Переходные функции

Очевидно, что для простой жидкости с исчезающей памятью напряжение, определяемое такой кинематикой, становится со временем (т. е. при оо) таким же, как в течении с предысторией постоянной деформации, рассмотренном в разд. 5-3, т. е. оно полностью определяется материальной функцией т е ( ) из уравнения (5-3.16). Однако здесь интересуемся переходной функцией отклика напряжения, которая реализуется перед тем, как предельное значение, если оно существует, будет достигнуто. [c.292]

ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ - функция, выражающая реакцию динамической системы на входной сигнал типа единой ступенчатой функции при нулевых начальных условиях. Является важной характеристикой системы, полностью определяющей ее [c.58]

Основные характеристики линейных динамических систем -импульсная переходная функция (/) и передаточная функция W p связаны с переходной функцией h f) соотношениями [c.59]

Систематически изложены методы исследования динамики процессов химической технологии. Приведены примеры использования этих методов для решения практических задач. Рассматриваются методы теоретического и экспериментального получения передаточных, весовых и переходных функций технологических объектов, а также методы определения параметров математических моделей процесса по экспериментальным переходным кривым. [c.2]

Таким образом, для определения правила действия оператора А на любую функцию (/) (т. е. для определения реакции объекта на любое входное возмущение) достаточно знать действие этого оператора на 8 t — т). Функция G t,x), характеризующая оператор Л (соответственно, и технологический объект, описываемый оператором Л), называется весовой, или импульсной переходной, функцией. Для любого линейного объекта выходная функция v t) определяется по входной функции u t) и весовой функции по формуле (2.2.43). Физический смысл весовой функции состоит в том, что G(t,x) определяет, какой вклад в значение выходной функции V в момент времени i дает значение входной [c.60]

С помощью весовой функции 0( ,т) линейный оператор А представлен в виде интегрального оператора. Соотношение (2.2.47) [или более общее соотношение (2.2.43)] можно рассматривать как доказательство утверждения о том, что любой линейный оператор представим в виде интегрального оператора общего вида. Это утверждение играет большую роль в теории линейных операторов оно позволяет свести исследование линейного оператора А к исследованию импульсной переходной функции G t,x). [c.61]

Переходная функция. Наконец, рассмотрим еще один вид представления (2.2.33). В качестве P t,x) возьмем параметрическое семейство ступенчатых функций — т). Функция % t) определяется следующим образом [c.66]

Функция — т) называется переходной функцией [c.66]

Для переходной функции реальных технологических объектов выполнено условие, аналогичное условию (2.2.45) для весовой [c.66]

Интегральные представления (2.2.46), (2.2.56) и (2.2.67) для правила действия линейного оператора А являются частными случаями (2.2.34). В принципе можно построить множество других представлений, которые будут частными случаями (2.2.34) и получающихся при выборе более сложного вида параметрической системы функций Р(/, т) в (2.2.33). Однако все такие представления будут слишком сложны из-за трудности отыскания функции s(t), необходимой для построения исходного представления (2.2.33). Поэтому при исследовании динамики технологических процессов применяют только интегральные представления с использованием весовой функции G t, т), частотной характеристики F t, ш) [или параметрической передаточной функции F t,p)] и переходной функции Эти функции в дальнейшем будем называть ха- [c.67]

Чтобы закончить рассмотрение функций G t,r), F(t,p) и характеризующих линейный объект и его оператор, выведем соотношения, связывающие переходную функцию H t,%) с частотной характеристикой и весовой функцией. Сначала выразим весовую функцию G t, т) через переходную. Для этого представим b t — т) в виде предела последовательности функций бю, д]( — т) b t—т) == [c.67]

Аналогично получаем, что и переходная функция Н(1,т) будет для стационарного объекта зависеть только от разности t — x, т. е. [c.69]

Переходная функция реальных объектов также подчиняется условию h(t) =0 при t < 0. [c.69]

Соотношения (2.2.74) и (2.2.76), связывающие передаточную функцию с весовой и переходной функциями, очень часто используются при описании стационарных объектов. Они позволяют по одной из функций W p), h t) или g t) найти две другие. Как правило, исходной, наиболее просто определяемой, является передаточная функция W p). [c.70]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Рис. 2.4. Переходная функция h t) линейного стационарного объекта. Величина заштрихованной площади равна значению инерционности процесса.

