Выбор обобщенных координат

При наличии механических связей, как и при отсутствии их, уравнения Лагранжа имеют одинаковый вид при любом выборе обобщенных координат. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы п исследуемой системы, а порядок системы уравнений Лагранжа равен 2п. [c.156]

Разумеется, эйлеровы углы —не единственно возможный выбор обобщенных координат. В динамике полета, например при исследовании движения самолета или ракеты, используется иногда иной выбор обобщенных координат в качестве трех углов, характеризующих положение летящего тела, принимают угол отклонения горизонтальной оси самолета от заданного курса (угол рыскания), угол поворота вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно курсу, например вдоль крыльев, и характеризующей отклонение от горизонтали (угол тангажа), и наконец, угол поворота вокруг продольной оси самолета (угол крена). [c.189]

Второй способ — приме некие общих теорем динамики после выбора обобщенных координат системы непосредственно составляются дифференциальные уравнения движения, исходя из избранных теорем динамики. Дальнейший ход решения тот же, что и при первом способе. [c.603]

Уравнения движения несвободной голономной системы в обобщенных координатах мы получим из общего уравнения динамики (3.17). Приступая к выводу,следует прежде всего определить число степеней свободы, затем выбрать обобщенные координаты. Они должны удовлетворять условиям — однозначно определять положение системы и быть между собой независимыми. В остальном выбор обобщенных координат вообще произволен. Однако весьма важен удачный выбор этих координат. Термин удачный нужно понимать в том смысле, что [c.56]

На основании уравнений (II. 9Ь) и выбора обобщенных координат первые к — а уравнений двусторонних геометрических связей обращаются в тождества, как об этом было сказано выше. Остальные уравнения геометрических связей после исключения декартовых координат при помощи соотношений [c.125]

Предположим теперь, что мы имеем дело с общим случаем, когда при выборе обобщенных координат были удовлетворены только некоторые голономные связи. При этом обобщенные координаты q, qi,. .., q, г > k) зависимы, а обобщенные перемещения bqi удовлетворяют системе условий (30). Умножив каждое из условий (30) на некоторый пока неопределенный множитель (—Я-а) и сложив результаты с равенствами (39), получим [c.318]

Замечание. Если при данном выборе обобщенных координат [c.231]

Выполнение чертежа к задаче, определение из условий задачи всех действующих на систему заданных сил, масс тел, формул для нахождения моментов их инерции и выбор обобщенной координаты, [c.141]

Коэффициент инерции а характеризует инертность механической системы, а коэффициент жесткости с —упругие свойства системы. Значения этих коэффициентов для каждой механической системы зависят от выбора обобщенных координат, а их отношение, определяющее квадрат частоты колебаний, остается постоянным (см. пример 7). [c.26]

Зависят ли частоты свободных колебаний системы от выбора обобщенных координат [c.125]

Частоты главных колебаний не зависят от выбора обобщенных координат, определяющих положение системы. Следовательно, [c.178]

И. Зависят ли частоты главных колебаний системы от выбора обобщенных координат, определяющих положение этой системы [c.179]

Наименьшее число параметров, необходимое для задания возможного положения системы, называется числом ее независимых обобщенных координат. Так как функции ( = 1,..., г) независимы, то число обобщенных координат, которое мы будем обозначать т, равно 3N — г. За обобщенные координаты можно принять т из 3N декартовых координат Zjy, относительно которых можно разрешить систему уравнений (1). Однако, как правило, такой выбор обобщенных координат практически мало пригоден. Можно ввести любые другие т независимых величин i, q2 . .., в своей совокупности определяющих конфигурацию системы. Они могут быть расстояниями, углами, площадями и т. п., а могут и не иметь непосредственного геометрического толкования. Требуется только, чтобы они были независимы, а декартовы координаты ж у, точек системы можно было выразить через qi, Q2,. .., и [c.41]

Функции (21) будем предполагать дважды непрерывно дифференцируемыми функциями всех своих аргументов. Кроме того, будем считать, что если система склерономна, то время t не входит в зависимости (21), чего всегда можно добиться соответствующим выбором обобщенных координат. [c.42]

