Аналитический метод решения (метод Фурье)

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ (МЕТОД ФУРЬЕ) [c.88]

Аналитические методы решения уравнения теплопроводности (8.1) первоначально были развиты в работах Фурье и в дальнейшем нашли широкое применение в самых разнообразных областях математической физики. В этом методе зависимая переменная в уравнении (8.1) выражается в виде произведения двух независимых функций, из которых одна является функцией только координат, а вторая функцией только времени. Метод Фурье применительно к фундаментальным задачам теории теплопроводности был подробно разработан и доведен до инженерного расчета Г. Гребером, X. С. Карслоу, А. Н. Тихоновым и другими исследователями. [c.101]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Аналитическое решение задачи теплопроводности должно удовлетворять не только приведенному выше уравнению передачи тепла теплопроводностью, но и граничным условиям, соответствующим физическим условиям решаемой задачи. Классическим методом решения уравнения Фурье является метод разделения переменных. [c.24]

Система с вязким демпфированием долгое время рассматривалась как единственный тип демпфирующего механизма, для которого тем или иным методом могут быть получены аналитические решения уравнения движения, включая сюда прямой метод и методы, основанные на преобразованиях Фурье и Лапласа. [c.162]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Тело (плоская пластина, цилиндр, шар) имеет одинаковую во всех точках температуру перегрева над окружающей средой и к моменту времени = О погружается в охлаждающую среду с температурой = 0. Необходимо найти температурное поле во времени внутри тела, когда коэффициент теплообмена на его поверхности а принят постоянным. Аналитическое решение данной задачи можно получить методом Фурье. Для одномерного случая решение можно записать в виде [c.196]

Изящные примеры использования оптических преобразований были обнаружены в рентгеновской кристаллографии, где, как отмечено в гл. 2, формирование изображений атомов не может быть выполнено непосредственно, потому что отсутствуют линзы, которые могут быть использованы для сведения дифрагированных рентгеновских лучей. Отметим, что если зарегистрированы только интенсивности, то фурье-сум-мирование не может быть выполнено ни аналитически, ни экспериментально из-за отсутствия данных о фазах. В годы формирования указанного направления исследований У. Л. Брэгг сыграл ключевую роль в разработке методов оптического фурье-анализа для рассмотрения и решения этой и других проблем рентгеновской кристаллографии. Несмотря на то что развитие ЭВМ привело к машинным методам решения фазовой проблемы , работа Брэгга явилась важным вкладом в широкую область оптической обработки. В качестве основной литературы по развитию и применениям оптических методов к дифракции рентгеновских лучей, читатель может обратиться к работам, упомянутым в начале этого раздела. [c.99]

На начальной стадии ВКР аналитическое решение (8.3.7) можно использовать для получения как формы, так и спектра импульса ВКР [102]. Эволюция спектра определяется модуляцией частоты за ФКМ. Динамика частотной модуляции обсуждалась в разд. 7.4.1 в связи с асимметричным уширением спектра, обусловленным ФКМ (см. рис. 7.11). Модуляция частоты, вызванная ФКМ при ВКР, идентична приведенной на рисунке, пока накачка остается неистощенной. Заметим, что в области положительной дисперсии стоксов импульс распространяется быстрее импульса накачки. В результате частотная модуляция наиболее сильна в задней части стоксова импульса. Следует подчеркнуть, что форма и спектр импульса существенно изменяются, когда в рассмотрение включается истощение накачки [94, 99]. Возрастающий импульс ВКР воздействует сам на себя через ФСМ и на импульс накачки через ФКМ. Эти эффекты нельзя описать простым аналитическим решением, и для понимания эволюции ВКР необходимо численное решение уравнений (8.3.1) и (8.3.2). Для этой цели можно использовать обобщение метода Фурье из разд. 2.4. Метод требует определения стоксова импульса на входе в световод согласно (8.1.10). [c.238]

Аналитические методы определения динамических характеристик объектов основаны на составлении их дифференциальных уравнений, которые базируются на использовании физических законов сохранения массы, энергии и количества движения. Таким путем удается получить нелинейное уравнение динамической характеристики, однако решить его аналитически не удается. Следующим этапом является линеаризация уравнения, т. е. переход к линейной математической модели объекта. Линеаризацию обычно проводят разложением нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в приближении исходного стационарного режима с сохранением только линейной части разложения и последующим вычитанием уравнений статики. Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнения при ступенчатом или импульсном изменении входных величин позволяет получить переходные функции — кривые разгона или импульсные временные характеристики объекта. Рещение часто приводит к области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получаются передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики. Для выявления динамической характеристики котла аналитическим путем необходимо построение его математической модели. [c.498]

