Бифуркация из тора

Бифуркации из тора в другие торы [c.68]

Выще мы видели, что предельный цикл может при бифуркации переходить в тор. Недавно были открыты бифуркации из тора в другие торы той же или более высокой размерности.. При исследовании бифуркаций этого типа возникают особые трудности. Как показывает математический анализ, решающую роль играет весьма [c.68]

Бифуркация из тора (квазипериодическое движение) [c.295]

Бифуркация из тора частные случаи [c.299]

Бифуркация удвоения периода и бифуркация рождения тора из цикла в мягком случае — внутренняя бифуркация, в жестком — кризис. [c.160]

Приступим теперь к построению решений, которые возникают при бифуркации из старого тора, теряющего устойчивость. Воспользуемся обобщением той схемы, которую мы применяли в случае бифуркации из предельного цикла. Примем самосогласованное предположение о том, что новый тор или новые торы расположены вблизи от старого тора. Иначе говоря, векторы, начало которых лежит на старом, а конец на новом торе, невелики по длине. Вместе с тем необходимо иметь в виду, что когда происходит бифуркация, соответствующие точки на старой и на новой траекториях со временем могут разойтись сколь угодно далеко. [c.297]

Математик избрал бы следующий план действий. Для того чтобы проверить, реализуется ли в действительности бифуркация из одного тора в другой, необходимо исследовать, с какой вероятностью произвольно заданный набор частот ю удовлетворяет условию KAM. Математики доказали, что если постоянная К в неравенстве (6.2.6) достаточно мала, то условие KAM выполняется с большой вероятностью. Следует заметить, однако, что постоянная К входит в комбинации с множителем 8 , в чем нетрудно убедиться с помощью следующих рассуждений. [c.305]

С математической точки зрения мы приходим к заключению, что вероятность найти набор частот, удовлетворяющий условию (8.10.50), очень велика, или что бифуркация из одного тора в другой сосредоточена в пространстве частот на множестве ненулевой меры. [c.305]

При бифуркации цикла, объединение гомоклинических траекторий которого некритично и состоит из р торов и бутылок Клейна (р>1), рождается инвариантное гиперболическое множество, содержащее счетное число двумерных инвариантных многообразий. [c.118]

Рассмотрим теперь, как меняются фазовые портреты точечного отображения в окрестности замкнутой кривой Г при бифуркациях типов N 1, N-1 и Сначала пренебрежем малым различием корней характеристических уравнений неподвижных точек, принадлежащих разным циклам, а затем учтем его и оценим вносимые изменения. При бифуркациях типа N+1 происходит слияние неподвижных точек на Г с неподвижными точками, лежащими вне Г, и их исчезновение. Это соответствует слиянию устойчивого тора с неустойчивым и их исчезновению. При бифуркации типа Л - по теореме 5.7 возможно либо отделение от каждой из неподвижных точек новых неподвижных точек удвоенной кратности либо слияние с ними неподвижных точек удвоенной кратности. Один из таких случаев представлен на рис. 5.19. Необходимо только иметь в виду, что эти случаи возможны только при размерности исходного фазового пространства не меньше четырех и соответственно размерности секущей 2 пе меньше [c.121]

При выходе мультипликаторов периодического движения за границы единичной окружности в точках ехр( га) при а ф Отг, тг/2, 2тг/3 из периодического решения появляется (или в нем исчезает) двумерный инвариантный тор — по образному выражению А. А. Андронова с цикла слезает шкура (см. рис. 15.11). При этом движение из периодического становится квазипериодическим. Подобная бифуркация наблюдается в системе двух связанных автогенераторов при переходе из режима взаимной синхронизации в режим биений (см. гл. 16). [c.321]

Хотя теория бифуркаций в ее современном виде исключает из рассмотрения флуктуации, некоторые из последних работ по теории бифуркации посвящены изучению окрестности ветвящегося решения. Специалисты по теории динамических систем и теории бифуркации заметят, что в нашей книге по ходу изложения мы выходим на передний край современных исследований и получаем новые результаты. Один из таких результатов (аналог теоремы Флоке) относится к виду решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Нам удалось изучить широкий класс таких уравнений с помощью вложения. Другой результат относится к бифуркации п-мерного тора в другие торы. Наконец, принцип подчинения включает в себя в качестве частных случаев ряд важных теорем, например теорему о центральном многообразии, теорему о медленном многообразии и различные алгоритмы адиабатического исключения переменных. [c.363]

