Условия инвариантности уравнений движения

Таким образом, в динамически подобных механических систе-. мах масштабные коэффициенты параметров системы связаны соотношением (22.12), которое называют условием инвариантности уравнений движения подвижных систем (критерий подобия). Его записывают в более общем виде [c.434]

Условия инвариантности уравнений движения [c.12]

Соотношение (8.25) было обосновано Онзагером для неравновесных процессов с использованием принципа микроскопической обратимости, выражающего инвариантность уравнений движения частиц относительно операции обращения знака времени. Соотношение взаимности в виде (8.25) справедливо при отсутствии внешних магнитных полей и вращения системы как целого при условии, что обе рассматриваемые силы являются одновременно четными или нечетными функциями импульсов частиц (см. гл. 7). [c.200]

Следует заметить, что обш,ий вариационный принцип, с помощью которого находятся инвариантные уравнения движения, определяющие уравнения (модель) и различные дополнительные условия (краевые, начальные условия на поверхности скачков и пр.), был сформулирован Л. И. Седовым (1965). Этот принцип был использован для исследования разрывов в сплошной среде М. В. Лурье (1966). [c.308]

Таким образом, при взаимодействии, явно зависящем от скорости, т. е. при Р Р и), для сохранения инвариантности уравнений движения (4.1) относительно преобразования обращения времени требуется изменение некоторых внешних условий (если в примере (4.14) не изменять направление индукции магнитного поля, то траектория обращенного движения частицы будет резко отличаться от траектории прямого движения). Весьма примечателен тот факт, что все известные в настоящее время взаимодействия (сильное, или ядерное электромагнитное слабое взаимодействие, ответственное за р-распады элементарных частиц, и гравитационное) инвариантны относительно преобразования обращения времени с учетом необходимого для некоторых из них изменения направления напряженностей поля. [c.47]

Следствие теоремы Лиувилля. В предыдущем параграфе мы использовали факт существования однозначного интеграла уравнений движения для получения инвариантного интеграла по области 2га — 1 измерений. Выясним теперь условия, при которых существует инвариантный интеграл но области 2п — 2 измерений. [c.451]

Политропное уравнение состояния и уравнение неразрывности dp/dt + div(pu) = О инвариантны относительно всякого преобразования вида (31). Уравнения движения (невязкой жидкости) инвариантны относительно группы (31) тогда и только тогда, когда 5 = Отсюда, двухпараметрическая подгруппа группы (31), сохраняющая неизменными уравнения движения Эйлера, определяется условием 5 = [c.174]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением методов решения уравнений движения, нахождением инвариантных соотношений и постоянных движения. Эта тенденция сложилась потому, что весьма эффективными стали методы получения первых интегралов при известном полном интеграле соответствующим образом составленного уравнения в частных производных, например, уравнения Гамильтона—Якоби. К тому же условия каноничности преобразований, составленные для произвольно выбранного гамильтониана преобразованной системы могут привести к интегрируемым уравнениям относительно производящей функции, с помощью которой определяются в дальнейшем первые интегралы канонических уравнений движения. Усилению этой тенденции способствует, причем весьма действенно, всевозрастающее внедрение ЭВМ в учебный процесс. [c.43]

Благодаря этому уравнения движения в пленках будут инвариантны к изгибанию поверхности, на которой пленка расположена. Но при изучении течений жидкости на поверхности необходимо рассматривать геометрию в целом, а в этом случае не все поверхности при соблюдении условий правильности могут быть изогнуты. Например, поверхности сферы, эллипсоидов не изгибаются (обладает жесткостью), а поверхности цилиндров изгибаются. [c.149]

Стремление сделать книгу как можно более физической диктовало также и выбор предпочтительных методов исследования. Уравнения турбулентного движения всегда оказываются незамкнутыми (содержащими больше неизвестных, чем уравнений), и поэтому, помимо уравнений движения, неизбежно приходится привлекать какие-то дополнительные соображения. Среди таких дополнительных соображений наиболее отчетливый физический смысл имеют соображения подобия (опирающиеся на инвариантность условий задачи относительно некоторых групп преобразований) и соображения размерности (основанные на выделении физических параметров, влияющих на исследуемое турбулентное течение). Поэтому мы старались наиболее подробно осветить именно выводы из соображений размерности и подобия, которые могут применяться в теории турбулентности значительно шире, чем это обычно предполагается. Соответственно полуэмпирическим теориям турбулентности, использующим более специальные гипотезы, в книге уделено сравнительно немного места. [c.23]

