Линейные системы уравнений — Решение

Ввиду линейности системы уравнений (5) и (7), общий интеграл может быть найден как сумма двух частных решений (8) с различными частотами, амплитудами и начальными фазами. [c.600]

Обратимся теперь к изучению общей структуры решения позиционной линейной системы. Уравнения движения в главных координатах [c.580]

Сг- — действительные числа. Это означает, что общее решение будет иметь слагаемое, содержащее в виде множителя функцию ехр(г]к )- Пусть т)к > О, тогда найдется сколь угодно близкое к стационарной точке в начальный момент времени решение, удаляющееся в бесконечность при I — оо. Предположим, что т к < 0. Сделаем замену независимой переменной I — —г. Обозначим у дифференцирование по т. Линейная система уравнений с гироскопическими силами примет вид [c.596]

Однородная линейная система уравнений и.меет решения, отличные от нуля, если определить системы равен нулю [c.459]

Произвольное решение рассмотренной линейной системы уравнений может быть представлено, если использовать преобразование Фурье, в виде суперпозиции гармонических со-волн [c.328]

Значения температуры в узлах сетки являются искомыми, поэтому для получения приближенного решения задачи необходимо отрегулировать эти значения температуры таким образом, чтобы обеспечивался минимум функционала (23.26). Условием минимума функционала является равенство нулю первых производных от него по температурам во всех узлах сетки. В результате дифференцирования (23.26) по всем неизвестным температурам получается система линейных алгебраических уравнений. Последующее решение этой системы уравнений каким-либо известным методом дает приближенное решение исходной задачи. [c.247]

В схеме (3.76) неизвестные температуры обозначены как элементы двумерного массива — и п, Однако при записи линейной системы уравнений всем неизвестным надо присвоить сквозную нумерацию и представить их в виде одномерного массива — вектор-столбца. Такая перенумерация позволяет представить систему разностных уравнений в общепринятой матричной форме записи систем линейных алгебраических уравнений и воспользоваться стандартными программами их решения. Выполним перенумерацию по горизонтальным прямым слева направо и снизу вверх. В этом случае неизвестные нижней горизонтальной прямой обозначаются и , и ч,. .., неизвестные второй горизонтальной прямой — [c.115]

Таким образом, при использовании неявной схемы сначала в соответствии с принятой перенумерацией неизвестных проводится формирование ленты матрицы А и столбца свободных членов, а затем с помощью обращения к какой-либо стандартной программе решения линейной системы уравнений с ленточной матрицей находятся искомые значения температуры. Пример использования такой стандартной программы рассматривается в следующей главе применительно к системе уравнений метода конечных элементов, которая также имеет ленточный вид. [c.117]

Имея в виду, что [К] Х[К] = 1, получим решение линейной системы уравнений в виде вектора неизвестных параметров [Р) [c.181]

Для других плоских и пространственных механизмов система уравнений для определения реакций в кинематических парах (без учета сил трения) также является линейной, и потому ее решение не представляет принципиальных трудностей. Следует, однако, иметь в виду, что линейные системы уравнений кинетостатики дают возможность определить лишь главный вектор и [c.128]

Аналогично при построении решения линейной системы уравнений типа (18.8) следует рассматривать систему [c.142]

Периодическое решение линейной системы уравнений движения в исходном приближении запишем в форме (34.6), где значения коэффициентов а Ьу [c.227]

Все вычисления при реализации алгоритмов осуш,ествляются по типовой схеме, причем аналитическое представление решения известно на каждом шаге итераций. Поэтому, если иметь в виду только объем вычислительных работ, связанных с построением искомого решения нелинейной системы уравнений движения машинного агрегата, то он приблизительно в k раз больше соот-ветствуюш,его объема при отыскании решения линейной системы уравнений того же порядка (где k — число выполненных приближений). Практически, если воспользоваться указаниями в п. 21 при построении периодического решения, трудоемкость вычисления последующих приближений сокращается почти вдвое. [c.232]

Выше описан общий метод решения контактных задач, который сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Замкнутое решение контактной задачи удается получить лишь в случае контакта тел простой формы (цилиндры, шары и др.). [c.14]

Линейные системы уравнений — Решение 115 [c.575]

Отметим, что наиболее трудоемкой частью линейного расчета на устойчивость в п.2 алгоритма является решение линейной системы уравнений (4.12) при определении наложенной связи, требующее треугольной декомпозиции линеаризованной матрицы жесткости в виде [c.117]

Данная линейная система уравнений является системой с диагональным преобладанием, т. е. в каждой строке диагональный коэффициент больше суммы остальных коэффициентов строки. В этом случае система (4.29) является хорошо обусловленной, что обеспечивает эффективное численное решение данной системы, например методом прогонки. [c.192]

Достаточную точность длл практических расчетов обеспечивает решение следую-ш,еД линейной системы уравнений [c.397]

