Вычисление собственного вектора

Как и в случае алмаза, вычисление собственных векторов показывает, что смещения примесного атома дают вклад только Б представление Все остальные колебания снова яв- [c.232]

Возможности программного обеспечения аналитические команды позволяют выполнить следующие операции вычисление собственных векторов и собственных значений, арифметические действия над матрицами, обращение матриц, решение линейных уравнений, идентификацию по методу наименьших квадратов, декомпозицию по вырожденным значениям, быстрое Фурье-преобразование, расчет цифровых фильтров, статистические расчеты и др. Команды анализа и проектирования линейных систем управления определены как опции. Графические команды позволяют получать графики разных типов логарифмические, полулогарифмические, в полярных координатах, трехмерные. [c.333]

Замечание. Иногда, когда веса известны из измерений, например тонны загрязняющих веществ или стоимость автомобилей, появляется желание нормализовать веса и использовать их вместо построения матрицы суждений и вычисления собственного вектора. Этот процесс может привести к ошибке, особенно когда полезность относительных суждений эксперта не отражается в терминах отношений истинных весов. Например, для богатого человека нет разницы между одним и двумя долларами, в то время как их отношение показывает большую значимость. [c.62]

Начнем систематическое изложение с введения понятия неприводимой матрицы. Весь нужный материал по неприводимым матрицам, используемый в книге, приведен в следующем разделе. Затем изложим фундаментальную теорему Перрона-Фробениуса для неотрицательных неприводимых матриц, которая обеспечивает существование единственного решения задачи о собственном значении. Так как рассматриваемые обратносимметричные матрицы положительны, сконцентрируем внимание на положительных матрицах/ теореме Перрона и ее доказательстве. Далее доказывается, что искомый собственный вектор может быть получен как предельная сумма строк Л, где А — примитивная матрица. Затем кратко описывается способ вычисления собственного вектора на практике, после чего обсуждаются согласованность обратносимметричной матрицы, отклонение ее главного собственного значения от п, нечувствительность этого собственного значения по отношению к малым возмущениям в Л, а также изучаются свойства согласованных матриц. [c.183]

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА [c.195]

Уравнение (2.68) назьшается характеристическим уравнением матрицы А (см. 1, гл. 2). Оно может быть использовано для вычисления всех ее собственных значений. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы, а в случае симметричной матрицы и взаимно ортогональны. Количество к собственных векторов, соответствующих собственному значению X, не превышает кратности этого собственного значения 1 < Для симметрич- [c.117]

Если к достаточно хорошо отделено от остальных собственных значений, то собственный вектор V" базовой модели мало чувствителен к малым вариациям параметров этой модели. Это позволяет при определении вектора УД ) по формуле (16.29) ограничиваться суммированием только по индексам i — 1 и t + 1. Обш ий анализ выражений (16.29) и соответствующая практика вычислений показывают, что нри двухсторонних вариациях упруго-инерционных параметров базовой модели в весьма широких пределах [c.270]

В АЛГОЛ-программе алгоритма в процедуры выделены вычисления функции качества (fun) и функции ограничений ( on), а также вычисления их градиентов gf и ge соответственно). В одну процедуру (arg) объединено вычисление приращения вектора оптимизируемых параметров. В этой процедуре учитываются также линейные ограничения типа Xi Xi x . Собственно алгоритм начинается с метки Ml 1. [c.214]

Способ вычисления поправок и приведен в [5]. В том случае, если несвязанные подсистемы имеют равные частоты, вид решения для собственных векторов будет другим [5]. [c.87]

В результате решения уравнения (77) получается совокупность I собственных Чисел к, которые всегда вещественны в силу симметричности матриц А и В, и соответствующих им собственных векторов а, определяемых с точностью до постоянного Множителя, зависящего от условий нормировки. При использовании функций (76) Для вычисления коэффициентов С , D , Е следует пользоваться формулами (Ю), [c.79]

Для определения собственных форм колебаний после вычисления собственных частот и соответствующих векторов узловых перемещений а глобальной системе координат к этой системе надо перейти и в выражениях, аппроксимирующих перемещения в каждом КЭ. [c.189]

Под полной проблемой собственных значений понимают задачу вычисления всех собственных значений А.,. и соответствующих собственных векторов е,- матрицы А. Часто определению подлежат не все собственные значения и собственные векторы, а лишь их небольшая часть. Такие задачи рассматриваются как частичные проблемы собственных значений. [c.131]

V,D]=eig(A) (вычисление собственных значений — диагональных элементов матрицы D, и собственных векторов — столбцов матрицы V) [c.209]