Найдем условие каноничности преобразования (9.154). Из определения канонических преобразований следует, что как в старых переменных д, р, так и в новых переменных О, уравнения движения должны иметь каноническую форму. Следовательно, и в старых , и в новых переменных должны выполняться условия инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана (9.127) [c.428]

Система (2.40)-(2.43) удовлетворяет принципу относительности Галилея, т. е. при переходе от одной инерциальной системы координат к другой в условиях инвариантности выражений для массы, температуры, внутренней энергии, внутреннего момента количества движения и силовых воздействий вид уравнений не меняется. [c.303]

Найдем условия инвариантности для линейной системы п дифференциальных уравнений 2-го порядка. Эти уравнения могут описывать движение какой-либо динамической системы, системы регулирования и т. п. Запишем сначала такую систему уравнений в виде, обычно получающемся при составлении уравнений движения [c.13]

Математическая модель, как обычно будет базироваться на фундаментальной системе уравнений механики сплошных сред уравнений сохранения массы, переноса количества движения и переноса теплоты. Как и геометрические характеристики труб и каналов, эта система уравнений совместно с граничными и начальными условиями инвариантна относительно произвольных поворотов вокруг оси Ох. Это позволяет постулировать еще одно допущение [c.568]

Заметим, что из ковариантности уравнений движения (3.30) относительно преобразования Галилея еще не вытекает инвариантность самих механических процессов, т. е. их одинаковый характер в различных инерциальных системах отсчета. Как будет показано в следующем параграфе, механические явления происходят одинаково в различных инерциальных системах отсчета только в том случае, если совпадают начальные условия. Если же начальные условия для одного и того же явления в разных системах отсчета различны, то и само механическое явление в этих системах отсчета протекает по-разному. [c.42]

К задаче обтекания сводится анализ течения, возникающего прн равномерном поступательном движении ограниченного тела в безграничной. массе газа, покоящейся на бесконечности. Если скорость движения тела равна Uo, то можно применить преобразование Галилея, перейдя в систему координат, движущуюся со скоростью uq. Тогда, в силу инвариантности уравнений газовой динамики (см. 8), система (3.16) не изменится, а тело станет неподвижным. Для определения движения газа получится задача обтекания данного неподвижного тела с дополнительным условием [c.71]

Центрально-симметричное решение нри По = 0. Уравнения движения четырех вихрей на сфере (плоский случай получается предельным переходом К со) при условии Г1 = Гз, Гг = Г4 допускают инвариантные соотношения [c.98]

Заметим, что V, будучи функцией Ляпунова для уравнения (2.1), является также функцией Ляпунова и для уравнения относительного движения (2.19). Действительно, она не меняет своего значения при замене (2.18), ввиду условия инвариантности [c.255]

Вместо соображений размерности при выводе формулы (5.22) можно воспользоваться инвариантностью уравнений гидродинамики идеальной жидкости (описывающих рассматриваемое движение при г > бг) относительно преобразований подобия кх, у- ку, г->-кг и t kt. Поскольку эти преобразования переводят полупространство 2>0 в себя, естественно допустить, что относительно них будут инвариантны и все статистические характеристики турбулентности в этом полупространстве (в той степени, в которой они не зависят от вязкости). Но, как мы уже видели, пренебрегая вязкостью (т. е. отвлекаясь от граничного условия ы = 0 при 2 = 0), мы можем рассматривать лишь относительные скорости м (24) — 1 (2г). Поскольку динамическая [c.230]

Условия подобия процессов конвективного теплообмена при совместном свободно-вынужденном движении теплоносителя. Анализ условий подобия раздельно для случаев вынужденного движения и свободной конвекции был проведен выше. На практике, однако, встречаются также случаи, когда одновременно с вынужденным движением в системе под действием подъемных сил развиваются токи свободной конвекции, т. е. имеет место свободно-вынужденное течение теплоносителя. В таком более сложном случае для выполнения условий подобия процессов необходима инвариантность (одинаковость) уже не двух, а трех определяющих чисел подобия Рейнольдса Re, Грасгофа Gr и Прандтля Рг. Соответствующее уравнение подобия для теплоотдачи при совместном свободно-вынужденном движении принимает вид [c.61]

Выясним теперь условия инвариантности уравнений движения физической системы относительно преобразований ее группы симметрии. В классической механике движение системы оггисывается уравнегшя-ми Лагранжа. Поэтому симметрия физической системы относительно определенной группы преобразований находит свое выражение в инвариантности уравнений Лагранжа (и дополнительных условий, если таковые имеются) относительно этих преобразований. Так как уравнения движения, записанные через функцию Лагранжа при любом выборе обобщенных координат ф имеют всегда один и тот же вид [c.12]

