Задача Трикоми

Краевая задача (1.7)-(1.8) или (1.11)-(1.12) имеет много общего с задачей Трикоми для уравнения смешанного типа — гиперболического при г > о и эллиптического при г < 0. [c.94]

В этой работе Ф. И. Франкль также показал, что задача об истечении сверхзвуковой струи сводится к так называемой граничной задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина. [c.36]

Задача Трикоми состоит в отыскании решения уравнения смешанного типа в области, содержащей отрезок линии вырождения и ограниченной (в подобласти гиперболичности) характеристиками, выпущенными из его концов. Условие для искомой функции ставится на незамкнутом контуре, состоящем из одной характеристики и границы эллиптической подобласти без отрезка линии вырождения. На рис. 1.19 указана область определения задачи Трикоми и ряда родственных задач. [c.51]

Однозначная разрешимость задачи Трикоми доказана как для уравнения Трикоми, так и для уравнения Чаплыгина. При доказательствах принимается ряд ограничений относительно формы области вблизи линии вырождения. [c.51]

Если в физической плоскости звуковая линия криволинейна и в дозвуковой части нет сверхзвуковых включений, то функция тока удовлетворяющая уравнению Чаплыгина, является решением задачи Трикоми-Франкля, формулируемой в некоторой области К АВС (рис. 3.2). Ее граница состоит из отрезка АК оси /3 = 0, характеристики КС и кривой АВС, сверхзвуковой участок которой, ВС, лежит внутри характеристического треугольника КВВ и пересекает каждую характеристику первого или второго семейства, проведенную в этом треугольнике, не более одного раза. На АК и АВС, образах оси симметрии и стенки сопла, ф принимает постоянные, но различные значения, например О и 1. [c.80]

Разрыв первого рода в точке О соответствует бесконечно удаленной точке. Итак, сформулирована обобщенная задача Трикоми. (Краевое условие (5) одинаково для плоского и осесимметричного течений). [c.105]

Как известно [11], задача Трикоми с непрерывным граничным условием для уравнения Чаплыгина корректна. Сформулированная задача отличается от нее тем, что граничное условие имеет разрыв первого рода. Однако в классе ограниченных функций такая задача тоже корректна (см. 8). [c.106]

Простейшей краевой задачей здесь, по-видимому, будет задача Трикоми, в которой граничное условие в дозвуковой области задано на кривой, не ортогональной звуковой линии. [c.216]

Теорема существования и единственности решения задачи Трикоми рассматривалась К. И. Бабенко [93] для уравнения Трикоми ему удалось снять обычно накладываемое ограничение на форму контура в дозвуковой части вблизи звуковой линии (это условие требует по меньшей мере ортогональности контура звуковой линии). При этом решение обладает свойством, что его производные могут обращаться в бесконечность порядка ниже 2/3 (т.е. фи,Фу = 0 и + где > 0). Покажем, что это решение (точнее говоря, решение сформулированной выше задачи об угловой точки в струе) не может быть представлено в виде асимптотического ряда по решениям уравнения Трикоми (10) со степенными особенностями на звуковой линии. [c.216]

Указанные граничные условия определяют для уравнения Чаплыгина задачу Франкля, обобщенную в том смысле, что на части границы в области эллиптичности задано условие косой производной . Обобщенная задача Трикоми изучалась впервые Ф.И. Франклем, доказавшим теорему единственности обтекания конечного клина с отошедшей ударной волной [104 [c.293]

Предположим, что при обтекании клина звуковой струей существуют два течения, соответствующие двум задачам Трикоми с различными значениями параметра /3 . Положим фх 2 = О на Ф, 2 = 1 на [c.299]

Это ему удалось сделать с помощью выбора аппроксимации уравнения Чаплыгина и зависимости давления от плотности. Задаче в такой постановке соответствует некоторая модель газа ( газ Трикоми ) при скоростях, незначительно отличающихся от скорости звука. Пользуясь этим способом, [c.333]

