Инвариантная мера

Локально компактные группы. Это такие Г., в к-рых каждый элемент обладает компактной окрестностью. Этот класс Г. очень широк он содержит все дискретные и все компактные Г., а также все конечномерные группы Ли (см. ниже). Характеристическим свойством локально компактной Г. является наличие инвариантной меры на ней (т. н. меры Хаара). К классу локально компактных относится большая часть Г., используемых в физике. [c.542]

В общем случае П. т. утверждает, что у динамич. системы с конечной инвариантной мерой для почти всех точек X А при р(А) > 0 траектория (х) возвращается в А найдётся такое т > 1, что f x) А. При не-к-рых предположениях относительно Я П. т. усиливается траектории возвращаются в А бесконечное число раа, т. е. устойчивы по Пуассону. [c.174]

Проблема инвариантной меры. .............................................. 626 [c.625]

Простейшими примерами ДС могут служить каскад и поток, определяемые одной и той же ф-лой T x=Fr(x + tix), где х — точка п-мерного единичного куба п>1 а — векторный параметр, а Fr(x+ tx) =. v- -ra- [x + tкомпонент вектора х+1<х (из каждой компоненты га, вычтена её целая часть В качестве инвариантной меры берётся я-мерный объём (мера Лебега). Отождествляя К" с и-мерным тором (при и = 1—с окружностью), говорят, что ДС порождена сдвигами на торе (поворотами окружности), Траектории этой системы образуют обмотку тора (рис. 1, на к-ром п = 2), причём [c.626]

Другая ДС (каскад) Г с тем же фазовым пространством определяется ф-лой 7 дг=Рг( лс), где А — произвольная квадратная матрица п-го порядка с целочисленными элементами и определителем, равным 1 (условия, наложенные на А, гарантируют взаимную однозначность Г и инвариантность меры Лебега). Преобразование Г наз. автоморфизмом тора. [c.626]

Проблема инвариантной меры [c.626]

В приведённом выше определении ДС инвариантная мера играет не меньшую роль, чем сама группа преобразований замена меры может резко изменить свойства системы. Если задано лишь нек-рое семейство преобразований пространства X, то возникает вопрос о существовании хотя бы одной, прежде всего вероятностной, инвариантной меры. Иногда он решается относительно просто. Так, по теореме Крылова — Боголюбова всякое непрерывное преобразование компактного метрич. пространства обладает вероятностной инвариантной мерой, а по Лиувилля теореме мера Лебега (фазовый объём) инвариантна относительно любой гамильтоновой системы (хотя, в последнем случае мера всего пространства бесконечна, на гиперповерхности постоянной энергии может индуцироваться конечная мера). Иногда вероятностная инвариантная мера единственна. Это имеет место, напр., для каскада, порождённого поворотом окружности Г д =Рг(х- -сс), где а — иррациональное число, В др. случаях существует бесконечно много инвариантных вероятностных мер. Одна из пробле.м Э. т.— изучение инвариантных мер, принадлежащих како-.му-либо заранее выбранному классу. Пример такого класса— все инвариантные меры с фиксиров, совокупностью множеств меры О (такой же, как у заданной, не обязательно инвариантной меры) другой пример—инвариантные меры, удовлетворяющие вариационному принципу (см, ниже). [c.626]

Для перемешивающих ДС имеет место сходимость к равновесию нек-рых неравновесных мер, определённых на фазовом пространстве. Речь идёт о мерах v, к-рые можно задать плотностью относительно инвариантной меры ц. Преобразование Т применённое к мере v, превращает её в меру v определяемую соотношением v,(/4)= = v[T A), Aes . Если система перемешивает, то ->ц(/4) при ->ой для любого Ае , т. е. под действием динамики любая мера из указанного класса сходится к инвариантной мере ц. [c.628]

