Метод парных интегральных уравнений

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПАРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.94]

Дальнейшее развитие метода парных интегральных уравнений позволило построить эффективные решения классических динамических задач теории упругости. [c.120]

Дается обзор результатов, полученных методом парных интегральных уравнений в области контактных задач теории упругости для непрерывно-неоднородных по глубине (или градиентных) тел. Задачи рассматриваются для полуплоскости, полупространства и полосы. Здесь не будут затрагиваться работы, посвященные расчетам слоистых тел. [c.199]

Задача со сцеплением для полуплоскости с пьезокерамическими свойствами рассмотрена в [9]. Решение ищется в виде интегралов Фурье, которые совместно с граничными условиями дают систему парных интегральных уравнений. Применение к этим уравнениям обратного преобразования Фурье приводит к системе сингулярных интегральных уравнений, решение которых находится в замкнутом виде. Метод парных интегральных уравнений для получения точного решения контактной задачи электроупругости для полуплоскости при наличии сцепления использовался также в [8]. [c.244]

Смешанная осесимметричная задача для бесконечного сплошного или полого цилиндра рассматривалась в статьях Б. И. Когана, А. Ф. Хруста-лева, Ф. А. Вайнштейна (1958, 1959, 1963) функция напряжений Лява строилась ими в виде контурного интеграла, содержащего надлежащим образом подобранные функции, зависящие от параметров однородных решений для цилиндра в работе Б. И. Когана и А. Ф. Хрусталева (1959) использован метод парных интегральных уравнений. [c.20]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

К которому приводятся многие контактные задачи, если их решать методом парных интегральных уравнений ( 5, 3). Если решение написанного уравнения разыскивать в виде [c.53]

Сущность метода. В контактных задачах этот метод впервые нашел применение в работе В. М. Абрамова [2], в которой было получено решение задачи о вдавливании в упругое полупространство круглого штампа с плоским основанием прн действии эксцентрично приложенной силы. Свое широкое применение и бурное развитие он получил в последние два десятилетия. В настоящее время для решения смешанных задач математической физики из аналитических методов нет более гибкого и универсального метода, чем метод парных интегральных уравнений. [c.56]

В этой главе дается краткая постановка рассматриваемых в книге контактных задач теории упругости и излагаются некоторые общие методы решения интегральных уравнений, парных рядов-уравнений и бесконечных систем, к которым сводятся поставленные контактные задачи, а также некоторые другие результаты, имеющие общий характер. [c.22]

Решение интегрального уравнения (2.34) методом больших Л. Уравнение (2.34) эквивалентно парному интегральному уравнению [c.60]

Заметим, что с помощью метода работы В. ]М. Александрова [15], может быть построено двусторонне асимптотически точное решение парных интегральных уравнений, порождаемых 1) контактной задачей для полосы, лежащей без трения на жестком основании или защемленной по основанию, 2) контактной задачей для клина с защемленной гранью (плоская постановка) 3) осесимметричной задачей о действии кольцевого штампа на полупространство, 4) осесимметричной задачей о взаимодействии упругого бандажа с упругим цилиндром [18]. Полоса, клин. [c.27]

Для задачи о внедрении в неоднородное полупространство кругового штампа с плоской подошвой парное интегральное уравнение сводилось стандартным образом к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое решалось методом механических квадратур в области его допустимого применения. Численные расчеты проводились, когда штамп имеет единичный радиус для законов вида [c.203]

В работе А. Н. Бородачева [13] рассмотрена для этой же модели неоднородности задача о внедрении жесткого кругового конического штампа (/ = Рг) под действием центральной силы Р. Парное интегральное уравнение задачи сводилось к решению двух вспомогательных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, подобно задаче для кругового штампа с плоской подошвой. Величина радиуса площадки контакта определялась методом последовательных приближений. За начальную величину радиуса площадки контакта принималась та, которая соответствует такой силе Р, что для однородного полупространства с v = i/q радиус площадки контакта Rq = I. Также, как и в задаче для кругового штампа, при решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода использовался метод механических квадратур. [c.203]

Двухсторонний асимптотический метод [1, 3] и в данном случае является наиболее эффективным для построения решения парного интегрального уравнения такого типа. [c.204]

Постановка [33] допускает наличие сферической полости в полупространстве, с которым сцеплен круговой штамп. Решение задачи ищется обобщенным методом Фурье, с использованием наборов точных решений для полупространства и пространства с полостью. В результате задача сводится к системе парных интегральных уравнений, которые, в конечном счете, преобразуются в бесконечную систему алгебраических уравнений. [c.244]