Таким образом, исследования в области околозвуковых скоростей стали интенсивно развиваться с середины 40-х годов, когда были получены серьезные теоретические результаты в плоской задаче и решен ряд важных практических задач. Существенное значение в этом сыграли установление связи между уравнениями Чаплыгина и Трикоми, вывод закона околозвукового подобия, выяснение условий разрушения потенциального потока и т. д. Определенный успех был достигнут благодаря применению численных методов. [c.335]

Одним из наиболее простых уравнений смешанного типа, на важность применения которого к решению газодинамических задач с переходом через скорость звука указал Ф. И. Франкль ) (1945), является уравнение Трикоми ) [c.36]

Особенности решения задач в переменных годографа. Предельная линия. Уравнение Эйлера-Трикоми. Характеристики. Уравнение для потенциала плоского почти однородного трансзвукового течения газа. [c.131]

Несмотря на большой интерес к изучению течений с переходом через скорость звука, в их теории вследствие сложности исследования все еще много нерешенных задач. Наибольшее продвижение достигнуто в теории плоских потенциальных околозвуковых течений газа. Это продвижение связано в основном с использованием переменных годографа, в которых уравнения движения газа становятся линейными (см. 3), причем в околозвуковом приближении уравнение для функции тока сводится к уравнению Эйлера—Трикоми (6.26). Линеаризация уравнений в исходных переменных в рамках теории малых возмущений скорости, как уже говорилось ранее, при околозвуковых скоростях невозможна. [c.384]

Рассмотренная в [93] задача Франкля возникла при обсуждении формы скачка уплотнения, замыкающего местную сверхзвуковую зону у профиля, после того как Ф. И. Франклем было построено точное решение уравнения Трикоми в плоскости годографа, призванное дать асимптотическое описание такого течения [104]. Это решение, однако, не могло быть физически реализовано ввиду образования складки в физической плоскости. К сожалению, математические исследования этой задачи (рис. 1.20) концентрировались лишь вокруг вопросов ее разрешимости (в плоскости годографа), в то время как аэродинамику интересует конечный результат — существование такого течения в физической плоскости. [c.52]

Сначала задача была решена приближенно, путем сведение ее к краевой задаче для уравнения Трикоми (вместо уравнения Чаплыгина) с интегральным краевым условием на звуковой линии. Действительно, для решения уравнения Трикоми в характеристическом треугольнике с однородным граничным условием на характеристике имеет место [10, 11] соотношение между функцией тока и ее нормальной производной на звуковой линии [c.106]

После работы [70] проблема корректности обтекания профиля рассматривалось Ф.И. Франклем [104, с. 385]. Им было высказано соображение ( аргумент Франкля ), основанное на представлении о единственности решения некоторой краевой задачи, аналогичной изученной ранее задаче Франкля для уравнения Трикоми, что было позже доказано К. Мора-вец [19, 150]. [c.172]

Рассмотрим решение некоторой смешанной краевой задачи типа Трикоми для уравнения в области В, состоящей из подобласти дозвуковых скоростей и сверхзвуковой подобласти, ограниченной в плоскости иу отрезком звуковой линии и характеристикой первого семейства, на которой задано условие ф = О (что влечет, в силу 13 гл. 1 наличие угловой точки в физической [c.203]

Для обоснования правомерности приема Франкля следовало доказать существование и единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина. Это сделал Ф. И. Франкль (1947) для обобщенной задачи Трикоми (характеристика, на которой заданы граничные условия, заменяется некоторой другой кривой) Позднее, в 50-х годах, были предложены различные доказательства существования и единственности решения задачи Трикоми (Г. Гудерлей, К. Моравец, А. В. Бицадзе и др.). [c.333]

