем более точным будет полученный результат. Это утверждение справедливо лишь до некоторой степени, так как конечно-разностные аналоги производных по мере повышения порядка аппроксимации ведут себя все хуже и хуже Поэтому погрешность метода при переходе от пятого порядка к более высоким порядкам точности (что к тому же связано и с дополнительными громоздкими вычислениями) практически не убывает. Поскольку обычно достигается некоторый компромисс между объемом и точностью вычислений, то следует уделять внимание как выбору порядка точности метода, так и выбору величины шага. Поэтому большое распространение получили алгоритмы, в которых автоматически изменяется шаг интегрирования или порядок точности применяемого метода. [c.96]

Заметный акцент в монографии сделан на монотонные разностные схемы как наиболее работоспособные, на консервативные схемы. Удовлетворяющие на сетке физическим законам сохранения, и схемы повышенного порядка аппроксимации Получена и записана в форме. Удобной для практического применения, консервативная монотонная схема 2-го порядка аппроксимации Построена и исследована схема [c.5]

Теперь, следуя принятой методике повышения порядка аппроксимации на минимальном шаблоне, видоизменим оператор Аи, выразив из (3.42) = —Ц ы — / и [c.72]

Испытания на тестовых задачах (см. 5.1) показывают, что схемы повышенного порядка аппроксимации становятся наиболее эффективными при числах Рэлея Ра Ю , соответствующих развитой ламинарной кон-век ИИ. [c.79]

В связи с возможностью применения схем повышенного порядка аппроксимации для дифференциальных уравнений ЕК целесообразно улучшить аппроксимационные [c.87]

Рассмотренные нами монотонные схемы и граничные формулы обладают этими свойствами при сколь угодно больших шагах сетки, хотя при повышенном порядке аппроксимации действуют некоторые ограничения на отношение шагов. Недостаток метода Зейделя — неудовлетворительные показатели по скорости сходимости и вычислительной устойчивости в условиях развитой конвекции (Ка Ю ), даже в случае монотонных аппроксимаций. Нейтрализовать дестабилизирующее влияние числа Рэлея удается за счет введения в алгоритм параметров релаксации. [c.106]

Следуя общей идее повышения порядка аппроксимации на минимальном шаблоне и учитывая условия прилипания (1.33), записываем разложение [c.112]

Формула повышенного порядка аппроксимации построена в [51]. Выведем ее, ограничившись для простоты выкладок стационарным случаем. Для этого рассмотрим разложение в ряд Тейлора до членов 0 Щ) включительно. [c.112]

В работах [30—32] приводятся схемы, обладающие хорошими свойствами. Для уравнений этого типа используется разностная аппроксимация по т), обеспечивающая устойчивость. На рис. 6.6 приведены точки, которые используются при разностной аппроксимации производных по двум слоям, а также представлен шаблон, применяемый при аппроксимации производных по трем слоям в каждом направлении — и т]. Для повышения порядка аппроксимации в нормальном направлении используются значения функций в половинных узлах 1+ и, по этим значениям также определяются производные функций по д/д и д/дц. [c.334]

Для повышения точности аппроксимации производных по г следует выбирать меньший шаг сетки и переходить к сглаживающим интерполяционным формулам с разностями более высоких порядков (типа формул (45.1)). [c.328]

По сути первые шесть условий (1.24) в соответствии с (1.12) являются условиями полноты, так как обеспечивают р = 2. Остальные четыре условия (1.24) —условия повышенной точности, обеспечивающие р = 3. Проверка функций (1.23) на удовлетворение требований более высоко- н го порядка аппроксимации не получается, так как система [c.17]

При решении задачи статики многослойных панелей общего вида методом конечных элементов (МКЭ) на основе вариационных формулировок смешанного типа (4.41), (4.42) требования к выбору функций формы остаются такими же, как и в методе перемещений. В качестве функций формы конечного элемента наиболее часто используются алгебраические полиномы, порядок которых должен обеспечивать требуемую гладкость функций и их производных. В МКЭ важным требованием к функциям формы является требование воспроизводить в элементе однородное напряженно-деформированное состояние и, в частности, описывать смещение элемента как жесткого целого. Наиболее распространенный способ удовлетворения указанным требованиям состоит в повышении порядка аппроксимирующих полиномов. При этом используются полиномы более высокого порядка, чем это требуется, исходя из структуры вариационных уравнений, что приводит к увеличению обобщенных степеней свободы конечного элемента. Применение смешанных вариационных формулировок позволяет с помощью независимой аппроксимации деформаций и перемещений улучшить свойства конечных элементов. [c.190]