В более общем случае, когда система обладает гиперболич. аттрактором Г, а —вероятностная мера, сосредоточенная в его окрестности и имеющая плотность относительно р, последовательность при п- + с с слабо сходится к инвариантной мере, сосредоточенной на Г. При нек-рых более общих условиях к инвариантной мере сходятся лишь средние арифметические (1/я) ц,. [c.632]

В целом гиперболич. системы можно считать, хотя и с нек-рыми оговорками, в высокой степени стохастич-ными. Так, известно, что если каскад Т ) обладает гиперболич. множеством Г с достаточно естеств. свойствами, то для широкого класса инвариантных мер, сосредоточенных на Г, он эргодичен, но может иметь в спектре дискретную компоненту, препятствующую перемешиванию. В последнем случае Г можно разбить на части Го, Г,,. ... Г - , циклически переставляемые отображением Т причём [c.632]

Особенно полезно рассмотрение равновесных состояний в случае гиперболич. ДС. В частности, инвариантная мера на гиперболич. аттракторе, к к-рой сходятся ср. арифметические сдвигов риманова объёма, служит равновесным состоянием для ф-ции ф, равной в каждой точке X логарифму локального коэф. растяжения / j ) риманова объёма на неустойчивом многообразии, проходящем через [c.635]

Для изотропных сред, не проявляющих деформационную анизотропию, инвариантными мерами тензора П являются функции к и 9- Допустим, что существуют критические (соответствующие критическим состояниям материала) значения функций поврежденности [c.111]

Следовательно, функция Fq (х) сама по себе является интегралом движения. Тогда уже очевидно, что не только объем, но и любая инвариантная мера фазового элемента сохраняется при его движении. [c.376]

Условиями разрушения (или появления критических напряженных состояний) являются условия достижения некоторыми инвариантными мерами тензоров ii своих критических значений. [c.21]

Уравнения Эйлера — Пуанкаре (2.3) не для каждой алгебры Ли д можно привести к гамильтонову виду. Препятствием является отсутствие инвариантной меры. Рассмотрим этот вопрос более подробно. [c.30]

Следуя [98], рассмотрим задачу о наличии у системы уравнений Эйлера — Пуанкаре (2.3) инвариантной меры на алгебре д = w . [c.31]

Компактные группы. Это Г., в к-рых из каждой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактные Г. имеют конечный объём . Более точно, инвариантная мера Г. конечна в том и только в том случае, если Г. компактна мера на Г. паз. инвариантной, если меры подмножеств В ш gB равны для любого подмножества BdG и элемента g G). Среди дискретных Г. компактными являются только конечные Г. Примеры компактных Г. Г. вращений окружности и сферы (и вообще Г. движений компактны многообразий), Г. унитарных преобразоваиий в конечномерном гильбертовом пространстве и (и) и Г. ортогональных преобразований в конечномерном евклидовом пространстве 0(п). [c.542]

ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА о возвращении — одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы С инвариантной мерой. Примером такой системы является гамильтонова система, эволюция к-рой описывается решениями Гамильтона уравнений — дЩдр , Р = — дЯ дд [< / и — канович. координаты и импульсы г =1,. .., п Н = Н[р, ) — Гамильтона функция, точкой обозначено дифференцирование по времени ]. Инвариантной (сохраняющейся [c.174]

В Э. т. осн. объект исследования—динамич. система (ДС), понимаемая как группа (или полугруппа) преобразований нек-рого пространства с мерой, сохраняющих эту меру. В применении к консервативным ДС, описываемым дифференц. ур-ниями, речь идёт о семействе сдвигов вдоль фазовых траекторий, а роль сохраняющейся (инвариантной) меры играет фазовый объём. В общем случае пространство с мерой—это тройка (X, si, ц), в к-рой X— произвольное множество с выделенным семейством j/ его подмножеств (ст-алгеброй измеримых подмножеств), содержащим само X в качестве одного из элементов и замкнутым относительно теоретико-множественных операций (объединения и пересечения конечного или счётного числа множеств и перехода от любого множества к его дополнению). Мера 1—это неотрицательная ф-ция, заданная на. 5/ и обладающая свойством счётной аддитивности если Ai, Ai,...— множества из. af, к-рые попарно не пересекаются, то мера их объединения равна сумме мер. Если ц(Л <со, то ц можно нормировать, поделив на х(А , и считать (X,, ц) вероятностным пространством (см. Вероятностей теория). Для ДС, отвечающей гамильтоновой системе дифференциальных ур-ний, в качестве X можно взять любую гиперповерхность постоянной энергии, а в качестве ц—меру, индуцированную на этой гиперповерхности фазовым объёмом. Всюду в дальнейшем предполагается, что рассматриваемые ДС определены на вероятностном пространстве. [c.625]