Ф. И. Франкль (1947) первый указал на возможность математической некорректности задачи об обтекании фиксированного тела с безударной (бесскачковой) местной сверхзвуковой зоной. Опираясь на теорему единственности решения обобщенной задачи Трикоми для уравнений типа уравнений Чаплыгина, он провел рассуждение, которое, не будучи доказательством, сделало в глазах специалистов его предположение о некорректности упомянутой выше задачи о бесскачковом течении весьма вероятным (это рассуждение Ф. И. Франкля получило в литературе название аргумента Франкля ). Указанное рассуждение Ф. И. Франкля легло в основу последующего доказательства для течений, близких к заданному, теоремы о некорректности указанной выше краевой задачи безударного обтекания, выполненного в США К. Моравец. [c.102]

Ф. И. Франклю принадлежит также постановка задачи о построении обтекания некоторых, заранее неизвестных профилей при наличии местной сверхзвуковой зоны, заканчивающейся прямым (1956) или непрямым (1957) скачком уплотнения. Указанная постановка задачи сводится к заданию в плоскости годографа скорости данных, соответствующих некоторой обобщенной задаче Трикоми. В результате решения этой задачи должен отыскиваться и сам обтекаемый профиль. Указанные задачи получили название ударных задач Франкля их приближенным аналитическим и численным решением для конкретных заданий исходных данных и анализом особенностей занимался ряд авторов (И, Бийбосунов, Ч. Джа-ныбеков, В. Б. Виленчик, Э. Керимгазиев, И. Н. Ланин). Сам Франкль тоже посвятил ряд работ конкретным исследованиям в указанной области. Обзор и библиографию работ читатель найдет в монографии Р. Г. Баранцева Лекции по трансзвуковой газодинамике (1965). [c.102]

Обобщенная задача Трикоми отличается от задачи Трикоми тем, что область гиперболичности ограничивается нехарактеристической кривой (на ней задано граничное условие), которая пересекает каждую характеристику обоих семейств не более одного раза. Обобщенная задача Трикоми представляет наибольший интерес для аэродинамики, так как к ней сводится задача профилирования контура тела. Кроме того, эта задача может входить как составной элемент в алгоритм решения прямой задачи внешнего или [c.51]

Отличие задачи профилирования от задач, рассмотренных в 7, 8 состоит в том, что вместо обобщенной задачи Дирихле или обобщенной задачи с наклонной производной рассматривается либо обобщенная задача Трикоми-Франкля, либо франклевское обобщение смешанной задачи (задачи с наклонной производной). Формулировки этих задач проиллюстрированы на рис. 3.18. Кривая в сверхзвуковой области пересекает каждую характеристику не более одного раза. Если Ь — характеристика, то ее прообраз — угловая точка. [c.99]

В общем случае задача Трикоми решалась численным методом в области эллиптико-гиперболического типа уравнения Чаплыгина с использованием [c.107]

Идея сведения задачи профилирования сопла к корректной математической задаче основана на использовании плоскости годографа [94, 95. Выбрав (почти произвольно) область определения решения для функции тока, подчинив ее лишь некоторым общим условиям, сформулируем задачу Трикоме-Франкля или Дирихле (первую — для случая криволинейной, вторую — для случая прямой звуковой линии в физической плоскости). Решив задачу численным методом, получим возможность для вычисления координат стенки сопла путем интегрирования вдоль границы области. [c.115]

Таким образом, для разности решений ф = Ф2 — Фг имеет место задача Трикоми с непрерывным граничным условием (рис. 10.9) ф = О на С/2 0СС1, = -02 на 1(12 [c.300]

Другой конец этой кривой не может лежать ни на границе й2Ъос (тогда в соответствии с принципом максимума для эллиптических уравнений было бы ф = 0), ни в интервале ( 16 2, линии Л = 1 (где ф = Ф2 > ), в интервале линии Л = 1 (по принципу экстремума [20, с. 84], для решений задачи Трикоми, обращающихся в нуль на характеристике, было бы ф = 0). [c.300]