Пространственная задача. Для кругового штампа при решения задачи о вертикальном движении штампа на границе упругого полупространства в силу осесимметричного характера деформаций, в основном, используются интегральные преобразования Ханкеля и Лапласа. Построенные в пространстве преобразования Лапласа парные интегральные уравнения решаются тем или иным методом, а затем осуществляется численное обращение преобразования Лапласа. [c.372]

В работе [34] рассматривается осесимметричная контактная задача для плоского гладкого штампа на (вязкоупругом) полупространстве, насыщенном сжимаемой жидкостью, условие по фильтрации (существует проницаемость или нет) одинаковое на всей границе. После применения интегральных преобразований Ханкеля по координате и Лапласа по времени задача сведена к парным интегральным уравнениям, которые методом Лебедева-Уфлянда сведены к уравнению Фредгольма II рода, решение строится в форме разложения по полиномам Лежандра. Предполагается, что нагрузка на штамп линейно возрастает до некоторого постоянного значения на заданном промежутке времени. Обращение интегральных преобразований выполняется численно методом Крылова. Приведены результаты расчетов, показывающие влияние скорости нагружения на осадку штампа и контактные напряжения. [c.567]

Осесимметричная задача консолидации для круглого проницаемого штампа, лежащего без трения на полупространстве, насыщенном несжимаемой жидкостью, исследовалась в [20]. После применения интегральных преобразований задача сведена к парным интегральным уравнениям, строится приближенное решение путем разложения в ряд по косинусам, обращение преобразования по времени выполняется методом трапеций. Приведены численные результаты, иллюстрирующие влияние коэффициента Пуассона на осадки штампа. [c.568]

Нужно отметить также, что как в плоском, так и в пространственном случае с помощью интегральных преобразований может быть найдено решение смешанной граничной задачи, напрнмер задачи о действии штампа или общей контактной задачи. Способ здесь в общем случае является очень сложным, так как формулировка граничных условий приводит к так называемым парным интегральным уравнениям, решение которых (если его вообще удается получить в замкнутой форме) не всегда просто. Следует также назвать в качестве важного еще так называемый метод Винера — Хопфа [В43]. Интегральные преобразования позволяют также получить решения элементарных задач теории трещин, которые лежат в основе линейной механики разрушения для плоского и пространственного случаев [ВЗО] (так называемых трещин Гриффитса, или дискообразных трещин). [c.127]

В заключение следует упомянуть также смешанные краевые задачи для полупространства. К ним относится прежде всего так называемая задача о штампе, т. е. определение перемещений и напряжений при вдавливании жестких тел вращения различного очертания в полупространство (важная для приложений в механике грунтов). Нужно указать при этом иа то, что для смешанных краевых задач из граничных условий получаются парные интегральные уравнения, решение которых часто оказывается очень сложным. Этим методом возможны также рещения пространственных задач теории трещии. Дальнейшие сведения содержатся, например, в [ВЗО]. [c.303]

Перейдем теперь к обзору основных методов исследования интегральных уравнений (5.9). Некоторые из методов решения парных уравнений можно перенести и на iV-интегральные. Этому в некоторой степени благоприятствует то, что в задачах теории упругости Л/-интегральные уравнения обладают свойством [c.82]

Решение парных интегральных уравнений (4.7) сведено к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода (4.8) при помощи способа Кука [121]. Однако для этой цели можно также воспользоваться методом Н. Н. Лебедева [58]. Нетрудно показать, что способы Кука и Н. Н. Лебедева в данном случае приводят к одним и тем же результатам. [c.328]

В работе [13] рассматривается круглая пластина радиуса а, лежащая на упругом изотропном полупространстве. При этом предполагается, что трения между ними нет и что пластинка находится в контакте с полупространством по всей своей поверхности. На пластинку действует заданная осесимметричная нагрузка (г)(г) е . Удовлетворяя граничным условиям, для динамической задачи получены парные интегральные уравнения, которые затем сводятся к одному интегральному уравнению второго рода. Для решения этого интегрального уравнения предлагается метод последовательных приближений, [c.333]

Используя методы, описанные в 2.3, сведем парные интегральные -уравнения (2.73) к интегральному уравнению Фредгольма второго -рода [c.57]