В большинстве случаев преобразования, входящие в ДС, образуют однопараметрич. группу Г . Параметр t, интерпретируемый как время, обычно принимает любые действительные или любые целые значения. В первом случае говорят о ДС с непрерывным временем (потоке), во втором — о ДС с дискретным временем (каскаде). Иногда t принимает лишь неотрицат. значения и Т является не группой, а полугруппой преобразований. (В этом случае иногда употребляют термины п о л у п о т о к и п о л у -каскад .) 11)упповое свойство системы 7 выражается тождеством Т Т х= Т х, справедливым для любого хеХ и любых двух значений параметра. Вследствие группового свойства каскад Т полностью определяется преобразованием Т= Т и часто отождествляется с ним. Инвариантность меры(1 означает, что для любого множества и любого г О выполняется равенство i(T A)= = ц(/1), где Т А= Т ) Ы = хеХ Т хе А — полный прообраз множества А при отображении Т . [c.625]

Следует отметить, что нек-рые ситуации, изучаемые в Э. т., не охватываются изложенной схемой. Это, в частности, относится к некоммутативной эргодич. теории связанной с квантовой физикой (см. ниже), и к тем зада чам, в к-рых инвариантная мера не задана с самого начала а может принадлежать нек-рому классу мер или выбирает ся из этого класса на основе тех или иных общих прин ципов. Кроме того, начиная с 70-х гг. в Э. т. постоянно [c.625]

Статистич. закономерности в поведении ДС проявляются при их наблюдении на больших интервалах времени. Уже одно наличие инвариантной меры ц служит причиной нек-рых из этих закономерностей. Так, траектории ц-почти всех точек произвольного измеримого множества возвращаются в это множество при как угодно больших значениях t Пуанкаре теорема). Разные точки могут возвращаться а разные моменты времени, а ср. время до первого возвращения в множество А обратно пропорционально i A) и, следовательно, очень велико для множеств малой меры. Этот факт придаёт строгость объяснению известного парадокса Э. Цермсло, данному Больцманом в кон. [c.628]

Другое следствие инвариантности меры—существование для любого измеримого множеств А асимптотич. частоты его посещения типичной траекторией дииамич. системы. Эта частота есть временное среднее индикатора множества А, в эргодич, случае она равна [c.628]

Наглядное представление о смысле понятия энтропии (допускающее для нек-рых классов ДС строгое обоснование) можно получить следующим образом. Пусть Т ] эргодич. каскад, фазовым пространством к-рого служит двумерная область, а инвариантной мерой —площадь (мера Лебега). Применив преобразование Т к кружку В малого радиуса е, получим множество Т В той же площади, но, возможно, др. формы. Если энтропия положительна, то граница области Т В с ростом t будет становиться всё более извилистой, нерегулярной. Величину этой нерегулярности можно измерить площадью s-окрестности множества Т В при не очень больших t (порядка 1пе она увеличится по сравнению с площадью В примерно в ехр(йг) раз, где h—энтропия каскада. При А = 0 эта площадь растёт медленнее, чем экспоненциально, или не растёт совсем. В неэргодич. случае фазовое пространство разбивается на инвариантные части Ai,...,A , в каждой из к-рых может быть свой показатель скорости, а энтропия получается усреднением этих показателей с весами ц( ,), i= Отсюда видно, что энтропия характеризует ско- [c.630]