Для голономной системы величины 5qj независимы. Поэтому, приравняв нулю левую часть формулы (15), получим, что системы сил, приложенные к голономной системе, эквивалентны тогда и только тогда, когда их обобщенные силы совпадают при каком-либо выборе обобщенных координат. [c.121]

В случае неголономной системы величины 5qj зависимы. Подставив в этом случае величины (11) в (15), приведя подобные члены и приравняв результат нулю, получим, что в случае неголономной системы для эквивалентности двух систем сил необходимо и достаточно, чтобы при каком-то выборе обобщенных координат совпадали величины Q[ и вычисленные для обеих систем сил по формулам (13). [c.121]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т qj t) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат i, 25 5 Qn- При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.270]

Замечание 1. Если при данном выборе обобщенных координат 1, 2 5 Qm для некоторых положений системы неравенство (18) не выполняется, то это означает, что при исследовании движения системы вблизи этих положений величины i, 25 -, Qm в качестве обобщенных координат малопригодны. В окрестности таких положений системы целесообразно вводить другие обобщенные координаты. [c.273]

Получение решений системы уравнений (1) часто оказывается очень сложным делом. Поэтому надо искать какие-то пути, упрощающие исследование движения. Например, в 2 показано, что наличие одной циклической координаты позволяет понизить порядок системы (1) на две единицы. Это указывает на то, что удачный выбор обобщенных координат может существенно облегчить исследование движения, а иногда позволяет провести его во всей необходимой полноте. С такой ситуацией мы встретились в п. 165 при анализе движения сферического маятника. [c.337]

Особенного интереса заслуживает применение принципа наименьшего действия к процессам термодинамическим, так как здесь с особенной ясностью выступает важность вопроса о выборе обобщенных координат, определяющих состояние образа. С точки зрения чистой термодинамики можно выбрать совершенно произвольно переменные, определяющие положения системы так, например, для газа с определенными неизменяемыми свойствами можно взять любые две из следующих величин объем V, температуру Т, давление р, энергию Е, энтропию 5, остальные же выразить в функции этих двух. Здесь дело обстоит совсем иначе. Действительно, для применения принципа наименьшего действия нужно знать изменение энергии или полную работу А, произведенную извне на газ при произвольном бесконечно малом изменении состояния газа. Эта работа равна [c.575]

Решение. Искомая мировая линия при выборе обобщенных координат q и 92 показана на рис. 17.9, а, а при выборе qi и q2 — на рис. 17.9,6. [c.23]

Если при выборе обобщенных координат добиться того, чтобы а 2 а21 = 0 (в настоящем примере обобщенные координаты <71 и <72 отвечают этому условию), то для С и Сг получаем следующие формулы [c.164]

Легко понять, что, поскольку собственные частоты колебаний рассматриваемой системы являются ее характеристикой, при всех вариантах выбора обобщенных координат соответствующие частоты должны получаться одинаковыми, а следовательно, должны быть одинаковыми и частотные уравнения. Предлагаем читателю убедиться в этом, используя формулу (17.185) для частотного уравнения и полагая в ней и с Д взятыми соответственно из матриц А ( и С1 (. Во всех случаях получается частотное уравнение в форме (17.206). [c.173]

Процедуры построения графа исходной системы сводились к расчленению привода на типовые узлы (рабочий орган, сумматор, быстроходный редуктор, двигатель с демпфером и тормозом, удерживающее устройство, система управления), выбору обобщенных координат, построению графов типовых узлов и определению коэффициентов передач. Затем графы типовых узлов были сопряжены в полный граф исходной системы в соответствии с ее структурой. [c.113]

Рассмотрим частный случай, когда удается выбором обобщенных координат добиться, чтобы в выражении кинетической энергии члены с переменными коэффициентами имели бы вид Mkh (Як) kl ( = 1,. . Я). В этом случае н н [c.63]