Скорости и ускорения звеньев структурной группы могут быть найдены после решения задачи о положениях ее звеньев при условии, что известны скорости и ускорения внешних пар группы. В данном случае при определении как скоростей, так и ускорений, тоже получается линейная система уравнений, определителем которой является якобиан D исходной системы уравнений анализа группы. [c.405]

Находятся неизвестные параметры Hi как решение линейной системы уравнений [c.460]

Рассмотрены ламинарные течения вязкой несжимаемой жидкости и теплообмен в каналах при произвольном малом отклонении их поверхности от цилиндрической. Приведена линейная система уравнений и граничных условий для возмущенных динамических и тепловых полей, полученная путем линеаризации полной системы уравнений Навье-Стокса около решения для развитых течений в цилиндрических трубах произвольного сечения. Для практически важного случая, когда возмущения поверхности каналов сосредоточены на участке конечной длины, показано, что интегральные динамические и тепловые характеристики каналов находятся без решения трехмерных уравнений путем перехода к эффективным двумерным краевым задачам, сложность решения которых не выше, чем для развитых течений. Дано обобщение развитой теории на течения с силовыми источниками малой эффективности. Рассмотрены приложения к плоским каналам и круглым трубам с возмущенными поверхностями. [c.374]

Проанализируем разрешающую систему уравнений. Учитывая линейность системы уравнений (6.56), (6.57), общее решение для среднего прогиба будем искать в виде [c.187]

Аналогичным методом разложения по малому параметру основных решений и коэффициентов линейной системы уравнений можно получить коэффициент интенсивности напряжений около внутренней эллиптической трещины из решения М. А. Садовского и Е. Штернберга [138]. Система линейных уравнений [138], [c.194]

Каждое из этих решений в отдельности в силу линейности системы уравнений (1.12), (1.17) должно удовлетворять условиям совместности деформаций (1.17). Подставляя первое решение в соотношения (1.17), придем, к системе уравнений для определения функций Фу [c.17]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Система уравнений сводится к линейным алгебраическим уравнениям, для решения которых используется метод Гаусса. [c.290]

Итак, для определения постоянных интегрирования С (i — = 1, 2,. .., 8 7 = 0, 1, 2) из (12.6), (12.7) получим систему 24 линейных алгебраических уравнений, численное решение которой имеет те же трудности, что и аналогичная система уравнений в случае балок (см. 9). Используя компактную схему исключения [79], получим аналитические выражения для постоянных интегрирования, с помощью которых определим обобщенные смещения [c.76]

Полученная система довольно легко решается на электронных счетных машинах. Для этого следует задаться какими-то значениями неизвестных Г/ и подсчитать коэффициенты при неизвестных в -диагональных членах. Получается линейная система уравнений. В результате решения получим первое приближение температур объемных зон. По этим температурам вновь найдем коэффициенты в диагональных членах, вновь решим линейную систему уравнений и т. д. до тех пор, пока последовательные решения не станут повторяться. Во многих случаях целесообразно иметь систему зональных уравнений в безразмерном виде [243]. [c.385]

Метод припасовывания заключается в следующем. Задавшись начальными условиями внутри какого-либо участка и решая соответствующее линейное дифференциальное уравнение, получим решение, справедливое на этом участке затем определяем состояние системы (координату и скорость) на границе с соседним участком, на котором движение описывается уже другим линейным дифференциальным уравнением для решения, соответствующего второму участку, за начальные условия выбираем конечное состояние иа предыдущем участке и т. д. [c.526]

В силу линейности система (1.4.62)-(1.4.63) допускает решение, пропорциональное exp(Aii). Подстановка этого решения в систему (1.4.62), (1.4.63) приводит к алгебраической однородной линейной системе уравнений для соответствуюш их амплитуд. Равенство нулю определителя этой системы дает уравнение для инкремента Л [c.63]

На рис. 3.32 приведено также решение линейной системы уравнений (3.99) соответствующая кривая для случая начала движения поверхности отмечена на рис. 3.31 [c.115]

Наконец, перейдем к вопросу решения системы уравнений. Для решения систем уравнений МКЭ применяют как прямые, так и итерационные методы. Причем последние обычно используют в тех случаях, когда объем оперативной памяти не позволяет хранить всю глобальную матрицу даже с учетом ленточного симметричного вида. Из прямых методов хорошо зарекомендовал себя на практике и получил широкое распространение метод квадратного корня. Этот метод пригоден только для систем линейных уравнений с симметричной матрицей и по затратам машинного времени примерно вдвое быстрей метода исключения Гаусса. В математическом обеспечении ЭВМ имеются стандартные программы, реализующие метод квадратного корня. Предусмотрен и случай систем с ленточной матрицей (стандартная подпрограмма МСНВ из математического обеспечения ЕС ЭВМ [15]). В заключение подчеркнем, что использование той или иной стандартной подпрограммы решения системы уравнений требует определенного способа записи глобальной матрицы в одномерный массив. Применяемые способы различны для разных подпрограмм, т. е. может организовываться запись по [c.146]