Краевая задача (41) называется задачей Трикоми (для уравнения Чаплыгина (22.47)). В послевоенных работах Ф. И. Франкля и его последователей эта задача получила исчерпывающее решение, причем оказалось, что для нее, как и для задач об истечении дозвуковых струй, эффективен метод Фурье (разделение переменных с последующи.м представлением решения в виде рядов по частным решениям). Напротив, задача (39) при < ц, принадлежащая к классу так называемых обобщенных задач Трикоми, оказывается очень трудной, хотя и решалась приближе1п10 численными методами рядом авторов. Здесь необходимы дальнейшие аналитические исследования, В частности, представляет большой интерес асимптотическое поведение трансзвукового течения, когда щ г со стороны > с. [c.306]

В то же время нри решении прямой задачи для области А В АВ на поверхности АВ (рис. 1.5), расположенной в сверхзвуковой области, не требуется постановки каких-либо граничных условий. Единственность решения краевой задачи в области А В АВ для нелинейных уравпений газовой динамики до настоящего времени в общем случае не доказана, хотя и получен ряд численных решений. Лишь для случая сверхзвукового истечения струи из плоского отверстия, когда задача сводится к задаче Трикоми, имеется доказательство единственности и получено аналитическое решение в виде рядов [208]. Решение прямой задачи в области А В АВ существует лишь при критическое значение расхода г1з,с тем меньше, чем меньше радиус кривизны контура в минимальном сечении. В работе [209] содержится попытка доказательства неединственности значения для сонла заданной формы. При этом в окрестности минимального сечения поток должен переходить через скорость звука. Характер течения должен онределяться его предысторией и зависеть от того, каким образом установилось критическое значение расхода. Строгого доказательства эта идея не получила. В то же время показана (при решении прямой задачи в вариациях) единственность критического расхода при работе сопла в расчетном режиме [174, 209]. Идея о неедипственности критического расхода, особенно в случае течения газа с неравновесными физико-химическими превращениями, представляется весьма правдоподобной. [c.37]

Ф. И. Франкль (1944, 1945) обнаружил непосредственную связь плоских задач трансзвуковой аэродинамики с исследованиями итальянского математика Ф. Трикоми по теории линейных уравнений в частных производных второго порядка смешанного эллиптико-гиперболического типа. Франкль выяснил, что в окрестности скорости, равной скорости звука, уравнение Чаплыгина для функции тока в главном члене совпадает с уравнением Трикоми, что было положено в дальнейшем в основу многих важных исследований в СССР и за границей. [c.101]

Математическая теория уравнений смешанного типа стала интенсивно развиваться после основополагающих исследований Трикоми. Фундаментальные результаты были получены Франклем, Геллерстедтом, Бабенко. Содержание теории составляет обоснование новых краевых задач в областях, являющихся объединениями подобластей эллиптичности и гиперболичности, установление их корректности в соответствующих классах функций, отыскание эффективных методов построения решений. К важным разделам теории следует отнести также исследования корректности классических задач для эллиптических и гиперболических уравнений, когда граница области содержит отрезки линии вырождения. [c.48]

Современное состояние теории линейных уравнений смешанного типа и вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений представлено в монографиях [92, 93, 20]. Движение идеального газа описывается квазилинейными уравнениями смешанного типа. Использование теории линейных уравнений для изучения свойств трансзвуковых течений оправдано тем, что каждое решение нелинейного уравнения принадлежит множеству решений некоторого линейного уравнениями, значит, свойства трансзвуковых течений принадлежат совокупности свойств решений линейных уравнений. В связи с этим ряд теорем теории линейных уравнений может быть выражен в терминах аэрогазодинамики. Однако при такой интерпретации могут возникать трудности при формулировке условий реализации свойств, классифицируемых по типам линейных уравнений. Линейное уравнение Чаплыгина в плоскости годографа скорости и его упрощенный вариант — уравнение Трикоми — стали первыми и наиболее полно разработанными объектами теории. Следует все же отметить, что большинство полученных математических результатов имеют пока лишь ограниченное или косвенное приложение в трансзвуковой аэродинамике. Это связано с тем, что области определения считаются заданными и, следовательно, рассматриваемые задачи могут иметь отношение лишь к проблеме профилирования контура тела. В то же время одна из главных задач аэродинамики — прямая задача внешнего или внутреннего обтекания тела заданной формы, формулируемая в плоскости годографа как задача со свободной границей, остается мало обоснованной. [c.49]