Задача отыскания критического значения амплитуды сдвигающего усилия So заключается в определении наибольшего собственного числа Я бесконечной матрицы А. Собственный вектор С матрицы А позволяет определить прогиб. Вычисление Л удобно производить методом итераций. При этом бесконечную матрицу А необходимо заменять последовательностью усеченных матриц. [c.200]

Коэффициент показывает, во сколько раз амплитуда неоднородного критического давления больше верхнего критического однородного давления 7в. Задача по отысканию критического состояния оболочки сведена к нахождению наибольшего собственного значения X бесконечной матрицы А. Собственный вектор С, соответствую-Ш.ИЙ этому Я , позволяет найти прогибы оболочки. Вычисление Я удобно производить методом итераций. [c.233]

Для случая полета вперед (ц > 0) в уравнениях движения появляются периодические коэффициенты вследствие вращения лопасти относительно вектора скорости вертолета эта периодичность радикально влияет на корневой годограф и требует совершенно иных методов анализа. Корневой годограф стационарной системы может начинаться в комплексных сопряженных точках, пересекаться с действительной осью и далее иметь две ветви на действительной оси, расходящиеся в противоположных направлениях. При наличии периодических коэффициентов такое поведение обобщается в том смысле, что расхождение корней может произойти не обязательно на действительной оси, а при любой частоте, кратной (1/2)Q. Такое свойство решений объясняется тем, что собственные векторы системы не постоянные, как для стационарного случая, а периодические. В гл. 8 рассматривались собственные значения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и был приведен способ их вычисления. [c.558]

Для замыкания алгоритма приведем аналитический способ вычисления собственных и присоединенных векторов в случае простых собственных значений и при наличии резонансов первого п второго порядков [3]. [c.229]

И к р а м о в X. Д. Стандартная программа вычисления собственных значений и собственных векторов комплексной матрицы методом типа Якоби (СП-3224). Тр. /ВЦ МГУ, 1971, вып. 44.-47 с. [c.157]

Вычисления собственных значений можно выполнить в самом общем виде, исходя из уравнений (12.6.2) однако они существенно упрощаются, если ориентировать ось х используемой системы отсчета вдоль фиксированного вектора к [c.75]

Уравнение амплитуды. Выше было предположено, что Л — произвольный фиксированный собственный вектор акустического тензора Qik. Действительная амплитуда отличается от этого вектора множителем к. Следовательно, уравнение относительно скаляра к определяет действительную амплитуду. При выводе этого уравнения главным образом была использована монография Куранта [38]. Более подробные вычисления представлены в работе [39]. [c.123]

Для вычисления матрицы следует определить собственные векторы и числа матрицы, Так как порядок G равен трем, эта задача не представляет каких-либо вычислительных трудностей. Существуют стандартные подпрограммы на ЭВМ для решения этой задачи. [c.176]

Ж векторов состояний заданной физической системы, вектор ф> удовлетворяет условию < ф ф>>0. (При этом вектор <115 1 является дуальным относительно вектора ф>.) Для г15> справедливы все аксиомы и правила вычисления собственных элементов гильбертова пространства (в особенности линейность, сепарабельность, комплексность, эрмитовость метрики, полнота). Пространство Ж может быть натянуто на полный орто-нормированный базис /> со свойствами [c.72]

Компоненты Оз, а , Оъ и для матрицы ю в (8.15), соответствующие собственному значению г этой матрицы, совпадают с аналогичными компонентами собственных векторов матрицы со в (8.3) для значений к и к, вычисленных по формуле (8.23). Остальные компоненты собственного вектора матрицы со, соответствующие значению к илп к в (8.23), определим из системы [c.126]

Для тех операций над многомерными алгебраическими объектами, которые являются очевидными обобщениями операций над двухмерными и одномерными матрицами из области АСУ, легко отыскиваются аналоги обработки многомерных таблиц. Для ряда процедур линейной алгебры, таких, как умножение тензоров и многомерных матриц, отыскание собственных векторов и собственных значений матриц, вычисление определителей матриц и некоторых других, в области АСУ не удается найти аналоги операций над данными. Этот факт, по-видимому, отражает объективную закономерность и свидетельствует о том, что аппарат линейной алгебры является более общим и более широким, чем аппарат обработки данных в АСУ. Однако строгое математическое доказательство этого утверждения еще требует дополнительных исследований и не рассматривается в книге. [c.59]