Таким образом, расчет упругого контакта тел (определение -напряжений в зоне контакта, размеров этой зоны и кинематического перемещения тел) сводится к решению интегральных уравнений (1.21) с учетом уравнений равновесия и краевых условий. Реще-пие этой системы может быть получено заменой интегральных уравнений конечной системой линейных алгебраических уравнений (приближенное решение). [c.12]

Сумма этих матриц дает матрицу жесткости элемента [/(]. Для построения общей матрицы жёсткости всей системы необходимо воспользоваться последовательностью, приведенной в 3.5. Нужно отметить,что при решении задач часто приходится стыковать элементы разных размеров. На участках оболочки, где ожидается быстрое изменение перемещений, например вблизи краевой зоны, длина элементов должна быть небольшой по сравнению с длиной элементов в остальных зонах оболочки. Стыковка элементов разной длины в МКЗ мало усложняет расчет, Jto является большим достоинством метода. Для заданной нагрузки из соотношения (9.46) и матрицы (9.49) на-хрдят вектор узловых сил, который соответствует. ..правой части линейной системы уравнений. Решение этой системы, при учете условий на границе оболочки, определяет все узловые перемещения. [c.266]

Выражения (8.7) содержат три произвольные постоянные А , Лд, F и удовлетворяют уравнениям движения при произвольных значениях частоты со и постоянной распространения у. При рассмотрении вынужденных гармонических движений частота определяется источником сил или перемещений, а у является параметром при представлении всех величин интегралами Фурье. Рассмотрение волновых движений при однородных условиях на цилиндрической поверхности приводит к однородной линейной системе уравнений для постоянных А , Аз и F. Условие существования ее нетривиального решения определяет дисперсионное соотношение, связывающее допустимые значения у и со. [c.147]

Постоянные интегрирования .j (г = 1, 2,. . ., 8 j = О, 1, 2) из (9.4), (9.5) необходимо определять из указанных краевых условий и условий непрерывности (9.8) и (9.10) при i, 2) которые дадут систему 24 линейных алгебрапческих уравнений. Численное решение указанной системы уравнений затруднено, так как матрица данной системы плохо обусловлена. Это связано с тем, что коэффициенты системы дифференциальных уравнений (9.2) содержат фактически два малых параметра и y4 VA . Однако с помощью компактной схемы исключения [79] получены рекуррентные сооотпошения для определения постоянных интегрирования Су (г = 1, 2,. .., 8 = 0, 1, 2) и тем самым найдены для них аналитические выражения, используя которые были получены обобщенные смещения [c.57]

Если свойства материала изменяются в окружном направлении, решение трехмерной задачи не распадается на отдельные двумерные задачи для каждой гармоники в отдельности. Изменение свойств материала в окружном направлении может быть вызвано переменной температурой, от которой зависят свойства материала, упругопластическими деформациями, анизотропией материала общего вида [241], конструктивной неоднородностью [135], а также вырезами или выступами, нарушающими осевую симметрию тела [62, 63, 101, 189]. В этом случае система разрешающих уравнений МКЭ составляется для всех гармоник одновременно. В каждом узле конечного элемента число неизвестных равно утроенному числу удерживаемых гармоник. Как известно, число операций при решении линейной системы уравнений с ленточной матрицей примерно пропорционально Р N [70], где I — ширина полуленты матрицы коэффициентов N — порядок системы. Если при удержании т гармоник задача распалась на т отдельных двумерных задач, то число операций для решения всех систем будет примерно в раз меньше. Если учесть, что при густой разбивке основное время занимает решение системы разрешающих [c.156]

Решение находилось методом Рунге — Кутта — Мерсона с относительной погрешностью на шаге 10 . Интегрирование проводилось до некоторой точки сшивки лежащей в области наибольших по абсолютной величине производных. Решение ui. (х), аналитическое в окрестности точки x = —i, при ж = 1, вообще говоря, становится неограниченным. Однако если существует такой набор параметров Ие и Рг, при котором u L x) является аналитическим и при ж = 1, то с точностью до постоянных множителей функции n t. (х) и и+ (х) совпадут всюду на интервале [—1, 1]. Чтобы это произошло для линейного однородного уравнения второго порядка (6), достаточно совпадения функций и первых производных в произвольной точке Жс (— 1,1). Эти условия в терминах функций u L x) и и х) имеют вид линейной системы уравнений [c.262]

В случае цилиндра конечной длины применяется наложение решений для бесконечного цилиндра и слоя удовлетворение граничных условий на цилиндрической поверхности и торцах цилиндра приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, эффективное решение которой может быть получено методом Б. М. Кояловича. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...