В принципе вопрос о разрешимости этой задачи в классе непрерывных функций допускает исследование в общем виде (по-видимому, достаточно полное) с помощью преобразования годографа, так как уравнение Трикоми ифуу + фии = 0 — образ системы Кармана-Фальковича (7) — в характеристических переменных /i, Л преобразуется в уравнение Эйлера-Дарбу [c.59]

Рассмотрим подробно задачу о течении в бесконечном сопле с параллельными стенками на входе. В силу вышесказанного, в области С получаем обобщенную задачу Дирихле для функции тока с разрывным (кусочно постоянным) граничным условием. В плоскости годографа ф удовлетворяет в точной постановке уравнению Чаплыгина, а в приближенной постановке, часто применяемой для выявления главных качественных особенностей трансзвукового характера — уравнению Трикоми. [c.91]

Дадим доказательство единственности решения обобщенной задачи Дирихле для случая уравнения Трикоми. [c.92]

Таким образом, если принять, что обобщенная задача Дирихле имеет единственное решение не только для уравнения Трикоми, но и для уравнения Чаплыгина, то решение этой задачи можно рассматривать как корректную процедуру профилирования дозвуковой части сопла методом годографа после построения ф в С может быть найдена нормальная производная д ф1дп дс (если дС — достаточно гладкая кривая), что позволяет далее вычислить декартовы координаты контура сопла (более подробно см. гл. 4, 2). [c.93]

Будем называть асимптотикой дозвукового течения в сопле Лаваля с прямой звуковой линией точное решение уравнения Чаплыгина (или Трикоми), определенное и ограниченное в полуплоскости эллиптичности и обладающее свойством, что линии уровня ф образуют узел в точке звуковой линии, в которой задан разрыв первого рода граничного условия обобщенной задачи Дирихле, и что значения решения на границе области определения этой задачи отличаются от граничного условия последней на непрерывную функцию (в достаточно малой окрестности точки разрыва). В силу единственности решения обобщенной задачи Дирихле в каждой фиксированной области определения асимптотика единственна. [c.95]

Рассмотрим автомодельные решения уравнения Трикоми вида (3). Будем рассматривать только антисимметричные решения О, описывающие течения в соплах, симметричных относительно оси ф = 0. Поэтому граница области определения обобщенной задачи Дирихле содержит полуось v = 0 г О, на которой задано условие ф = 0. Образ стенки сопла изображается некоторой кривой L, лежащей в полуплоскости г О и выходящей из точки и = V = 0. Будем считать, что эта кривая задана уравнением вида [c.96]

Асимптотический тип течения в профилируемом сопле (функция тока ограничена) определяется тем, что разрывное граничное условие (с разрывом первого рода) задается на лучах /3 = 0, г = г. Главный член асимптотики описывается решением (2.20) уравнения Трикоми. Считая решение сформулированной задачи Дирихле единственным (в классе ограниченных функций), можно свести его построение к задаче Дирихле с непрерывным граничным условием, выделяя сингулярные компоненты решения. Так, если 2 — решения уравнения Чаплыгина, удовлетворяющие разрывным граничным условиям [c.116]

В настоящее время для этой задачи теорема существования не доказана даже для уравнения Трикоми единственность решения для уравнения Чаплыгина — при достаточно малом значении была доказана Ф.И. Франклем [104]. (Для простейшей модели уравнения смешанного типа—так называемого уравнения Лаврентьева-Бицадзе — существование и единственность решений задачи сверхзвукового обтекания конечного [c.225]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...