В гл. 10 на основе теории представлений изучаются и систематизируются различные вопросы классической динамики решетки. Рассмотрение включает теорию инвариантов, вычисление тензоров, влияние ангармонизма и обсуждение того, как, используя свойства симметрии, определить собственные векторы нормальных колебаний и, таким образом, факторизовать динамическую матрицу. Изложение квантовой динамики решетки в гл. 11 следует традиционному рассмотрению в рамках адиабатического приближения Борна — Оппенгеймера. Однако, развивая традиционное рассмотрение, мы строим здесь параллельно теорию симметрии собственных функций. Преобразование собственных функций решетки при преобразованиях симметрии дает удобный способ характеристики основного и возбужденных состояний системы связанных гармонических осцилляторов решетки. Такое рассмотрение позволяет также исследовать интересную внутреннюю связь между теорией симметрии системы, имеющей пространственную группу или пространственно-временную группу д, и теорией симметрии системы тождественных [c.20]

Если свойства собственных векторов классифицированы согласно неприводимым представлениям группы , то эти результаты можно сразу применить для вычисления любых функций этих собственных векторов. Такими функциями могут быть решеточные инварианты и коварианты, построенные из этих векторов, например ангармоническая потенциальная энергия кристалла или электрический дипольный момент кристалла более высокого порядка. Используя результаты теории групп, эти функций можно заметно упростить. Для функций, имеющих вид разложения по степеням этих собственных векторов, можно установить существенное минимальное число отличных от нуля независимых коэффициентов. Таково максимальное упрощение, которое можно получить с помощью теории групп. [c.173]

Для вычисления скалярного произведения воспользуемся еще выражением для собственных векторов матрицы D —k) и получим из (88.19) и (88.31) [c.238]

Применение стандартных подпрограмм. Оператор обращения к подпрограмме метода вращений имеет вид ALL EIGEN (G, U, N, MV). Здесь G — симметричная матрица порядка N U —матрица вычисленных собственных векторов порядка N MV — входной признак (если MV = О, то вычисляются собственные значения и собственные векторы, если MV = 1 — только собственные значения массив U в этом случае не используется, но его имя должно быть обязательно в обращении). Собственные значения располагаются на главной диагонали массива G в порядке убывания. [c.81]

Тогда путем прямого вычисления собственных векторов V с помощью (2Л. 9) и (2.1Л1) с учетом (2ЛЛ2) обнаруживаем, что матрица Р может быть выбрана ортогональной и представлена в виде [c.44]

Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически должно приводить к появлению на месте [У] искомых собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [S] диагональной матрицы с элементами, равными собственным числам. Применение матрицы [Г ] на пятом этапе эначительно ускоряет этот процесс. Если для каких-либо i, ] на четвертом этапе отношения (Ьц — bjj)/bjj и Ьц/Ь , вместе не превосходят заданную точность вычислений, то необходимо положить tij — О (этот случай соответствует близким собственным значениям). После нахождения в результате этапа (57.22) диагональных элементов матрицы [Б] они сортируются по величине, ц, соответственно, меняются местами векторы в массивах W] и [У]. Погрешность вычисления г-го вектора оценивается скалярным произведением ( и — Скорость сходимости метода одно- [c.474]

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С КВАДРАТИЧНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ. Имеет место общая теорема, согласно которой система уравнений (5.3), (5.4), имеющая квадратичный по скоростям интеграл движения, независимый с интегралом энергии, заменой переменных может быть приведена к лиувиллеву виду. Доказательство ее опирается на вычисление собственных значений и подходящую нормировку (ортогональных) собственных векторов квадратичной части второго интеграла относительно ри- [c.189]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

Для вычисления отдельных собственных векторов трехдиагональной матрицы эффективен метод обратной итерации [106]. Если требуется вычислить все собственные векторы, то наиболее эффективным окажется применение методов LR- и QR-алто-ритмов к трехдиагональной матрице. [c.83]

При этом условие асимптотической устойчивости КеХ<0, выраженное через собственные значения Л, принимает вид 1тЛ[у КеЛ > е. На рис. 7.4.1, 6 показаны результаты расчетов критического давления при е=0,01 для титановой оболочки с такими же геометрическими параметрами, как и в [69]. Оболочка разбивалась на 11 конечных элементов и размер матриц бьш 40x40. При фиксированном т критическое давление вычислялось с использованием процедуры дихотомии. Затраты процессорного времени 1ЪМ-РС/АТ для вычисления всех комгшексных собственных значений и собственных векторов при фиксированном значении давления составляли по ХЛ-алгоритму 1,5 мин и 15 мин по методу понижения нормы матрицы. При этом во втором случае заданная точность не достигалась и выход происходил по числу итераций. Резуль- [c.488]

Детальное исследование задачи дано в рабртах [12.13, 14.2], в которых вычисления собственных чисел и соответствующих им векторов бесконечных систем алгебраических уравнений произведены на ЭЦВМ. [c.194]

