Следствие теоремы Лиувилля

СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ 451 [c.451]

Следствие теоремы Лиувилля. В предыдущем параграфе мы использовали факт существования однозначного интеграла уравнений движения для получения инвариантного интеграла по области 2га — 1 измерений. Выясним теперь условия, при которых существует инвариантный интеграл но области 2п — 2 измерений. [c.451]

В этом и заключается следствие теоремы Лиувилля, которое мы хотели вывести. [c.452]

Следствие (теорема Лиувилля). Если функции независимы и попарно находятся в инволюции, то каждая из гамильтоновых систем Z = vp [z) (1 А п) интегрируется в квадратурах. [c.83]

Мера X может иметь сингулярности на Т . Предполагаем, что мера всего тора конечна. Это условие заведомо выполнено для биллиардов с гладкой регулярной выпуклой границей. Предложение 7 было известно еще Биркгофу [42, гл. VI]. Оно является следствием теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема в теории гамильтоновых систем. [c.146]

Отсюда следует, что всякая классическая конфигурация, которая удовлетворяет принципу запрета Паули в момент времени г = О [т. о. содержит не более одного электрона с определенным спином в единице объема в области импульсного пространства йр = = (2лй) /7], будет удовлетворять этому принципу п во все последующие моменты времени. Подобный результат можно было бы доказать и исходя из чисто классических соображений, как прямое следствие теоремы Лиувилля. См. гл. 12. [c.65]

Следствия из теоремы Лиувилля для канонических систем с характеристической функцией, не зависящей от времени, в конкретных задачах, представляющих физический интерес, оправдывается [c.313]

Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо одними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны п — 1 ее интегралов /j, Д . .., / i, которые находятся в инволюции и не содержат t, и функции Д, [c.314]

Доказательство можно несколько сократить, если воспользоваться теоремой 22.4. Систему можно привести к гамильтоновой с функцией Гамильтона (22.4.5). Новыми зависимыми переменными будут 52, 9з, , Яп Р2, Рз, , Рп< независимой переменной будет Pi. Система будет неавтономна, поскольку функция Гамильтона ф содержит pi, однако это не исключает возможности применения теоремы Лиувилля, и полученное выше следствие является специальным случаем теоремы Лиувилля для преобразованной системы. [c.452]

Следствием этого предложения является теорема Лиувилля об инвариантности выражения интеграла [c.524]

Из теоремы Лиувилля вытекает весьма важное следствие. Коэффициент захвата частиц в процесс ускорения в принципе определяется только отношением фазовых площадей сепаратрисы и изображения сгустка, а не отношением их продольных размеров, не формой изображения сгустка на фазовой плоскости и т. п. Действительно, в принципе соответствующим преобразованием пучка можно сделать его изображение на фазовой плоскости геометрически подобным сепаратрисе. При этом площадь изображения пучка, согласно теореме Лиувилля, остается неизменной. Если изображение пучка по площади не превышает сепаратрисы, его можно полностью ввести в пределы сепаратрисы, повысив коэффициент захвата до 100%. [c.178]

Сформулированное следствие из теоремы Лиувилля имеет общий характер и относится не только к продольному, но и к поперечному движению частиц. Для каждой из поперечных осей, как мы увидим в гл. 9, области пропускания имеют вид эллипсов на соответствующих фазовых плоскостях. Коэффициент пропускания частиц в принципе определяется только отношением площадей области пропускания и фигуры, изображающей пучок на фазовой плоскости. [c.178]

Для поперечных колебаний частиц из теоремы Лиувилля вытекает и еще одно следствие. Поскольку при интегрировании по фазовой плоскости импульс частицы р = mv постоянен, то [c.178]

В теории функций комплексного переменного хорошо известна теорема Лиувилля, которая утверждает, что ограниченная целая функция равна постоянной. Для настоящей главы полезно следующее следствие из теоремы Лиувилля [c.454]

Непосредственным следствием теоремы о сохранении фазового объема является уравнение движения для плотности вероятности ад(д, р, <) Чтобы нагляднее сформулировать его, договоримся сначала о способе изображения функции ад(д, р, <) в фазовом пространстве. Обычно мы привыкли рисовать графики, вводя кроме осей, по которым откладывается аргумент функции в нашем случае х = (я,р)), еще и ось изображаемой величины те. Но мы уже использовали плоскость чертежа для изображения б У-мерного пространства (д,р) как двумерного. Этот хотя и двумерный простор фазовом пространстве нам хотелось бы сохранить, чтобы рисовать траектории движения точек, изображающих состояния системы, и т. д. Так что для изображения функции р, <) придется использовать другой (но ничуть не худший) способ плотность вероятности У) д,р,1) для данного момента будет фиксироваться в пространстве (д, р) плотностью фиктивных точек в этом пространстве. Тогда газ этих точек (или ад-жидкость ) вследствие теоремы Лиувилля ведет себя в б У-мерном фазовом пространстве как несжимаемая жидкость. [c.290]

Напомним (см. V, 3), что теорема Лиувилля возникает как следствие уравнения непрерывности в фазовом пространстве, которому должна удовлетворять функция распределения замкнутой системы [c.90]

В качестве другого следствия мы видим, что наши три модельные поверхности С, С и J[I) попарно различны. Существуют естественные вложения Р —> С —> С, и из принципа максимума модуля следует, что всякое голоморфное отображение С —С должно быть постоянным, а из теоремы Лиувилля следует, что постоянным является и всякое голоморфное отображение С —> Р. [c.14]

Как мы видели в разд. 5.6.8, удельная яркость также является инвариантом, и этот факт также является следствием теоремы Лиувилля. Следовательно, эмиттанс и яркость связаны друг с другом. [c.574]

Следствием теоремы Лиувилля является то, что гамильтонпан системы может быть представлен в виде [c.23]

Применяя к этому случаю следствие из теоремы Лиувилля, указанное в п. 45, мы заключаем, что достаточно найти еще один интеграл, который не зависел бы от t и был бы отличен от интеграла Н = onst энергии и, кроме того, находился бы в инволюции с (т, е. не содержал явно 4 ), чтобы задача о движении твердого тела вокруг закрепленной точки была разрешена только посредством квадратур. [c.318]

Это свойство фазовой плотности используется для вывода важного следствия из теоремы. Выделим dn фазовых точек, расположенных в момент времени в элементе объема dY . С течением времени все эти точки перейдут в другой малый объем йГа- По определению фазовой плотности можно записать d/2 = pidFi = pgdPg. Согласно (6.3) pi = = р2- Отсюда следует равенство dVi йГг- Заметим, что теорема Лиувилля не запрещает изменение формы объема, заключающего в себе некоторое число движущихся фазовых точек, но сам объем остается постоянным. Таким образом, газ фазовых точек является несжимаемым. [c.40]

В соответствии с теоремой Лиувилля (см. разд. 5.6.8) плотность частиц в фазовом пространстве не меняется со временем. Как следствие эмиттанс пучка является инвариантом, т. е. площадь ограничивающей фигуры не меняется со временем. Естественно, ее форма и ориентация могут изменяться, и фигура эмиттанса может иметь весьма необычную форму. [c.574]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...