Фурье ряд — Коэффициенты

Такое суммирование фурье-ряда, все коэффициенты которого равны единице, приводит к хорошо известному результату, который можно получить с помощью следующего элементарного вывода. [c.53]

Это равенство есть разложение функции F(x) в ряд Фурье по синусам. Коэффициенты ряда Фурье определяются следующим выражением . [c.61]

Смысл, в котором эти ряды аппроксимируют классическое преобразование Фурье, ряды Фурье и их обращения, рассмотрен в [22]. Следует добавить, что в литературе нет установившегося определения дискретного преобразования Фурье, так как коэффициент, появляющийся перед суммой, не всегда равен 1/N. Однако есть известное преимущество в использовании вышеприведенного определения, поскольку Уо есть среднее значение ряда дискретных величин Х, во времени. [c.197]

Таким образом, разложив функцию возбуждения в ряд Фурье и определив коэффициенты этого ряда, всегда можно путем указанного выше преобразования, привести уравнение движения к виду (4.42). [c.145]

В теории рядов Фурье показывается, что коэффициенты С,- равны [c.106]

Фурье ряд — Коэффициенты 22, 23 --в действительной форме 22 [c.351]

Разлагая периодическую вектор-функцию (7.4.7) в ряд Фурье с векторными коэффициентами Як и b t> ищем решение уравнения (7.2.20) в виде [c.493]

В соответствии со схемой решения в тригонометрических рядах для коэффициентов Фурье из (1.60), (1.61) получим [c.24]

В соответствии с выражениями для Х х, у), Y х, у) и и х, у), v x, у) функции Р, Q представимы по у рядами Фурье вида (217), коэффициенты которых являются степенными рядами относительно компонент вектора . Аппроксимируем Р, Q полиномами Фурье по у некоторого порядка с коэффициентами — алгебраическими полиномами некоторой степени относительна компонент вектора Такими же полиномами Фурье, но с матричными коэффициентами, представимы матрицы Якоби [c.191]

Справа и слева в (6.12) стоят ряды Фурье. Сравнивая соответствующие коэффициенты, получим [c.142]

Если функции /1 и /2, как это часто имеет место в структурном анализе, периодические, то их трансформанты не равны нулю только при целочисленных значениях X = /г/а (а — период функций Д, /2). Другими словами, трансформантой их является не интеграл Фурье, а ряд, и коэффициенты Фурье произведения запи- [c.32]

Разлагая левые и правые части соотношений (3.4) в ряды Фурье и приравнивая коэффициенты при старших гармониках, получим цепочку уравнений для отыскания Л 2 Л з, [c.383]

Таким образом, для того, чтобы выразить решение любой из рассмотренных выше граничных задач рядом Фурье с известными коэффициентами, достаточно иметь теорему существования и явные выражения фундаментального решения дифференциального уравнения задачи. [c.544]

Из этого, между прочим, следует, что разложение вида (7) возможно только единственным образом, ибо это утверждение справедливо, как известно, для обычных рядов Фурье. Задание же коэффициентов обычных рядов Фурье вполне определяет, как это видно из предыдущих формул все коэффициенты ад, р. [c.185]

Пользуясь формулами из теории рядов Фурье для определения коэффициентов и исходя из уравнения (11.43), будем иметь [c.302]

Способ гармонического анализа. Функцию (57) представляют рядом Фурье (58), причем коэффициенты ряда определяют по формулам (59). После этого вместо формулы (60) получают [c.254]

Учитывая периодичность (2.10) по углу 0, выражение (2.11) можно разложить в ряд Фурье по 0 , коэффициенты которого за" [c.29]

Формула обратного перехода выводится из соотношений теории ря-йов Фурье. Известно, что функцию / (х) можно разложить в ряд Фурье по синусам, коэффициенты которого определяются формулой [c.516]

Другой путь — разложение в ряд Фурье (вдоль малого размера). Уравнения относительно коэффициентов Фурье определяют путем интегрального преобразования уравнений теории упругости (см. 37). Однако для упругого слоя (пластины, оболочки) с поверхностями, свободными от напряжений (или с заданными напряжениями), не существует такой системы функций, при использовании которой указанное преобразование привело бы к независимым друг от друга уравнениям относительно искомых коэффициентов (см. 19). Поэтому, если с самого начала сохранить лишь конечное число членов ряда, соответствующие коэффициенты Фурье будут определены с некоторой погрешностью, зависящей от роли отброшенных членов. Хотя эта роль, вообще говоря, также зависит от плавности изменения напряженного состояния, при этом получаются приближенные уравнения, [c.11]