Решение можно искать, разбивая область течения на две, с помощью дуги, проходящей через точку, соответствующую третьей характерной скорости. Тогда к каждой из отдельно рассматриваемых областей применим непосредственно метод Фурье и функции тока, определяемые особыми рядами, построенными для каждой отдельной области, должны удовлетворять условиям аналитического продолжения на линии, разделяющей области. [c.485]

Неизвестными в уравнении (129) являются коэффициенты Фурье Л в разложении циркуляции (106). Ограничиваясь конечным числом членов в сумме, стоящей слева в уравнении (129), и разбивая интервал (О, Jt) изменения 0 на соответствующее числу неизвестных число промежуточных интервалов, можно получить систему линейных алгебраических уравнений относительно А . Решение такой системы в настоящее время не представляет особой сложности в связи с тем, что имеется большое число приближенных аналитических методов и, кроме того, задачи этого рода допускают простые решения иа вычислительных машинах. [c.399]

Широко распространенным явился метод, использующий предположение о возможности разложения циркуляции по размаху крыла в виде бесконечного тригонометрического ряда по синусам кратных дуг, принадлежащего к ряду типа Фурье. Точное решение получаемой системы линейных уравнений требует, чтобы оно удовлетворялось во всех точках размаха, что возможно только в случае бесконечного ряда. Таким образом, необходимо решение системы линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. В связи с этим основная задача теории крыла конечного размаха сводилась к отысканию различных приближенных методов решения как геометрических, так и аналитических. [c.285]

Логическая схема феноменологической теории теплопроводности. Четыре этапа использования феноменологического метода (рис. 2.6) позволяют получить дифференциальное уравнение Фурье. Это уравнение описывает множество процессов теплопроводности и поэтому имеет множество решений. К уравнению Фурье присоединяются геометрические, физические, временные и граничные условия однозначности. Поставленная таким образом задача разрешается либо аналитическим, либо численным, либо экспериментальным методом. В последнем случае используют методы физического подобия [7, 151 или физических аналогий [16]. В теории теплопроводности сравнительно большое распространение получили аналитические и численные методы решения [14]. [c.202]

Уравнение (4.6) может быть решено аналитически следующими методами Фурье, Дюамеля, функций Грина, интегральных преобразований, операторным, тепловых потенциалов и методом источников тепла. Последний из них нашел широкое применение для решения задач теплофизики резапия материалов [22. [c.95]

После решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепло- вые потоки. Заметим, что аналитическое решение данной задачи возможно лишь для тел правильной геометрической формы и при достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях такие задачи решаются численными или экспериментальными методами. [c.164]

Анализ вибрации и распространения волн в вязкоупругих композитах проведен в [1]. Причем основное внимание уделено расчету поведения при стационарном гармоническом нагружении. Хорошо известно, что, используя свойство интеграла Фурье, решения для стационарного случая можно применить для расчета поведения при нестационарных воздействиях произвольного вида. Обсудим вкратце этот подход с точки зрения применения к решению задачи алгоритма FFT [20]. В динамическом анализе композитов используются и другие методы, например преобразование Лапласа [1] и метод характеристик [21]. Однако есть основания полагать, что точность и вычислительная эффективность алгоритма РТТ плюс легкость получения стационарного поведения при помощи упругих решений делают этот подход наиболее привлекательным. Здесь представляет интерес также удобство применения численных или очень общих аналитических представлений комплексных модулей (податливостей). [c.196]

Метод частотных характеристик основан на применении интегральных преобразований для решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа широко используются как для аналитического, так и для численного решения разнообразных теоретических и прикладных нестационарных задач в областях автоматического регулирования, связи, радио- и электротехники, теплофизики и во многих других [Л, 50, 62—65]. [c.98]

Посредством различного выбора единиц Фурье без труда показал, что одни и те же аналитические формулы дают как решения задачи об охлаждении сфер малых размеров так и задачи об остывании Земли. Поскольку нас интересует соотношение теории и фактических данных, то здесь уместно заметить, что выводы Фурье были не правомочны, так как он не учитывал конвекции и радиоактивного нагрева земного ядра. Тем не менее его метод исключения параметров путем изменения единиц стал теперь классическим и применяется со значительным (хотя и не одинаковым ) успехом во многих разделах физики. Стокс, Савар, Фруд, Рейнольдс, Ваши и многие другие исследователи с успехом использовали этот метод и установили ряд законов фундаментального значения. [c.120]

Классический метод аналитического решения в этом случае может быть получен, если представить периодический график = [ (а) рядом Фурье, т. е. записать [c.213]