Хотя в [2-4] были продемонстрированы монотонность и работоспособность предложенной там модификации СГ и показано, что она значительно меньше, чем СГ, размазывает слабые скачки и контактные разрывы (см. также [6-8]), описанная в [2] модификация СГ не получила должного распространения и развития. Из причин, помешавших этому, главными представляются следующие. Во-первых, возможность повышения точности, связанная со вторым порядком аппроксимации уравнений установившегося течения, не реализовывалась из-за размазывания всех скачков и недостаточно точной аппроксимации граничных условий. Во-вторых, на тех же сетках модификация СГ из [2] из-за меньшего максимально допустимого шага интегрирования по времени требует увеличения времени счета. В-третьих, практически все расчеты в рамках указанной модификации велись на почти равномерных сетках, не адаптированных к данной задаче. В то же время на основе соображений [2] и прежде всего ПМП легко предложить почти очевидное обобщение, которое, сохраняя монотонность, обеспечивает первый порядок аппроксимации полной системы уравнений нестационарного течения на произвольных сетках. Далее под [c.202]

Исходный профиль задан ломаной с конечным размером отрезков. Для проведения коррекции в поле течения также в виде ломаной нужно построить критическую линию (к.л.), используемую затем в качестве линии начальных данных. В методе характеристик для каждого ее узла необходимо знать х, у, в ж ф. Остальные параметры определяются по р = р. Коррекция профиля производится на малую величину, порядка 1 Ч- 20% его толщины. Это обуславливает высокие требования к точности расчета. Результат особенно чувствителен к погрешности определения ф, так как по ф находится новая линия тока, определяющая форму скорректированного профиля. Для достижения высокой точности необходимо определять к.л. большим числом узлов 100-г 1000. Для получения такого числа узловых точек применялись двумерные кубические сплайны. Их контрольные узлы совпадали с центральными точками горизонтальных элементов сетки. Такое положение контрольных узлов выбрано для повышения точности аппроксимации в вблизи профиля, так как в точках профиля в совпадает с углом наклона его образующей. Сплайном сглаживаются ж, у, р, и, [c.258]

Это вызвано необходимостью включения для повышения порядка точности аппроксимации производных дополнительных интерполяционных узлов, что в свою очередь ведет к повышению степени аппроксимирующих полиномов, которые, как правило, с увеличением степени приобретают все более сложный немонотонный характер.— Прим.. ред. [c.96]

На низких частотах связь продольных и поперечных деформаций очень мала, все члены содержащие коэффициент к малы, и построенная модель вырождается в обобщенное плоское напряженное состояние. Нетрудно установить также, что при fг=0 с уменьшением к с точностью до членов первого порядка малости из (2.92) следует уравнение обобщенного плоского напряженного состояния (29.9). Аппроксимация (29.1), (29.2) является одной из возможных, и дальнейшее ее уточнение будет приводить к повышению порядка дифференциальных уравнений. [c.172]

Другим способом повышения порядка аппроксимации является введение промежуточных точек на сторонах многоугольников, в которых сопрягаются, наряду с вершинами, аппроксимируро-щие функции. Так, для треугольного элемента можно принять следующее выражение компоненты перемещения [c.562]

Интегрирование жестких уравнений, модификация раснадных схем с линией сетки в пучке разрежения, распадная маршевая схема для сверхзвуковых течений, алгоритм явного выделения фронта скачка, распадная схема повышенного порядка аппроксимации, обеспечение аннроксимации на произвольных сетках. [c.6]

При сверхзвуковой продольной компоненте скорости параболизованная система уравнений Павье-Стокса допускает маршевый метод решения [10, 11]. Численное решение получено с использованием стационарного аналога схемы Годунова [19] повышенного порядка аппроксимации. Использовалась реализация этого метода в виде схемы предиктор-корректор [20], обобщенный на трехмерный случай [c.340]

Здесь для повышения порядка аппроксимации введен предиктор (13), и соленоидальность поля скорости и требуется не на целом, а на полуцелом шаге, так что [c.149]

Если же по смыслу исходной задачи полная аппроксимация и абсолютная устойчивость не требуются, то применение операторов А и А оказывается естественным способом повышения порядка аппроксимации некоторых известных явных схем, не входящих в семейство (1.9), с сохранением их условной устойчивости. Заметив, что явная двухслойная схема (1.9) с Оо =0, 01= 1 абсолютно неустойчива, модифицируем в качестве примера одношаговую схему Лакса—Вендрофа. Не нарушая общности, рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами (1.20). Записав разложение в ряд вида =и" + гм + (т /2)и + 0(т ), где все произ-водаые взяты при 1 = 1 , заменим производные по времени производными по пространству, используя исходное уравнение (1.20). Для аппроксимации первых и вторых производных по х воспользуемся соответственно операторами А А и Дг. Окончательно получим схему с погреишостью 0( +И + тН ) [c.29]