Можно заменить исходные дифференциальные уравнения (9) уравнением (14 ) и первым из уравнений (14). Постоянную С будем считать известной. Вводя для и к] ряды Фурье, для их коэффициентов получим рекуррентные формулы второго порядка, которые содержат все бесконечное число коэффициентов. Уравнения (9) привели бы к рекуррентным формулам восьмого порядка. Вывод рекуррентных формул был выполнен Хиллом следующим образом. [c.384]

Рассматривая правые части полученных уравнений как функции трех переменных а, Ь w t (эти функции — периодические по с периодам 2тг) и развертывая их в ряды Фурье по t (коэффициенты Фурье являются функциями а и Ь), имеем [c.655]

В этом пункте мы покажем, что окончательное выражение для энергии зависит только от плотности рь т. е. от распределения вещественных корней. Действительно, выражение (2.41) представляет собой ряд из коэффициентов Фурье [c.50]

Последний член уравнений (5.42) и (5.43) трудно вычислить вследствие сложности определения коэффициентов ряда Фурье. Эта трудность была преодолена после введения преобразования [177]. Если [c.126]

Как известно, коэффициенты ряда Фурье вычисляются по фор- [c.239]

Действительно, данные о распределении энергии импульса по частотам, доставленные такой идеальной спектрограммой, позволили бы воспроизвести только коэффициенты отдельных элементов ряда (интеграла), на которые согласно теореме Фурье можно разложить импульс, ибо интенсивность отдельной спектральной линии определяется соответствующим коэффициентом разложения. Однако форма импульса зависит не только от значения этих коэффициентов, но также и от соотношения фаз отдельных его компонент. Поэтому импульсы самой разнообразной формы могут соответствовать одним и тем же значениям коэффициентов Фурье и, следовательно, давать одно и то же спектральное разложение. Таким образом, задача о разложении данного волнового импульса в спектр при помощи заданного аппарата решается однозначно. Воспроизведение же исходного импульса по его спектру, даже полученному с помощью прибора бесконечной разрешающей силы, остается неопределенной задачей. [c.220]

Решение (76) 99 в форме бесконечного ряда, относящееся к случаю произвольной периодической силы, не всегда удобно, так как ряд Фурье для возмущающей силы Q[t) может сходиться медленно. Например, если функция Q t) имеет разрывы первого рода, то коэффициенты ее ряда Фурье а , Ьп убывают не быстрее чем при наличии разрывов первого рода у производной <5(/) сходимость ряда будет порядка п . Хотя сходи- [c.538]

Это следует из таких соображений в первом случае функция Q i) и, следовательно, q(t) разрывны, тогда как q и q непрерывны, так как координата всегда изменяется непрерывно и жестких ударов, по предположению, нет, т. е. скорости также непрерывны ряд же Фурье для непрерывной со своей первой производной функции q(t) имеет коэффициенты, убывающие как п-З если же q, q, Q(t), т. е. и (t) непрерывны, то сходимость будет порядка не ниже чем n . [c.539]

Идея метода В. Я. Шкадова сводится к тому, чтобы после подстановки (15) в (13) полученное решение также представить в виде ряда Фурье, после чего коэффициенты ряда приравниваются нулю. Чтобы оборвать бесконечную систему уравнений и сделать ее замкнутой, на практике ограничиваются рассмотрением первых гармоник [127, 146]. [c.188]

Идея метода состоит в том, чтобы искать вектор-функцию х(0 виде ряда Фурье с векторными коэффициентами и затем свести задачу к некоторому уравнению относительно характеристического показателя А. Это уравнение оказывается условием равенства нулю определителя некоторой блочной матрицы - обобщением определителя Хилла в теории уравнений Матье -Хилла. [c.493]

