Солитонные решения уравнения КдФ

Солитонные решения уравнения КдФ [c.78]

При изучении УУ-солитонных решений уравнения КдФ мы будем в основном следовать методу, описанному в п. 3.6.2, делая необходимые изменения. [c.86]

Точное решение уравнения КДФ, описывающее солитон, имеет вид [c.141]

Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний решение и х,1) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время / рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия и х,0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера. [c.95]

Интересно отметить, что исследования Лакса шли параллельно с изучением уравнения КдФ. Это не удивительно, поскольку главная его цель заключалась в объяснении существования солитонов, скрытых в произвольном решении. [c.95]

Чтобы проиллюстрировать метод обратной задачи теории рассеяния, в этом разделе мы рассмотрим простые случаи одно- и двухсолитонных решений уравнения КдФ. Это рассмотрение покажет, что одному собственному значению уравнения Шредингера соответствует только одно солитонное решение и наоборот. Мы установим аналогичный факт для общего случая N солитонов в следующем разделе. [c.78]

Предыдущие рассмотрения ведут к следующему заключению. Если и х,(), решение уравнения КдФ, есть безотражательный потенциал Шредингера, то при /-> оо каждое собственное значение связано с солитоном, форма которого стремится к форме уединенной волны (3.156) при /->+оо и форме (3.160) при /->—оо. Уединенная волна имеет постоянную скорость 4Хр и амплитуду 2x2. цд время ее прохождения от I = —оо до I = оо фаза на ее траектории изменяется на величину [c.92]

Теперь понятно, что уравнения (3.104) и (3.106) с точ ностью до разницы в фазе представляют собой тот же са мый солитон, перемещающийся от х = —оо до д = -]- оо Аналогично уравнения (3.109) и (3.111) также с точностью до разницы в фазе представляют собой тот же самый соли тон, перемещающийся от х = — оо до х = -]- оо. Таким обра зом, можно заключить, что каждому собственному значению уравнения Шредингера (3.85) соответствует односолитонное решение. Между тем уравнение (3.102) описывает двухсоли-тонную волну, которая распадается на два солитона при /-)-с о и /-> — оо, и эффект нелинейного взаимодействия между ними, описываемого уравнением КдФ, сводится просто к тому, что их взаимное положение смещается по отношению к положению, которое они заняли бы, если бы взаимодействия не было. [c.84]

Аналогично из рассмотрения солитонных решений мы заключаем, что разности фаз 1р также являются интегралами уравнения КдФ. В гл. 3 мы также упомянули, что Миуре, Гарднеру и Крускалу удалось доказать существование бесконечной последовательности интегралов уравнения Кдф. Они предложили метод построения этих интегралов. Интегралы, или не зависящие от времени функционалы, могут существовать также на решениях общего уравнения (4.1). В этой главе мы изучим их свойства. [c.96]

Петвиашвили уравнения, а также квоидальные волны, Напр., солитоны, описываемые ур-нием КдФ, в при- ближении длинных волн ведут себя подобно идеаль- 3 ному одноатомному газу. Решения квазичаплыгинских ур-ний в многомерном случае могут быть автомодель- ного типа V r t (см. Автомодельность), а в одномерном нестационарном или в двумерном стационарном случаях исходные нелинейные ур-ния могут быть сведены к двум линейным ур-ниям для обратных ф-ций, и более того — к простому ур-нию Лапласа Дф(г,ф,2) — О в своеобразном трёхмерном фазовом пространстве, что и показывает возможность их полной интегрируемости при любых нач. условиях. [c.599]

Наконец, чтобы закончить с методами первой части, упомянем интенсивно развивае мые сейчас методы построения точных решений солитонного типа для отдельных клас сов нелинейных уравнений и систем уравнений, встречающихся в механике и физике сплошной среды при описании распространения некоторых типов волн с учетом их дис Персии [10]. Речь прежде всего идет об известном уравнении Кортевега де Фриза (КДФ) для функции и х, t) (ж — пространственная переменная, t — время, нижние индексы обозначают дифференцирование по соответствующим переменным) [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...