Чтобы пояснить это утверждение, заметим, что (4.1) определяет систему прямоугольных декартовых координат только в пределах ортогональных преобразований (ср. 9). Приведенная выше аксиома требует инвариантности уравнений движения относительно таких ортогональных преобразований, при условии, что это — собственные преобразования (т. е. группа преобразований не включает отражений). Инвариантность относительно переноса начала координат означает однородность пространства, а инвариантность относительно вращения — его мзотротгкость. Инвариантность по отношению к отражению относительно плоскости (несобственное преобразование) означала бы эквивалентность винтов с правой и левой резьбой. [c.27]

Л. И. Седов сформулировал вариационный принцип, с помощью которого находятся инвариантные уравнения движения, уравнения состояния (модель) и различные дополнительные условия (краевые, начальные условия на поверхностях скачков и пр.). Этот принцип дал возможность построить класс моделей сплошных сред, включающий многие известные модели, а также другие модели, учитывающие вязкие, упругие, пластические эффекты, движенйе дислокаций. Систематическое изложение современной механики сплошной среды с привлечением термодинамики, электродинамики, химической кинетики дано в книгах Л. И. Седова [c.278]

Остается еще удовлетворить условию с [8], необходимость которого вызвана тем обстоятельством, что даже формально релятивистски-инвариантное уравнение движения не всегда обеспечивает скорость частицы, меньшую скорости света. Для выяснения этого обстоятельства, которое не является специфически квантовым, обратимся к классическому релятивистскому рассмотрению. [c.248]

При исследовании различных физических систем часто удается представить обнаруженные свойства и закономерности в форме законов симметрии. Эти законы выражаются в инвариантности (независимости вида) уравнений движения рассматриваемой физической системы относительно некоторых определенных преобразований. Если, например, уравнения движения инваркантны относительно ортогональных преобразований декартовых координат в трехмерном пространстве, то можно сказать, что в данном случае симметрия проявляется в эквивалентности определенным образом ориентированных Друг относительно друга систем отсчета при описании движения соответствующей физической системы. Эквивалентными системами отсчета принято называть такие системы, в которых тождественные 5шления протекают одинаковым образом, если для них созданы одинаковые начальные условия. Наоборот, если в физической теории постулируется эквивалентность некоторых систем отсчета, то уравнения движения должны бьпъ инвариантны относительно преобразований, связывающих координаты в этих системах. Так, например, постулат теории относительности об эквивалентности систем отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, выражается в инвариантности уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Класс эквивалентных систем отсчета для данной задачи часто определяется из наглядных геометрических соображений, относящихся к модели рассматриваемой физической системы, как это имеет место для симметричных молекул, кристаллов и т. д. [c.8]

Бесконечно малое произведение П х= йх. йх, (1хзс1х представляет элементарный объем в четырехмерном пространстве Минковского и как таковой является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца. Следовательно, само выражение принципа (11.1) инвариантно при условии, что X является скалярной величиной. Эта форма принципа Гамильтона принимается как отправной пункт для описания полей. Так как эта форма является только новым вариантом записи использованного ранее принципа, то все полученные прежде следствия и здесь остаются в силе. В частности, уравнения движения (написанные в новых обозначениях) примут вид [c.154]

Важность скобок Пуассона определяется тем, что они инвариантны по отношению к касательным преобразованиям, т. е. к таким преобразованиям канонических переменных, которые оставляют уравнения движения неизменными. В силу этого уравнения движения могут быть выражены посредством скобок Пуассона. Условия того, чтобы преобразование, преобразующее одну систему переменных в другую, было касательным, могут быть написаны с помощью скобок Пуассона следующим образом [c.832]

В этих условиях уравнения движения с околозвуковыми скоростями упро-гцаются. Если в упрощенное уравнение ввести безразмерные переменные, то можно получить соотношение между некоторыми величинами, инвариантное для соответствующих точек двух потоков. Соотношение подобного рода, выражающее закон подобия, и найдено Фальковичем и Карманом для околозвуковых течений. Позднее такой закон выведен Г. Гудерлеем (1948), [c.335]

Уравнения движения определяют действительное изменение механического состояния системы за бесконечно малый элемент времени и тем самым (если заданы начальные условия) определяют изменение состояния оистемы на конечном интервале времени. В связи с этим становится возможным отыскание, как гово-рят, и нтегр а л ьн ых принципов, характеризующих движение механической системы на таких кО Нечяых интервалах. Примером интегрального принципа может служить утверждение об инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана инвариантности этого интеграла была установлена с помощью полной вариации функции действия. При этом, по существу, производилась сопоставление значений функции действия на различных действительных траекториях механической системы. Однако возможно соответствующее сопоставление значения какой-либо функции на действительной траектории с ее значениями на виртуальных траекториях. Такое сопоставление (как будет видно) также приводит к некоторому интегральному принципу. [c.449]