Об аппроксимации диффузных членов. При конструировании разностных алгоритмов для уравнений переноса с диффузионными членами в большинстве случаев, представляющих интерес, первостепенную роль играют способы аппроксимаций конвективных членов именно они определяют архитектуру всего метода в целом. Это связано со следующими обстоятельствами. Во-первых, диффузионные члены чаще всего пренебрежимо малы во всей расчетной области, за исключением ее подобластей с малыми характерными размерами. Поэтому структуру решений в значительной мере определяет конвекция и, следовательно, ее разностная аппроксимация, Во-вторых, диффузионные члены содержат в себе самосопряженные операторы, надлежащие разностные аналоги которых не ухудшают устойчивость алгоритма и часто улучшают свойства разностных решений. Вместе с тем в случае неявной схемы повышенного порядка аппроксимации наличие диффузии в математической модели может несколько усложнить реализацию численного алгоритма. Именно так обстоит дело при использовании для агшроксимации первых производных формул компактного численного дифференцирования. [c.48]

Ускорение сходимости итераций при увеличении шага hi делает желательным повышение порядка аппроксимации схемы в продольном направлении. Это можно осуществить, в частности, используя разнесенные сетки [99]. Оказывается возможным также повысить порядок аппроксимации относительно hi до третьего, если использовать схему (1-52) из гл. 1. Однако при этом структура разностных уравнений для каждого слоя х = = onst существенно усложняется. [c.211]

Здесь используются монотонная разностная схема с повышенным порядком аппроксимации по координатам [2] решение задачи о распаде произвольного разрыва для вычисления потоков через границы ячеек [13, 14] безотражательные граничные условия для характеристических переменных [15] граничные условия в неявном виде. Применена комбинированная расчетная сетка типа "О + Н". [c.12]

В предлагаемой модификации схемы [1, 2] повыгаение порядка аппроксимации и уменыаение эффектов размазывания обеспечивается дополнительным этапом, который предшествует вычислению так называемых больших величин в задаче о распаде разрыва. Указанный этап включает введение вспомогательных ( фиктивных ) точек, параметры в которых определяют в соответствии с ориентацией характеристик большие величины на полушаге. Параметры в фиктивных точках находятся интер- или экстраполяцией согласно принципу минимальных значений производных [3]. В результате счет ведется на шаблоне, который зависит от текущих параметров и на который не распространяется теорема [1] о немонотонности разностных схем второго порядка. В общем случае при наличии размазанных разрывов погрешности разностного решения в областях влияния разрывов пропорциональны их ширине А, а следовательно, порядок разностной аппроксимации задачи снижается до первого [2, 4]. Несмотря на это, использование схем повышенного порядка для сквозного построения разрывных решений целесообразно по следующим причинам. [c.186]

В обзорном докладе Кеттона [63] на 6-й Международной конференции по теплообмену (Торонто, 1978) критериальные уравнения (5.9), (5.10) признаны лучшими из существующих аналогичных соотношений по конвективному теплообмену при H/L l. Хорошая точность вычисления Nu вплоть до Ra l0 достигнута во многом благодаря применению формулы повышенной точности (4.54) совместно с разностной схемой 4-го порядка аппроксимации. [c.143]

Применение алгоритмов повышенной точности для уравнения Пуассона подразумевает использование аппроксимаций производных Ъф/Ъх и 9 ф1Ъу достаточно высокого порядка. Это легко осуществляется, например, если в формулах (1.10) положить 5о = (Л5) А /2, 5оу = = (Л2) А2/2 тогда дпя определения скоростей потребуются скалярные трехточечные прогонки. Как известно, весьма важную роль в разностных алгоритмах решения уравнения (1.4) играет формулировка граничного условия для завихренности на твердой поверхности. Обсуждение этих условий содержится, например, в [1]. Если не заботиться о повышении порядка а1шроксимации алгоритма, то все они, в принципе, могут быть использованы в сочетании с разностными уравнениями (1.9) и разностным аналогом уравнения Пуассона, записанным на пятиточечном шаблоне. В историческом плане первыми условиями для завихренности на твердой поверхности были условия Тома [78] и Вудса [79], имевшие соответственно первый и второй порядок точности. [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...