Переменные Ро, р с, р и Рл,/2 являются параметрами движения, т. е. функциями времени, как и переменные р( ). Они характеризуют движение всего несущего винта в невращаю-щейся системе координат, тогда как переменная р( "> описывает движение отдельной лопасти во вращающейся системе кбординат. Таким образом, имеем линейное обратимое преобразование N параметров движения р " ) т , N) во вращающейся системе координат в N параметров движения Ро, р с, Pns, Рл//2 в невращающейся системе координат. Сравним это преобразование координат с представлением установившегося решения в виде ряда Фурье. В последнем случае, когда р ") является периодической функцией движения всех лопастей одинаковы. Отсюда следует, что движение во вращающейся системе координат может быть представлено рядом Фурье с постоянными коэффициентами и бесконечным количеством членов, так что имеется аналогия между фурье-преобразованием координат и рядом Фурье. [c.328]

Разлагая в степенные ряды по а функции, входящие в (4-4-23) (отметим, что ограничения, наложенные на функции при разложении в ряд, не являются существенными, так как мы рассматриваем асимптотику преобразования Фурье), и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а, получаем совокупность значений V , Сг (-Р)-Выпишем несколько первых значений С1 Р) [c.311]

Для изучения наличия напряжений и изменения размеров кристаллитов при износе закаленной стали полученные фотометрические кривые Н(х) и ц х) подвергались разложению в ряды Фурье. Для подсчета коэффициентов Фурье микрофэтограммы разбивались на а = 48 интервалов. Суммирование коэффициентов Фурье производилось при помощи штрипсов [З). [c.141]

Г/Э . В силу равенств (27) соответствуюгцим сдвигом i можно получить 0 = г1о = р. Положим р = а и будем считать эту величину независимым параметром в интервале О < а < = с . Ряды для х, у будут рядами Фурье относительно и коэффициенты Фурье будут сте- [c.176]

Решения и я V дифференциальных уравнений (9) впервые были получены Хиллом [1] в 1878 г. Оп нашел их несколько другим путем, используя период решения как параметр и вводя непосредственно ряды Фурье с пеопределеппыми коэффициентами. Сравнение коэффициентов дало бесконечную систему уравнений, в которой каждое уравнение содержит бесконечное количество неизвестных. С помош,ью разложения в степенной ряд по параметру оп пришел к рекуррентным формулам, которые совпадают с уравнениями (18), (19). Но Хилл пе доказал сходимость полученных им рядов. Доказательство сходимости было дапо в 1925 г. Виптпером [2] . [c.177]

Можно видеть, что форма осцилляций величины (как функции 1/Я) будет, вообще говоря, совершенно отличной от формы осцилляций Л/, поскольку коэффициенты / (гХ) могут существенно отличаться друг от друга и поскольку при нечетных значениях к синус в формуле (3.30) превращается в косинус того же аргумента в формуле (3.31). В общем случае для восстановления первоначальной формы осцилляций (3.30) выходной сигнал как функцию 1/Я нужно разложить в ряд Фурье, разделить каждый коэффициент на J r ) и вновь синтезировать, взяв все компоненты с соответствующими фазами 0 , определенными при разложении. Однако в частном случае достаточно слабой модуляции коэффициенты JЛr ) пропорциональны и вид осцилляций величин Vf и d M/dH в точности совпадает на самом деле нетрудно проверить, что в этом пределе выражение (3.31) сводится как раз к /г-му слагаемому формулы (3.20). Практически в условиях слабой модуляции амплитуды высших гармоник слишком малы, чтобы их можно было использовать. Таким образом, непосредственно записать без искажений можно только осцилляции величины dM/dH (и, возможно, d M/dH ) при детектировании на частоте со (или 2оо) и при малой амплитуде модуляции. Легко показать, что, для того чтобы коэффициент У,(гХ) отличался от (УгУХ менее чем на 1%, величина гХ должна быть меньше 0,28 это и есть критерий достаточно слабой модуляции, при которой зависимость величины 1> верно воспроизводит зависимость dM/dH. [c.143]

Mi b M 2, Мз-ь M2-2, / -ь /1-2, /2-1. /2-2 — коэффициенты первой и второй гармоник разложения в ряд Фурье приведенного момента сил сопротивления УИ ", (ф) и приведенного момента инерции /п(ф) [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...