Весьма важной характеристикой стационарного объекта является переходная функция h t). По определению она представляет собой выходную функцию объекта, на вход которого подано воздействие в виде ступенчатой функции % t), т. е. когда на входе объекта в момент t = О произошел скачок входного воздействия от нуля до единицы. Таким образом, h t) описывает процесс перехода объекта из стационарного режима работы, соответствующего u t) S О, в стационарный режим работы, соответствующий u t) 1 (рис. 2.4). [c.72]

Приведем простой пример определения весовой, передаточной и переходной функций для простого химико-технологического объекта, описываемого одним обыкновенным дифференциальным уравнением. Пусть имеется реактор идеального перемешивания (рис. 2.5), в который с объемной скоростью L поступает жидкость с растворенным в ней трассером — веществом, которое химически не взаимодействует с другими веществами и используется при исследовании структуры потоков в аппарате. Обозначим концентрации трассера на входе в аппарат и на выходе из него, соответственно, через Сах(<) и Свых(0> объем жидкости в аппарате — через V. Расход жидкости L будем считать постоянным. [c.73]

Приведенный пример ясно показывает, что наиболее важной характеристикой стационарных объектов является передаточная функция W p). Это связано, во-первых, с тем, что она легко может быть получена из уравнений математической модели после применения к ним преобразования Лапласа по времени, и, во-вторых, с тем, что с помощью W р) легко может быть получена весовая функция g t) и переходная функция h t). [c.75]

Чтобы получить переходную функцию оператора, задаваемого уравнением [c.83]

Аналогично можно получить весовую и переходную функции для более общего случая, когда оператор задан уравнением [c.83]

Рассмотрим конкретный пример применения полученных при = 1, т — О формул для весовой и переходной функций. Пусть уравнение (3.1.6) имеет вид [c.84]

Передаточная функция стационарного объекта, описываемого уравнением (3 1.1), является дробно-рациональной функцией вида (3.1.35). Поскольку для дробно-рациональных функций переход к оригиналам осуществляется весьма просто, выражение (3.1.35) часто используют для определения весовой и переходной функций стационарного объекта. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для определения весовой функции g t) требуется применить обратное преобразование Лапласа к функции W p), а для определения переходной функции h(t) — K функции W p)/p. Необходимо разложить дробно-рациональные функции W (р) и р)/р на простейшие дроби и осуществить переход к оригиналам в каждом слагаемом. [c.92]

Осуществив переход к оригиналу в каждом слагаемом правой части, получим выражение для переходной функции [c.93]

Для получения переходных функций необходимо рассматривать реакцию объекта на введение ступенчатой функции х(0- Например, переходные функции liu t) и /112(0 являются решением системы уравнений [c.95]

После того как определены передаточные функции объекта, их можно при необходимости использовать для нахождения весовых и переходных функций по формулам (2.2.87). Для этого нужно разложить дробно-рациональные функции Wij p) и Wij p)/p на простейшие дроби и перейти от изображений к оригиналам. Наибольшие затруднения возникают при отыскании корней полинома Ф(р), стоящего в знаменателе дробно-рациональной функции Wij(p), поскольку этот полином обычно имеет большой порядок. [c.96]

После построения передаточной функции стационарного объекта можно определить и другие его характеристики весовую и переходную функции. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для их нахождения нужно применить обратное преобразование Лапласа к функциям W p) и W p)/p. [c.101]

Например, в рассмотренном выше примере весовая и переходная функции легко определяются из соотношения (3.2.21). Действительно [c.101]

Уравнение (3.2.16), полученное из исходного уравнения (3.2.13) в результате применения преобразования Лапласа, легко решается, и передаточная функция (3.2.21) имеет очень простой вид, что позволяет полностью описать действие оператора на произвольную входную функцию и без труда найти весовую и переходную функции. В том случае, когда исходное уравнение, с помощью которого задается оператор объекта, является более сложным, чем (3.2.13), новых принципиальных трудностей в определении [c.101]

Весьма трудную задачу в этом случае представляет также нахождение весовой функции g t] и переходной функции h(t), которые являются оригиналами функций W(p) и W(p)lp, соответственно. В следующем разделе будут рассмотрены некоторые методы, позволяющие решить эту задачу. [c.103]

Как правило весовые и переходные функции непосредственно из математической модели определить не удается, поскольку для их нахождения необходимо решать краевую задачу для системы [c.103]

Получение передаточной функции является, как правило, первым шагом в исследовании динамики технологического объекта. Несмотря на то, что знание передаточной функции W(p) дает полную информацию о динамических свойствах объекта, часто в различных конкретных задачах бывает удобно использовать для характеристики объекта не W (р), а весовую функцию g t) или переходную функцию h(t). Выше уже отмечалось, что h t), например, является самой естественной характеристикой процесса перехода объекта из одного стационарного режима работы в другой, поскольку непосредственно описывает изменение выходного параметра при таком переходе. Поэтому, после того как получено аналитическое выражение для передаточной функции, возникает задача применения к ней обратного преобразования Лапласа с тем, чтобы получить весовую функцию g t) и переходную функцию h t). Такая задача часто оказывается трудноразрешимой, поскольку аналитическое выражение передаточных функций объектов с распределенными параметрами имеет очень сложный вид. В связи с этим применяются различные методы получения приближенного выражения для весовой и переходной функций с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции W p). Указанные методы можно разделить на две группы. [c.107]