МЫ вывели уравнения (8.10.29), (8.10.30). Если мы используем эти уравнения или уравнения (8.10.40), (8.10.41) как модель, то необходимость в дополнительных предположениях относительно отпадает. В этом случае мы можем получить бифуркацию из тора, если при данных и нам удастся найтн такие V и при которых выполняются соотношения (8.10.44), (8.10.45) и удовлетворяет условию KAM. С другой стороны, если мы вывели уравнения (8.10.40), (8.10.41) из исходных автонодшых уравнений (8.9.1), то нам необходимо учитывать те предположения, которые были приняты при выводе. Основное предположение было сделано относительно структуры функций (8.9.13), чтобы обеспечить квазипериодичность векторов v. Из него, в частности, следовало, что частоты Dj, D.,,. .., Сйд1 удовлетворяют условию KAM. [c.305]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Ограничимся изложением результатов исследования семимерной модели (7.7), выполненного в работе [461]. При R = Ro 227,1 четыре симметрично расположенных в фазовом пространстве предельных цикла становятся неустойчивыми и превращаются в четыре двумерных тора с частотами Д (частота цикла) и /г = 1/Гт, где Гт — квазипериод тора. Проекция на плоскость Же, X, инвариантной кривой на секущей гиперплоскости Xi = О, соответствующей одному из таких торов, а также спектральные плотности отображения Пуанкаре для х, и потока для xi x) при R = 269 показаны на рис. 9.80, а. При R = Ri, где 275 бифуркация удвоения квазипериода тора (рис. 9.80, б), а при R = Лг, где 294 бифуркация удвоения тора в [461] обнаружена не была. При увеличении R от значения Лг инвариантная кривая становится все более нерегулярной (рис. 9.81). Хаос на- [c.337]

В соответствии с моделью Ландау-Хопфа турбулентность при увеличении числа Рейнольдса возникает в результате цепочки последовательных бифуркаций, благодаря которым устанавливается квазипериодическое движение ( ) = F(a li,. .., где функция Р имеет период 2тг по каждому аргументу, а — это несоизмеримые частоты. Первые бифуркации из этой цепочки очень просты вначале устойчивое состояние равновесия превращается в неустойчивое и одновременно в его окрестности рождается устойчивый предельный цикл (так появляется 1), затем возникшее периодическое движение теряет устойчивость и в окрестности исчезнувшего устойчивого цикла появляется двумерное многообразие — тор, частота обмотки которого несоизмерима с основной частотой (так появляется 2), после чего это двухпериодическое движение становится неустойчивым и рождается трехмерный тор (возникает шз и т. д. При большом N реализация такого квазипериоди-ческого процесса действительно выглядит случайной, в частности, его автокорреляционная функция быстро спадает (как 1/л/]У), а время до ее следующего максимума (период возврата Пуанкаре) есть Т ехр(аТУ), где а и 1 [3]. [c.495]

При исследовании распределенных систем возникает вопрос о том, в какой мере для них справедливы закономерности универсальности и подобия в поведении вблизи порога возникновения хаоса и в сценарии перехода к хаосу, установленные для простых систем (см. гл. 22). О наблюдении таких сценариев в экспериментах с ЛОВ при наличии отражений от замедляющей системы мы уже указывали выше. Тщательные эксперименты с генератором автостохастических колебаний, предложенным В.Я. Кисловым и его сотрудниками [28], показали следующее (см., например, работу [29], в которой исследуемый генератор представлял собой замкнутую в кольцо цепочку из ЛБВ, резонансного фильтра и акустической линии задержки). При изменении глубины обратной связи и настройки фильтра исследуемая распределенная система демонстрировала практически все сценарии перехода к хаосу, известные для простых систем 1) через последовательность бифуркации удвоения периода 2) через разрушение квазипериодических движений 3) через бифуркации удвоения торов 4) через перемежаемость. [c.508]

До сих пор мы подробно исследовали свойства квазипериодического движения и в особенности бифуркации из одного тора в другой, в том числе бифуркации из двумерных торов в трехмерные. Причина, по которой мы уделяли столько внимания этому подходу, заключается в том, что, как экспериментально установлено, возможны переходы от двумерного тора не только к хаосу, но и к трехмерному тору. В связи с этим естественно возникает задача выяснить, почему картина Рюэля и Такенса наблюдается в одних и не наблюдается в других случаях. Из соображений, подробно изложенных в предыдущем разделе, следует, что бифуркация двумерного тора в трехмерный возможна, если выполняется условие KAM, т. е. если отношения частот аномально хорошо аппроксимируются рациональными числами. Из сказанного можно сделать вывод о разумности привлечения вероятностных соображений при оценке возможности бифуркации двумерного тора в трехмерный у данной реальной системы. Наш подход позволяет решить загадку — ответить на вопрос, почему у некоторых систем наблюдается бифуркация двумерного тора в трехмерный, несмотря на то, что соответствующие решения не являются общими в смысле Рюэля и Такенса. Оказалось, что у реальной системы в некоторых интервалах значений управляющих или каких-то других параметров может осуществляться сценарий последовательных бифуркаций торов, но по мере увеличения размерности торов вероятность переходов быстро убывает, картина Ландау—Хопфа становится неадекватной, и наступает хаос. [c.308]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

