Фурье метод разделения переменных

Чтобы облегчить поиск решений (4.14) и (4.15), пользуются представлением функций многих переменных в виде комбинаций более простых функций, зависящих по возможности от одной переменной и выраженных элементарным образом. Для этого широко применяется метод разделения переменных, который называется также методом Фурье. Сущность этого метода можно пояснить на примере (4.14), если воспользоваться комбинацией [c.91]

РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ (МЕТОДОМ ФУРЬЕ) [c.153]

Может возникнуть вопрос почему решение уравнения (4.114) ищется в виде произведения (4.115) с разделенными переменными. Объясняется это тем, что если такие решения существуют, то определение функций (i), (х) должно свестись к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к задаче на порядок более простой, чем задача интегрирования уравнения в частных производных. Итак, для того, чтобы предложенный метод отыскания решения задачи (4.114), названный методом разделения переменных или методом Фурье, удалось реализовать, необходимо [c.155]

На этой стадии определяющими являются условия на границах тела. Третья стадия соответствует режиму стационарной теплопроводности. Задачи нестационарной теплопроводности решаются как точными аналитическими, так и приближенными численными методами. Рассмотрим один из аналитических методов — метод разделения переменных или метод Фурье. При постоянных физических свойствах тела и = О уравнение (2.5) принимает вид [c.85]

Метод разделения переменных с использованием рядов Фурье в случае полосы конечной длины и интегралов Фурье в случае бесконечной полосы позволил получить, как известно, целый ряд эффективных решений задач теории упругости для однородных тел [144]. [c.52]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Поскольку методы решения линейных задач разработаны достаточно хорошо, естественным путем решения нелинейных задач является линеаризация, т. е. сведение к линейным с последующим применением известных методов разделения переменных (метод Фурье), интегральных преобразований и т. п. [c.68]

Метод Фурье, или метод разделения переменных, рассмотрим для гиперболического уравнения [c.109]

Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются системами обыкновенных диф ренциальных уравнений. К одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок, а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметричном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных задач теории упругости можно применить метод разделения переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича. Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений первого порядка, или каноническая система. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения краевых задач [20, 33]. [c.85]

Использовании метода разделения переменных Фурье в виде (7.81), [c.446]

Метод разделения переменных Фурье [c.468]

Для решения уравнений (7.138) воспользуемся методом разделения переменных Фурье и вариационным методом Канторовича-Власова. Согласно методу Фурье неизвестные функции представляются в виде рядов [c.491]

Для нестационарных задач дифракции метод разделения переменных в полном виде неприменим, поскольку отделить временную переменную прямо не удается. Большое распространение получил метод неполного разделения переменных [81], когда время исключается при помощи интегрального преобразования (в некоторых случаях интегральному преобразованию подвергается и пространственная координата), а затем в полученных уравнениях проводится разделение переменных. Как правило, используется интегральное преобразование Лапласа или Фурье [3]. Преобразование Лапласа функции f(t), интегрируемой в смысле Лебега на любом открытом интервале, задается с помощью интегральной формулы [c.68]

Будем решать уравнение (8,4) по методу Фурье путем разделения переменных. Положим [c.206]

Отметим, что области, для которых изучены динамические контактные задачи для анизотропных тел, — канонические (слой, прямоугольник, конечный и бесконечный цилиндры). Это связано с тем обстоятельством, что главным аппаратом, позволяющим осуществить сведение краевой задачи к интегральным уравнениям, является либо аппарат интегрального преобразования Фурье, либо метод разделения переменных. [c.304]

При Р2 = I изложенный метод переходит в классический метод разделения переменных Фурье, где решение представляется в виде ряда по собственным функциям оператора А. [c.558]

Подробное обоснование метода разделения переменных Фурье можно найти в [73, 162, 197]. Здесь остановимся на некоторых особенностях, присущих рассматриваемой задаче и сформулируем основные [c.68]

Замкнутость оболочки вращения по ф, независимость коэффициентов дифференциальных уравнений от ф, периодичность искомых и заданных величин позволяют применить метод разделения переменных. Состоит он в том, что все величины, как искомые, так и заданные, разлагаются в ряды Фурье вида [c.660]

Метод разделения переменных (метод Фурье) однородных задач теплопроводности. Этот метод, применимый лишь для тел конечных размеров, состоит в том, что решение отыскивается в виде частных решений, удовлетворяющих однородным граничным условиям. Рассмотрим, например, уравнение [c.107]