Упрощенные уравнения в стационарном случае приводятся к уравнениям в частных производных, в которые нелинейность обычно входит простым образом. В неодномерном случае их, как правило, не удается решить аналитически. Однако в большинстве случаев легко можно определить, имеет данное уравнение солитонное решение или нет. Общая математическая теория этих вопросов в случае неодномерных задач, если они относятся к неинтегрируемым, пока не разработана. В [2.5] предложен простой алгоритм, позволяющий найти солитонное решение. По этому алгоритму легко получить такое решение численным методом. К сожалению, с его помощью не всегда удается определить, является ли локализация решения экспоненциальной или степенной. В [2.5] указано, что с помощью преобразований Фурье или Фурье-Бесселя уравнения солитонов приводятся к однородному нелинейному интегральному уравнению вида [c.39]

Аналитическое решение двумерных уравнений Навье — Стокса для потока жидкости в открытых капиллярных каналах Г58] показывает, что наличие касательного напряжения на свободной поверхности жидкости приводит к увеличению коэффициента трения в жидкости в 2—3 раза. Уравнения Навье — Стокса решались для ламинарного потока жидкости методом преобразования Фурье при следующих граничных условиях. Скорость жидкости у капиллярных стенок равна нулю, градиент скорости на оси равен нулю, а свободная поверхность жидкости испытывает касательное напряжение Тщ, постоянное по величине, так как газовый поток не зависит от течения жидкости в капиллярах. Решение уравнений Навье — Стокса получено в следующем [c.114]

Возможности программного обеспечения аналитические команды позволяют выполнить следующие операции вычисление собственных векторов и собственных значений, арифметические действия над матрицами, обращение матриц, решение линейных уравнений, идентификацию по методу наименьших квадратов, декомпозицию по вырожденным значениям, быстрое Фурье-преобразование, расчет цифровых фильтров, статистические расчеты и др. Команды анализа и проектирования линейных систем управления определены как опции. Графические команды позволяют получать графики разных типов логарифмические, полулогарифмические, в полярных координатах, трехмерные. [c.333]

Аналитические методы определения характеристик объектов регулирования основаны на составлении их дифференциальных уравнений. Составление дифференциальных уравнений базируется на использовании основных физических законов сохранении массы, энергии и количества движения. Как правило, таким путем удается получить нелинейное уравнение объекта, аналитическое решение которого в общем случае не может быть получено. Следующим шагом является линеаризация полученного уравнения, т. е. переход к линейной математической модели объекта. Линеаризация обычно проводится путем разложения нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в окрестности исходного станционарного режима с сохранением только линейной части разложения и последующим вычитанием уравнений статики. Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива лишь при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнений при ступенчатом или импульсном изменении входных величин позволяет получить соответственно переходные функции (кривые разгона) или импульсные временные характеристики объектов. Решение часто проводят в области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получают соответственно передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики. [c.817]

Свободные колебания жидкости в неподвижном сосуде. Рассмотрим подробнее вспомогательную краевую задачу для определения колебании жидкости в неподвижном сосуде и методы ее решения. Для некоторых простых полостей эта задача решается методом разделения переменных Фурье. В общем случае ее можно решить на ЭВМ интегральным методом Ритца или другими методами с использованием аналитических решений для простейших полостей [I]. [c.287]

Уравнение распространения (2.3.35)-нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря, нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассеяния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в световодах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов [31-38], которые можно отнести к одному из двух классов 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные методы на порядок или даже более быстрее при той же точности счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом по сравнению с большинством методов конечных разностей достигается благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобра-зования [40]. В этом разделе кратко описывается фурье-метод с расщеплением по физическим факторам, а также его применение для задачи распространения импульсов в волоконном световоде. [c.49]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Краевая задача (41) называется задачей Трикоми (для уравнения Чаплыгина (22.47)). В послевоенных работах Ф. И. Франкля и его последователей эта задача получила исчерпывающее решение, причем оказалось, что для нее, как и для задач об истечении дозвуковых струй, эффективен метод Фурье (разделение переменных с последующи.м представлением решения в виде рядов по частным решениям). Напротив, задача (39) при < ц, принадлежащая к классу так называемых обобщенных задач Трикоми, оказывается очень трудной, хотя и решалась приближе1п10 численными методами рядом авторов. Здесь необходимы дальнейшие аналитические исследования, В частности, представляет большой интерес асимптотическое поведение трансзвукового течения, когда щ г со стороны > с. [c.306]