Смейла, правая — из полей, имеющих инвариантный тор. Звездо-1ка означает неисследоваиный интервал, на котором происходит бифуркация [c.153]

Рассмотрим вначале режимы мягкого возникновения стохастич. автоколебаний. Осн. бифуркации в этом случае представлены на рис. 4. Это — рождение тора из предельного цикла при потере им устойчивости, бифуркация удвоения периода, слияние устойчивого и седлового циклов и их исчезновение, сопровождающееся возникновением странного аттрактора, сложные деформации ( гофрирование ) тора и его разру- [c.695]

Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2 r, при котором пара мультипликаторов примет значения ехр ( /а) (где афО, я, я/2, 2я/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа периодическое течение Uo(x)-fUi(x, t) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида fi(x, t)y где fi — периодическая по времени функция с периодом 2я/а, а собственное значение X имеет мнимую часть 1о2. При небольших Re—R2 r это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2n/Oi и 2л/о2 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д. [c.99]

ЖИТЬ канторовский аттрактор, например, типа соленоида Вильямса. Иначе говоря, в этом механизме трехчастотное движение разрушается путем нелинейной синхронизации (образования резонансов) его высоких гармоник. Такой механизм, по-видимому, слишком мягок для возникновения турбулентности. В проводившихся экспериментах стохастизация больше похожа на разрушение двухчастотного движения Т -биений, вероятно, путем их синхронизации и затем либо бифуркаций удвоения периода образуюш егося цикла, либо слияния и исчезновения устойчивого и седлового циклов (и образования аттрактора из гомоклинической структуры седлового цикла или из складок исходного негладкого тора). [c.132]

Одним из важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазипериодическому движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движошя моделируется течением на торе, и возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых дуг. Несмотря на важность квазипериодических колебаний для хаотической динамики, онн мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по этой причине мы решили изучить квазипериодические колебания в такой нелинейной структуре, как изогнутый стержень. [c.148]

Гидродинамическая турбулентность, описываемая уравнениями Навье-Стокса, имеет много общего с движением динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, о которых шла речь в предыдущей главе. Связь эта определяется действием вязкости, которая лишает моды с высокими номерами самосто-ятельности . Хопфом даже была высказана гипотеза о том, что все множество траектории уравнения Навье-Стокса (его фазовое пространство бесконечномерно) притягивается к конечномерному множеству. Отсюда сразу следует, что при i оо движение жидкости можно описывать конечномерными уравнениями. Эта гипотеза, правда, до сих пор не доказана, но она кажется совершенно естественной, если учесть, что вязкость препятствует существованию мелкомасштабных возмущений. Добавим, что уже обнаруженные для уравнения Навье-Стокса основные бифуркации носят конечномерный характер [5]. Это, например, переход стационарного устойчивого течения в периодическое (рождение из состояния равновесия предельного цикла), установление двухпериодического течения (рождение двумерного тора) и др. Поэтому есть все основания считать, что и очередная бифуркация — переход к неупорядоченному течению — для многих гидродинамических задач также окажется конечномерной. [c.496]

Чтобы учесть оба этих факта, введем следующую систему координат. В качестве локальных координат на старом торе воспользуемся фазовыми углами и введем векторы v, направленные из каждой точки старого тора в соответствующую точку нового тора, возникающего при бифуркации. Локальные координаты, трансвер-сальные старому тору, задаются вектором (8.9.17). Такого рода соображения наводят на мысль искать возникающие при бифуркации решения в следующем виде (штрих у знака суммы означает, что значения с k = I, 2,. . . , М исключаются) [c.297]

Рассмотрим класс дис х )еренциальных уравнений я = N (я), где N удовлетворяет определенным условиям дифференцируемости. Нас могут интересовать такие свойства решений я (/), которые являются правилом, а не исключением. Такие свойства называются общими (для данного класса уравнений). Вместо того чтобы пытаться уточнить определение общего , поясним его на простом примере из физики. Рассмотрим непрерывные центральные силы. Если обозначить через г расстояние от центра, то семейство функций К (г), где К есть непрерывная функция,— общее для интересующего нас класса сил. С другой стороны, сила, описываемая законом Кулона К l/r не является общей. Это — весьма специальный, частный случай ). Рюэль и Такенс исследовали, как происходят в общем случае бифуркации торов в торы более высокой размерности. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...