К. Е. Егоров (1960) применил сходную методику к случаю неосевого вдавливания штампа. В статье В. А. Пупырева и Я. С. Уфлянда (1960) и в монографии последнего (1967) дано решение общей смешанной задачи для упругого слоя, а также рассмотрен случай сцепления слоя и основания. Существенно указать, что метод парных интегральных уравнений позволил эффективно рассмотреть и более сложную осесимметричную задачу о сжатии слоя двумя штампами различных радиусов (Ю. Н. Кузьмин и Я. С. Уфлянд, 1967). И. И. Ворович и Ю. А. Устинов (1959) получили сингулярное интегральное уравнение непосредственно для функции Ф (А,) и разработали приближенный метод его решения путем разложения в ряд по степеням а к. Аналогичный метод был применен Д. В. Грилицким к задаче о кручении многослойной среды при помощи сцепленного с ней штампа, а также к ряду сходных контактных задач. Метод парных интегральных уравнений позволил ряду авторов (см., например, Г. М. Валов, 1964 [c.37]

Остановимся теперь на контактных задачах, относящихся к равновесию бесконечного цилиндра. При рассмотрении этих вопросов наиболее эффективным оказывается метод парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Фурье по осевой координате. Характерной особенностью этого способа является то обстоятельство, что в случае полубесконечной области контакта эти уравнения допускают точное решение с помощью методов теории функций комплексного переменного, опирающихся на возможность факторизации аналитической функции, заданной в полосе. Первой работой этого направления явилась статья Б. И. Когана (1956), посвященная изучению осесимметричного напряженного состояния бесконечного цилиндра, зажатого без трения в полубеско-нечную ж есткую обойму. В предположении, что в области контакта задано постоянное радиальное смещение, задача сводится к парным уравнениям вида [c.38]

Цейт.тн А. И. О методе парных интегральных уравнений и парных рядов н его приложениях к задачам механики.— ПММ, 1966, 30, вып. 2. [c.122]

Рассмотрим широио Применяемые методы и теоремы в линейной механике разрушения метод Винера-Хопфа метод дуальных (парных) интегральных уравнений теорема Кеддыша-Седова. [c.17]

Большое внимание в монографии уделено разработке новых и развитию известных аналитических и численно-аналитических методов перечисленных выше задач. Основными из них являются 1) метод сведения парных интегральных уравнений (ИУ) и парных рядов-урав-нений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей специальный способ решения этих систем 2) метод однородных решений применительно к телам конечных размеров канонической и неканонической формы 3) метод сведения парных интегральных уравнений к ИУ 1-го и 2-го рода с разностным ядром 4) метод больших Л, построение всех членов разложения с помощью алгебраических рекуррентных соотношений [c.13]

Преобразования Ханкеля, сводящие задачу к проблеме решения парных интегральных уравнений, находят эффективное применение в осесимметричных задачах для упругого слоя, в частности в задачах о концентрации напряжений в упругом слое, ослабленном плоской круглой щелью (Я. С. Уфлянд, 1959). Эти же задачи другими методами исследовались в упомянутых выше работах В. М. Александрова (1965), В. М. Александрова и Б. И. Сметанина (1965, 1966), Б. И. Сметанина (1968). Используя аппарат дуальных интегральных уравнений, Н. В. Пальцун (1967) решил некоторые задачи о круглых трещинах в слое. [c.385]

Изложенные выше исследования, охватывающие смешанные задачи теории функции комплексного переменного и их приложения к плоским контактным задачам теории упругости, позволяют сделать вывод о том, что к началу 50-х годов разработка методов решения таких задач для однородной области была в основном закончена. Дальнейшие исследования в этом направлении были связаны как с постановкой физически новых задач, так и с решениями смешанных задач для областей гораздо более сложной геометрии, что, в свою очередь, привело к разработке таких математических методов решения этих задач, как интегральные преобразования и парные интегральные уравнения, парные тригонометрические ряды, интегральные и иитегро-дифференциальные уравнения и системы уравнений и др. [c.17]

В статье [41] отыскивается распределение давления на контакте невесомого штампа, круглого в плане, с-упругим полупространством. Под воздействием силы P- -Qe , приложенной к штампу, в полупространстве возникают колебания с частотой т. Подошва штампа задана уравнением z=w r, ф). Полагается, что функция w допускает разложение в ряд Фурье по угловой координате. Автор приводит эту задачу к парным интегральным уравнениям и затем методом Кука — Лебедева — к одному интегральному уравнению второго рода. Исследуется только симметричный случай. Получено приближенное решение в виде отрезка ряда по степеням малого параметра задачн. В результате получена формула для определения давления на площадке контакта. [c.330]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...