В связи со сложностью турбулентных течений общего вида большую ценность для изучения многих вопросов представляет геометрически простейший пример турбулентного движения, а именно, случай так называемой однородной и изотропной турбулентности (впервые рассмотренный Дж. Тейлором в 1935 г.). Этот случай соответствует турбулентности в безграничном пространстве, у которой распределения вероятностей для значений гидродинамических полей в любой конечной группе пространственно-временных точек (a ft, д) (А = 1,. . ., п) инвариантны относительно всех ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат (т. е., иначе говоря, не меняются при всех переносах, вращениях и отражениях выбранной группы точек). В силу указанных условий инвариантности структура статистических моментов (1.1) и вид уравнений Фридмана — Келлера для моментов (1.2) в случае однородной и изотропной турбулентности (которую для краткости далее мы называем просто изотропной) оказываются наиболее простыми (хотя уравнения для моментов все равно остаются незамкнутыми). Поэтому модель изотропной турбулентности наиболее удобна для отработки различных приближенных приемов замыкания уравнений турбулентного движения и изучения всевозможных следствий из той или иной точной или приближенной теории. В то же время оказывается, что идеализированная модель изотропной турбулентности является [c.480]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Хотя наша главная задача состоит в исследовании деформирующихся тел, мы довольно подробно рассмотрели движения абсолютно твердого тела по следующей причине. Определяющие уравнения для сплошной среды, как будет видно в следующем разделе, должны удовлетворять условию формин-вариантности по отношению к определенному классу систем отсчета. Условие инвариантности часто называется принципом равноправия систем отсчета, принципом объективности или условием реологической инвариантности. Для применения принципа объективности важно знать, какие геометрические объекты, в том числе характеризующие деформацию и скорость деформации, действительно имеют такую инвариантность при преобразовании системы отсчета или, другими словами, являются объективными величинами. [c.93]

С теоремой Пуанкаре о возвращении связан так называемый парадокс Цермело в статистической механике. Рассмотрим замкнутый ящик и поместим в нем N молекул, которые будут двигаться под действием сил взаимодействия и упруго отражаться от стенок. Уравнения движения этой системы образуют гамильтонову систему, и поэтому однопараметрическая группа сдвигов вдоль траекторий сохраняет меру Лиувилля. Многообразия постоянной энергии здесь компактны, и мера Лиувилля порождает конечные инвариантные меры на многообразиях постоянной энергии. Тем самым мы находимся в условиях применимости теоремы Пуанкаре о возвращении. Допустим теперь, что множество С состоит из таких точек фазового пространства, что все молекулы находятся в одной половине ящика. По теореме Пуанкаре о возвращении должны найтись такие моменты времени, что все молекулы вновь соберутся в этой половине ящика. Парадокс заключается в том, что никто еще не наблюдал, чтобы газ занимал не весь предоставленный ему объем. [c.17]

Полученные безразмерные уравнепия движения (2.21) и условия однозначности (2.16 2.17 2.22) инвариантны, как известно в теории подобия (М.В.Кирничев, 1953 Эйгенсон, 1952), относительно целой группы динамически подобных волновых явлепий. Другими словами, если бы мы имели группу динамически подобных волновых явлений в геометрически подобных средах, то эти я вления описывались бы тождественными безразмерными уравнениями движения и условиями однозначности. Благодаря этому важному свойству безразмерных уравнений мы и можем отыскать критерии подобия. [c.33]

Теперь надо уточнить, какой точный смысл вкладывается в слова законы и уравнения механики не изменяются при некотором преобразовании . Законы механики, как мы увидим далее, записыраются в виде равенств. В эти равенства в качестве переменных входят координаты, скорости и ускорения материальных точек, подсчитанные по отношению к какой-либо системе отсчета, и функции от этих переменных — координат, скоростей и ускорений. Роль таких функций далее будут играть силы, энергия системы (потенциальная, кинетическая или полная), количество движения (импульс) и иные функции, которые будут введены в рассмотрение в этой и в следующих главах. Говорят, что законы и уравнения механики не меняются при некоторых преобразованиях системы отсчета или что они инвариантны по отношению к этим преобразованиям, если равенства, выражающие законы механики, удовлетворяют следующим двум условиям. [c.45]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...