Кроме энтропии в Э.т. существует ещё одно понятие, близкое к ней по смыслу, но непосредственно не связанное с инвариантной мерой. Речь идёт о топологич. энтропии— числовой характеристике топологич. ДС. Такая система представляет собой группу или полугруппу непрерывных преобразований метрич. пространства X. Задав на X вероятностную меру ц, инвариантную относительно рассматриваемого семейства преобразований, получим ДС в смысле Э. т. Эта система имеет энтропию h , зависящую, вообще говоря, от ц. Ехли фазовое пространство X компактно, то supA по всем инвариантным мерам совпадает с топологич. энтропией А, р. Отсюда следует, что А, р является инвариантом непрерывного изоморфизма топологич. ДС если между фазовыми пространствами двух таких систем имеется взаимно однозначное соответствие, при к-ром каждому борелевскому множеству в одном из них отвечает борелевское множество в другом, а преобразования, образующие ДС, переходят друг в друга, то эти системы имеют одинаковую топологич. энтропию. Мера ц, для к-рой h =htop, наз. мерой с макс. энтропией. Такова, напр., мера Лебега для авто орфизма тора. Но меры с макс. энтропией может и не быть. Задача об условиях существования и свойствах таких мер служит одним из звеньев, связывающих Э.т. со статистич. физикой. Под влиянием последней в Э. т. в 70-х гг. появилось обобщение топологич. энтропии, называемое топологич, давлением (см. ниже). [c.631]

Естеств. кандидат на роль инвариантной меры гиперболич. системы—это риманов объём (соответствующим образом нормированный). Однако он инвариантен лишь в нек-рых, весьма спец. ситуациях (напр., для автоморфизмов тора). Если же риманов объём р не инвариантен, а ДС представляет собой каскад Аносова, то она диссипативна относительно р существует множество, образы к-рого под действием Т при разных t попарно не пересекаются и по крывают всё фазовое пространство. Тем не менее из р можно получить инвариантную меру. Для этого нужно, качав с любой абсолютно непрерывной вероятностной меры ц (т.е. меры задаваемой плотностью относительно р), ввести последовательность мер где [c.632]

В случае системы Аносова, обладающей хотя бы одной всюду плотной траекторией (это свойство наз. топологиче ской транзитивностью), последовательность ц, слабо сходится при п + со и п- — х> к инвариантным мерам ц и соответственно (слабая сходимость означает, [c.632]

Иногда рассматривают кусочно-монотонные отображения более общего вида, когда число отрезков монотонности бесконечно, а производная может в отд. точках принимать значения 1 и —1, Самый известный пример этого рода—преобразование Гаусса, определяемое на отрезке [О, 1] ф-лой 73с = Рг(/(д )), где f x) = jx при и/(0) = 0. Тем самым Тк= х—пари l/(/i+l) 1 являются точками разрыва и, кроме того, / ( ) = Если преобразование из первого примера было связано с разложением в двоичную дробь, то для преобразования усса ту же роль играет разложение в непрерывную (или цепную) дробь пусть x=gi(x), gzix),. .. — такое разложение для л е 0, 1) тогда, как и в первом примере, g (7x)=g +, (х), п=1, 2,. ... Преобразование Гаусса существенно отличается по форме от первых двух примеров. Однако порождённые ими ДС имеют сходные эргодич. свойства по отношению к естественным инвариантным мерам. В первом и втором примерах такой мерой является обычная длина (мера Лебега), а в третьем — вероятностная мера ц, к-рую можно задать нек-рой плотностью (т. е. n(dx)=p(x)dx). Инвариантность меры относительно преобразования Гаусса приводит к равенству р(л)=((1+дг) п2)- [c.634]