Изложенная методика вычисления коэффициентов интенсивности применима и к задачам линейной теории упругости. Следует лишь вместо собственной функции брать некоторый собственный вектор смещений и соответствующие ему собственные напряжения и вместо формулы Грина использовать формулу Бетти. В частности, формула Седова для коэффициентов интенсивности напря- [c.64]

Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически должно приводить к появлению на месте [V] искомых собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [В] диагональной матрицы с элементами, равными собственным числам. Применение матрицы [Т ] на пятом этапе значительно ускоряет этот процесс. Если для каких-либо г, / на четвертом этапе оба отношения (Ь,-,- - Ьц)1 Ьц и bijibjj не превосходят заданную погрешность вычислений, то необходимо положить tfj = о (этот случай соответствует близким собственным значениям). Можно предложить и другой алгоритм, в котором на четвертом шаге точно решается полная задача на собственные значения для матрицы [В] (это легко можно сделать, так как порядок матрицы [В] равен т [c.52]

Использование функций (9.13), (9.14) приведет к появлению некоторых дополнительных трудностей из-за наличия двух сомножителей. На вычисление спектров собственных частот и собственных векторов это отличие не повлияет. При построении функций TjTnn t) необходимо применять принцип суперпозиции. [c.498]

ЧТО соответствует двум собственным состояниям поляризации. Собственные поляризации в других сечениях резонатора, вообще говоря, иные. Для вычисления параметра Г в другом сечении резонатора следует либо повторить всю процедуру расчета для нового сечения, либо вычислить преобразование поляризации, подействовав на найденные ранее собственные векторы оператором Джонса, который учитывает действие промежуточных анизотропных элементов. Эллипсометрические параметры собственных поляризаций могут быть найдены в соответствии с формулами (7.2) и (7.3). [c.152]

Результаты предыдущей главы имеют много физических применений. Очевидно, что классификация собственных векторов по симметрии является полезной сама по себе. Затем свойства симметрии собственных векторов можно использовать в разного рода тензорных вычислениях аналогично более известному квантовомеханическому случаю, который будет обсуждаться ниже в гл. 11, где нужно вычислить матричные элементы, являющиеся интегралами от произведений функций. В классической динамике решетки реализуется похожая ситуация. В ней при определении свертки оператора с собственными векторами возникают величины, напоминающие матричные элементы. Такая свертка похожа на скалярное произведение, и получаются соотношения, напоминающие формулу Вигнера — Экарта. Такое рассмотрение допускает максимальное использование симметрии, в частности если имеются в распоряжении соответствующие коэффициенты Клебша — Гордана. Как следует из 18, 60 и т. 2, 16, коэффициенты Клебша — Гордана для пространственных групп стали публиковаться только в последнее время, но можно надеяться, что они будут вычислены в большом количестве в ближайшем будущем,- Использование тензорного анализа упрощает расчеты такого рода и показывает, что рассматриваемые метричные элементы можно представить в виде произведений приведенных матричных элементов на множители, полностью определяемые симметрией. [c.298]

Скалярное произведение в этом случае оказывается вещественным и отличным от нуля только для функций, относящихся к одной и той же строке неприводимого представления. Таким образом, в случае А наличие антиунитарного оператора симметрии делает скалярное произведение вещественным. Это еще одна дополнительное условие, накладываемое на к, /), кроме (106.9). Если бы мы начали вычисления с двумя собственными векторами, относящимися к одной и той же строке представления )(со )(/) то части вычислений, приводящих к (106.48), можно было бы избежать. [c.309]

В этом и следующем параграфах мы изучим симметрию фононов в возмущенной рещетке с точечными дефектами. Мы рассматриваем идеализированную ситуацию, когда симметрия решетки нарушена введением одиночного изотопического дефекта замещения. В этих двух параграфах мы игнорируем проблемы динамики, т. е. вопрос о вычислении собственных значений и векторов, откладывая анализ этой задачи до 33. Однако мы используем один из результатов такого анализа, а именно что в кристалле с дефектом могут существовать два типа фононов зонные фононы, незначительно отличающиеся по своим свойствам от фононов в идеальной решетке (малые сдвиги частот), и локальные фононы, или резонансные колебания, не имеющие аналогов в идеальной решетке, так как для этих колебаний смещения в общем случае локализованы вокруг дефекта. [c.226]

В этой же части обсуждается вычисление коэффициентов Клебша — Гордана для пространственных групп. Эти величины содержат наиболее полную и детальную информацию, которую можно получить для какой-либо группы, и позволяют максимально использовать симметрию нужных величин, будь то собственная функция (собственный вектор) или другие величины. Зная эти коэффициенты, в удачных случаях можно осуществить полное разбиение матричного элемента или аналогичной величины на сумму произведений двух сомножителей, один из которых связан с симметрией и представляет собой коэффициент [c.255]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...