К методу разделения переменных близок метод интегральных преобразований. Так, полученные в этом параграфе решения могут рассматриваться как результат косинус-преобразования Фурье на конечном интервале. Решение для одиночного индуктора можно получить путем преобразования Фурье на бесконечном интервале. Распределение поля по радиальной координате можно найти с помощью преобразования Ханкеля на конечном или бесконечном интервале. Методом интегральных преобразований решен ряд задач, относящихся к теории индукционного нагрева и индукционной дефектоскопии [47]. К ним относятся, кроме рассмотренных случаев двухслойного цилиндра в поле внешних и внутренних индукторов, цилиндрический виток или соленоид над проводящим полу- [c.64]

Аналитическое решение задачи теплопроводности должно удовлетворять не только приведенному выше уравнению передачи тепла теплопроводностью, но и граничным условиям, соответствующим физическим условиям решаемой задачи. Классическим методом решения уравнения Фурье является метод разделения переменных. [c.24]

Исключая в (6.1) время t и решая полученное уравнение методом Фурье путем разделения переменных, получим частное решение в виде суммы решений [c.128]

В данном учебном пособии подробно рассматриваются решения задач нестационарной теплопроводности основных тел (полуограниченное тело, неограниченная пластина, сплошной цилиндр, шар, полый цилиндр) несколькими методами (разделение переменных, операционные, интегральные преобразования Фурье и Ханкеля). Таким образом, читатель, знакомясь С особенностями каждого из применяемых методов, может в своей самостоятельной работе дл.й решения поставленных задач выбрать наиболее простой метод, дающий наиболее эффективное решение, пригодное для инженерных расчетов. [c.3]

На отдельных конкретных задачах гл. IV можно было установить, что операционный метод имеет большие преимущества по сравнению с классическим методом разделения переменных при условии равномерного начального распределения. Если в начальный момент времени температура тела зависит от его координат (неравномерное начальное распределение), то классический метод или метод интегральных преобразований Фурье и Ханкеля быстрее приводит к результату, поэтому для решения таких задач будем пользоваться этими методами. [c.180]

В этом разделе представлен второй метод вывода функции Грина для бесконечной среды. Фактически метод разделения переменных был развит позже, чем метод преобразования Фурье, но он изложен в настоящей книге первым, поскольку позволяет яснее продемонстрировать характер решения. Решение односкоростного уравнения переноса с помощью преобразования Фурье представляет интерес не только потому, что оно является еще одним подходом, но также и в силу того, что находит применение при решении некоторых многогрупповых задач. [c.62]

Среди прямых методов выделим метод разделения переменных с быстрым преобразованием Фурье, а среди итерационных—метод переменных направлений, попеременно-треугольный и метод последовательной верхней релаксации. [c.97]

Отметим, что формулы (2.92) совпадают с соответствующими формулами для осесимметричного случая без закрутки и позволяют определить функции Гоо(5), Doo(i) и /7io(s) ПО конечным соотношениям или путем дифференцирования известных функций Uo(s) н po(s). Важным свойством уравнений в частных производных (2.93) является линейность, что позволяет применить для решения метод разделения переменных Фурье, с помощью которого, однако, не удается построить решение основной нелинейной системы урав- [c.77]

Для решения системы (2.94) применим метод разделения переменных Фурье. Представим искомые функции в виде [c.78]

Волрювое уравнение (56) решают или методом разделения переменных (метод Фурье), или используют решение Далам-бера, которое для v выражается в форме [c.587]

Исторически одним из первых методов, нашедших ншрокое применение при решении краевых задач для уравнений с частными производными, явился метод разделения переменных или, как его еще называют, метод Фурье, заключающийся в построении набора частных решений, каждое из которых разыскивается в виде произведения функций меньшего числа переменных (как правило, функций одного переменного). В ряде случаев оказывается, что такое представление не вступает в противоречие с исходным дифференциальным уравнением (тогда говорят, что уравнение допускает разделение переменных) и приводит, в зависимости от размерности задачи, к нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим один и тот же числовой параметр. В зависимости от характера области, в которой решается краевая задача, граничных и начальных [c.117]

Метод разделения переменных (метод Фурье) однородных задач теплопроводн ости [c.101]