Отметим, что использование разложений (3.3.1), (3.3.2) весовой и переходной функций, полученных с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции, целесообразно при численном расчете значений g(t) и h t). В качестве функций фя(0 и фигурирующих в разложениях (3.3.1) и (3.3.2), [c.109]

Если требуется получить с помощью функции W p), представленной в виде (3.3.8), приближенное выражение для переходной функции h t), достаточно записать разложение, аналогичное разложению (3.3.8), для функции W(p)/p [c.111]

Рис. 3.1. Весовая и переходная функция реального технологического объекта. В точке t=t выполнены условия А(оо) — -Л (to) < 0.05. Л (оо) и g (<о) < 0,05 g (0).

Отметим, что (3.3.9) и (3.3.12) представляют собой разложения функций g t) и h t) в ряд Тейлора около точки = 0 (ряд Маклорена). Поэтому приближенное представление g t) с помощью (3.3.11) и h t) с помощью (3.3.13) справедливы вблизи точки = 0, причем чем больше взято членов в (3.3.11) и (3.3.13) [соответственно, чем больше членов в (3.3.10)], тем больше интервал вблизи точки = О, на котором gN t) и Лл/(0 дают достаточно точную аппроксимацию для g t) и h t). В реальных технологических объектах весовая функция g t) экспоненциально стремится к нулю, а переходная функция h(t) при t oo стремится к конечному пределу /г(оо), соответствующему выходу объекта на стационарный режим работы. Фактически за конечное время to происходит изменение g t) от начального значения до нуля и h t) от начального нулевого значения до стационарного значения /2(00) (рис. 3.1), поэтому для получения полной информации о переходных процессах в объекте достаточно выбрать в (3.3.10) столько слагаемых, сколько нужно для того, чтобы соответствующие функции gN t) и hN(t) с необходимой для практических целей точностью аппроксимировали g(t) и h t) в интервале [О, о]. [c.112]

Рассмотрим простой пример получения аппроксимации весовой и переходной функций с помощью разложения в ряд передаточной функции W p). Пусть объект описывается простейшим дифференциальным уравнением первого порядка [c.112]

Чтобы получить разложение в степенной ряд переходной функции, нужно применить обратное преобразование Лапласа к функции №(р) р, для которой из [c.113]

Переходную функцию h(t) = 1 —е в данном случае легко можно было получить непосредственным применением обратного преобразования Лапласа к р)1р— 1/[р(Р+ )] В более сложных случаях, когда такое непосредственное получение оригиналов функций W(p) и W p)jp невозможно, представления весовой и переходной функций степенными рядами (3.3.17) и (3.319) весьма удобно для исследования динамики технологического объекта. [c.113]

В реальных технологических объектах переходные процессы являются монотонными и ограниченными [9] соответственно, h t) представляет собой функцию, монотонно возрастающую от нулевого значения при = 0 к асимптотическому значению при t-yoo. В этом случае передаточные функции объектов удобно представлять рядами вида (3.3.20) с дробно-рациональной функцией В монографии [7], например, изложен метод получения разложений переходной функции, основанный на использовании разложения (3.3.20) для W(р) с а р) в виде [c.114]

После получения выражений для передаточных функций нетрудно определить с их помощью соответствующие весовые и переходные функции объекта. Весовые функции й п(0 и 21 (О получаются после применения обратного преобразования Лапласа к (4.1.12) и (4.1.13) [c.119]

Рзделив обе части уравнения на a t), сведем его к уравнению (3.1.3). Тогда весовая и переходная функции будут, соответственно, иметь вид [c.84]

При теоретическом исследовании динамики объекта необходимо, чтобы разложения весовой и переходной функций имели достаточно простой аналитический вид. В этом случае обычно используют методы получения приближенных выражений для g(f) и h(t) с помощью приближенного выражения для самой передаточной функции W(p). Приближенное выражение для W(p) обычно представляет собой конечный отрезок бесконечного ряда, являющегося разложением W(p) по какой-то системе функций. Задача получения обратного преобразования Лапласа от W(p) становится в этом случае очень простой для его решения достаточно осуществить почленный переход к опигиналам в разложении функции W p). Обычно функции, по которым производится разложение W p), выбираются такими, что переход к оригиналам не вызывает никаких затруднений. Фактически, основная сложность в рассматриваемом методе аппроксимации g t) связана с отысканием удобного разложения W p) в ряд и исследованием корректности замены W(p) приближенным выражением в виде конечного отрезка ряда. Выясним, какими свойствами должно обладать это [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...