Мауэ решил оба уравнения аналитически для круговых цилиндров при произвольных kR. Это решение, полученное с помощью рядов Фурье, снова приводит к классическому решению методом разделения переменных (разд. 15.33) и поэтому не дает преимущества для численных расчетов. Франц и Депперман рассматривали оба уравнения в предельном случае больших / . Числовые результаты ограничиваются бегущей волной, т. е. асимптотическим видом v P) в теневой части поверхности далеко от края (разд. 17.32), а также нахождением путем итерации значеиия в краевой точке. Совпадение с результатами Фока для случая II превосходно, а именно о( ) = 1,399 Опад.( )- На основании вариационного принципа Кодис (1956) получил для [c.417]

Более того, когда для решения этой же задачи был использован классический метод рядов Фурье в предположении, что воздействие на систему циклическое с периодом N М, соответствие перемещений с точным решением не было столь же хорошим при одинаковом числе точек N. Даже если начинать с аналитического представления коэффициентов Фурье для сил, вычислительное время для классического преобразования Фурье значительно больше времени быстрого преобразования. Причем в последнем случае вычисляются как преобразование силы, так и обратное преобразование перемещения. Это связано с тем, что время для выполнения алгоритма FFT пропорционально N og2N, тогда как простое суммирование рядов Фурье с N членами в N точках требует времени, пропорционального N . [c.199]

Хотя ряды при решении нелинейных краевых задач используются чрезвычайно широко, далеко не всегда они обладают перечисленными свойствами. Так, ряды Тейлора зачастую сходятся медленно и при этом в небольших областях, применение рядов Фурье для нелинейных уравнений приводит, как правило, к бесконечным системам нелинейных уравнений для определения коэффициентов, которые необходимо обрезать и решать затем приближенно. В то же время наличие точных методов нахождения коэффициентов рядов позволяет даже при небольшой области сходимости и медленной скорости сходимости ряда применять современную технику аналитических продолжений (например, аппроксиманты Падэ), ускорения сходимости, определять характер особенностей. Разумеется, каждый конкретный ряд позволяет получить аналитическое решение в какой-либо области в предположении, что в ней отсутствуют разрывы. Тем не менее, при построении обобщенных решений, в частности уравнений гиперболического типа, выделяя линии разрывов решений или каких-либо их производных, можно с помощью операций сшивок рядов получать конструктивные описания решений и в этих случаях. [c.238]

Уравнение (1) с граничными условиями (2), (3) может быть проинтегрировано по схеме конечных разностей, начиная с любого начального распределения температуры, например методом Дюзинберре [11]. Этот метод использован в программе для температурных расчетов TRATER 3, которая применялась авторами настоящей работы. Однако с точки зрения времени вычислений некоторое преимущество может иметь аналитическое решение. Уравнение (1) является уравнением Фурье и может быть проинтегрировано с помощью преобразования Фурье при известной зависимости температуры жидкости Tf от времени. Поскольку для нее обычно принимается линейный закон, то интегрирование представляет собой довольно простую задачу. При этом для Т получается следующее выражение [c.178]

L. М. Вгоск [74] получил аналитическое решение задачи о вертикальном ударе тонким клином с помош,ью интегральных преобразований Фурье и Лапласа и с использованием метода Каньяра. [c.380]

Остановимся теперь на контактных задачах, относящихся к равновесию бесконечного цилиндра. При рассмотрении этих вопросов наиболее эффективным оказывается метод парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Фурье по осевой координате. Характерной особенностью этого способа является то обстоятельство, что в случае полубесконечной области контакта эти уравнения допускают точное решение с помощью методов теории функций комплексного переменного, опирающихся на возможность факторизации аналитической функции, заданной в полосе. Первой работой этого направления явилась статья Б. И. Когана (1956), посвященная изучению осесимметричного напряженного состояния бесконечного цилиндра, зажатого без трения в полубеско-нечную ж есткую обойму. В предположении, что в области контакта задано постоянное радиальное смещение, задача сводится к парным уравнениям вида [c.38]

Для решения динамических контактных задач с односторонними, ограничениями для упругих тел с трещинами нами разработан специальный алгоритм типа Удзавы. Этот алгоритм состоит из двух частей решения соответствующих задач без односторонних ограничений и проектирование полученного решения на подпространство, в котором эти ограничения выполняются автоматически. Первая часть алгоритма, т. е. решение задачи без ограничений, включает в себя выполнение прямого и обратного преобразований Лапласа, или, в случае гармонического нагружения, вычисление коэффициентов Фурье и суммирование рядов Фурье, а также решение граничных интегральных уравнений в пространстве преобразований Лапласа или коэффициентов Фурье. Из-за сложности рассматриваемых здесь контактных, задач (эти задачи нелинейны) аналитически выполнить прямое и обратное преобразования Лапласа или вычислить коэффициенты Фурье не представляется возможным. Поэтому для этой цели применялись численные методы. Вопросы, возникающие при этом, обсуждаются в шестой главе. [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...