В настоящее время получить эффективные достаточные условия сходимости даже для относительно простых уравнений, как правило, не удается. Для практики большое значение имеют простые и вместе с тем близкие к достаточным, необходимые условия сходимости и устойчивости. Существующие методы, при помощи которых можно получить такие условия для некоторых классов разностных схем, например методы разделения переменных и интеграяа Фурье, далеко не исчерпывают все многообразие встречающихся схем. В последнее время широкое распространение получили некоторые практические методы исследования устойчивости разностных схем (например, так называемый метод замораживания коэффициентов для разностных уравнений с переменными коэффициентами). Теоретически они или не обоснованы или обоснованы только для частных случаев, но достаточно хорошо проверены на практике. [c.114]

Свободные колебания жидкости в неподвижном сосуде. Рассмотрим подробнее вспомогательную краевую задачу для определения колебании жидкости в неподвижном сосуде и методы ее решения. Для некоторых простых полостей эта задача решается методом разделения переменных Фурье. В общем случае ее можно решить на ЭВМ интегральным методом Ритца или другими методами с использованием аналитических решений для простейших полостей [I]. [c.287]

Для частного вида областей (круг, сектор, прямоугольник) задача Дирихле может быть решена методом разделения переменных (методом Фурье), Решение задачи Дирихле для круга. Пусть G — крут радиусом единица с центром в начале координат. Для решения задачи [c.110]

Функции Рк. х) и Qk x t) будем считать базисными (они заданы), а с помощью коэффициентов ak t) bk t)) можно удовлетворить уравнению (например, вида (2)) и дополнительным начальным или краевым условиям. Вид ряда (4) является стандарт ным при применении метода разделения переменных для линейных уравнений. Однако для нелинейных задач процедура получения коэффициентов ak t) существенно услож няется. Как правило, системы обыкновенных дифференциальных уравнений для ak t) оказываются зацепленными и нелинейными (например, когда Рк х) = sin А ж(со8 А ж) и (4) является рядом Фурье), рекуррентное точное определение ak t) становится невоз можным и необходимо соответствующие системы обыкновенных уравнений каким-то образом обрезать. Нахождение коэффициентов ak t) даже после обрезания нелинейной системы является достаточно трудоемкой операцией, особенно если требуется опреде лить много коэффициентов. [c.19]

Метод разделения переменных. Метод разделения пененных, или метод Фурье, применим при выполнении 5купностн следующих условий а) уравнение тепло-эводности — линейное б) граничные условия — линей-ре в) область интегрирования можио свести к одно-] ному случаю. [c.27]

В настоящем параграфе проводится математическое исследование и даются методы решения двумерного интегрального уравнения плоских контактных задач при дополнительных условиях, отражаюпщх состояние равновесия штампа. При заданных кинематических характеристиках штампа используется традиционный метод разделения переменных Фурье. В случае же задания квазистатических условий на штампе предлагается модификация метода разделения переменных, основанная на исследовании неклассических спектральных свойств интегрального оператора по координате. [c.56]

Автор широко использует предложенный им метод разложения функций в ряды Фурье на переменном зависяи ем от времени) интервале. Хотя такой подход представляется сейчас почти очевидным, встречен он был с недоверием слишком велика была привычка к ассоциации рядов Фурье с методом разделения переменных. [c.3]

Мауэ решил оба уравнения аналитически для круговых цилиндров при произвольных kR. Это решение, полученное с помощью рядов Фурье, снова приводит к классическому решению методом разделения переменных (разд. 15.33) и поэтому не дает преимущества для численных расчетов. Франц и Депперман рассматривали оба уравнения в предельном случае больших / . Числовые результаты ограничиваются бегущей волной, т. е. асимптотическим видом v P) в теневой части поверхности далеко от края (разд. 17.32), а также нахождением путем итерации значеиия в краевой точке. Совпадение с результатами Фока для случая II превосходно, а именно о( ) = 1,399 Опад.( )- На основании вариационного принципа Кодис (1956) получил для [c.417]

Решение задачи (4.1), (4.2) проще всего построить методом разделения переменных в виде ряда Фурье по созп(ф — фо), п = О, 1, 2,. .. Для исследования решения при kr- oo ряд Фурье целесообразно преобразовать, используя теорему о вычетах (метод Ватсона), в контурный интеграл ). [c.347]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...