Абсолютно непрерывная инвариантная мера существует для весьма широкого класса кусочно-растягиваюших отображений, хотя в общем случае невозможно указать явный вид её плотности. К упомянутому классу принадлежат, в частности, растягивающие отображения окружности. Отождествив окружность единичной длины с полуинтервалом [О, 1), можно задать такое отображение уже встречавшейся ф-лой 73с = Рг(/(л )), 0<л<1, Где /—достаточно гладкая ф-ция, определённая на отрезке [О, 1 ] и удовлетворяющая условиям /(0)=0, /(1)—целое число ч/ (х) Х>1 (первый из приведённых выше примеров именно таков). При этих условиях существует абсолютно непрерывная Г-инвариантная мера ц с положительной [c.634]

Другая идея статистич. физики, оказавшая влияние на Э.Т.,—это вариационный принцип Тиббса, согласно к-ро-му гиббсовская мера характеризуется макс. значением энтропии при фиксиров. средней энергии. Для одномерной решёточной спиновой модели его точная формулировка такова. Пусть X—пространство последовательностей x= xi, — oпреобразование сдвига, т. е. (X, S)—символич. ДС, для к-рой инвариантная мера пока не выбрана. На множестве всех 5-инвариавтных вероятностных мер ц вводится функционал [c.635]

Очевидно, функционал (ц.) имеет смысл для любой ДС и любой ограниченной ф-ции ф, заданной на её фазовом пространстве. Обычно (р предполагается непрерывной ф-цией, тогда supf(jj) по всем инвариантным мерам можно определить в чисто топологич. терминах без помощи каких-либо мер на фазовом пространстве. По аналогии со спец. случаем, рассмотренным выше, эта верхняя грань наз. топологич. давлением (при ф = О это не что иное, как топологич. энтропия), а меры, на к-рых она достигается, наз. равновесными состояниями, отвечающими ф. Однако в общем случае равновесные состояния могут и не существовать (даже при ф = 0). [c.635]

КомпонентБ метрического тензора G в деформированном шаре и инвариантны меры деформации Коши равны [c.715]

Неупругое поведение материалов, обусловленное диссипацией энергии, объясняется различными механизмами для металлов, полимеров, керамик и композитов на их основе. Это приводит к континуальным моделям, в которых состояние исследуемого материала, обусловленное внешним воздействием, отождествляется с некоторой величиной, называемой поврежденностью. Математические соотношения, которые содержат скалярные и (или) тензорные характеристики повре-жденности, часто оказываются очень близкими для разнообразных физических процессов. В данной работе используется один из подходов, когда функция поврежденности явным образом выделяется в определяющих соотношениях, а условиями разрушения (или появления критических напряженных состояний) являются условия достижения некоторыми инвариантными мерами функции поврежденности своих критических значений [104, 247, 258 и др.]. [c.101]

Так как М > О (< 0), то J U) задает некоторую жорда-нову меру, инвариантную относительно фазового потока системы (5.3). Нетрудно показать, что фазовое среднее функции qn+i по этой инвариантной мере [c.222]

Пусть / IR" = .г —> IR — неотрицательная суммируемая функция. Мера dfi = f z)d z называется абсолютно непрерывной, если для каждой измеримой области D С IR" с положительной лебеговой мерой значение интеграла mes(D) = f f d z положительно. Пусть Z = v(z) — динамическая система ид — ее фазовый поток. Мера d i называется инвариантной мерой этой динамической системы, если mes g D)) = mes(D) для любой измеримой области D и для всех значений времени t. Если / — положительная функция класса то инвариантная мера называется интегральным инвариантом. [c.31]

Напомним, что унимодулярность группы означает наличие двусторонней инвариантной меры. Критерий унимодулярности имеет следующий вид для каждого г выполнено равенство [c.31]

В случае малой размерности д можно дать более точную -ян-формацию об инвариантных мерах системы (2.3). Если п = 2 и алгебра д неабелева, то уравнения (2.3) не имеют инвариантной меры с суммируемой (а не только гладкой) плотностью. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...