Выбор обобщенных и лишних координат. Следуя принципу выбора обобщенных координат, изложенному в п. 4, примем Фо = Яй Ф1 = Фо + 92 = <7i + qz, Фа = Ф1 + 9з = + 9а + + 2/1 = л 1 + <74 2/а = л 2 + Яъ- Здесь фо, Ф1, Фа — угловые координаты соответствующих сечений в абсолютном движении у 1 VI у2 — абсолютные координаты масс и ([c.65]

Заметим, что коэффициенты формы в отличие от собственных частот для конкретной системы не являются инвариантами и зависят как от выбора обобщенных координат, так и от того, какую амплитуду мы приняли за единицу. [c.128]

В результате такого выбора обобщенных координат количество дифференциальных уравнений уменьшается на единицу, и соответственно порядок системы дифференциальных уравнений уменьшается на два, что является значительным преимуществом. [c.44]

Вместо искусственного сочетания некоторых общих теорем и уравнений динамики, выбор которых представляет значительные трудности, указанные методы быстро и естественно приводят к составлению дифференциальных уравнений движения. Удачный выбор обобщенных координат обеспечивает простоту и изящество решения задачи. Удобно и то, что составленные дифференциальные уравнения движения не входят силы реакций идеальных св5Гзей, определение которых обычно связано с большими трудностями (силы реакций связей при движении системы являются функциями от времени, положения, скоростей и ускорений точек системы). [c.544]

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был ироизволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат Q, Q2,. ... Qs перейти к новым обобщенным координатам q, q i,. . по формулам [c.137]

Из рассмотрення метода разделения переменных следует, что для его применения существен удачный выбор обобщенных координат, так как при одной системе обобщенных координат переменные могут быть разделены, а при другой нет. [c.162]

Предположим, что при выборе обобщенных координат все голономные связи были учтаны, так что координаты q, 2, . .., qr независимы, и что неголономные связи отсутствуют. Тогда обобщенные возможные перемещения 6 1, 6 2, . , будут также независимы и, следовательно, произвольны, а число их будет равно числу степеней свободы r = k). [c.317]

Описанная в п. 164, 165 процедура понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения является одним из наиболее эффективных и практически важных способов, примеияемы. с при интегрировании уравнений движения. Всякая симметрия задачи, допускающая такой выбор обобщенных координат, чтобы некоторые из них qa были циклическими, приводит к существованию первых интегралов ра = onst и, как мы видели, позволяет свести исследовапие движения к рассмотрению системы с меньшим числом обобщенных координат. Для обобщенно консервативных систем с двумя степенями свободы наличие одпоп циклической координаты позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам (см. п. 164). [c.278]

Сравнение полученных значений коэффициентов инерции и жесткости показывает, что они различны для различных обобщенных координат, которые выбираются произвольно. Произвольный выбор обоби/рнпых координат не отражается на значениях частоты и периода свободных колебаний системы, которые являются основными физическими характеристиками этой системы, не зависяи ими от выбора обобщенных координат. [c.27]

Первый пример, указанный Лиувиллем и ставший теперь классическим, дают те динамические консервативные системы, в которых путем надлежащего выбора обобщенных координат q живая сила материальной системы и потенциал имеют вид [c.339]

Линейным моделям первого приближения для голономных динамических систем отвечают потенциальная энергия системы в виде квадратичной формы обобщенных координат с постоянными коэффициентами кинетическая энергия п диссипативная функция Рэлея рассматриваемой системы в виде квадратичных форм обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Используя это обстоятельство и систематизированный определенным образом выбор обобщенных координат, для линейных и кусочнолинейных моделей несвободных голономных систем можно получить компактный матричный алгоритм формирования инерционной, квазиунругой и диссипативной матриц [25]. [c.171]

Выбор обобщенных координат. Как известно, выбор обобщенных координат допускает определенный произвол и не является однозначным. Так, в качестве обобщенных кбординат можно выбирать как абсолютные, так й относительные перемещения точек системы. Однако, имея в виду необходимость дальнейшего анализа системы, а в ряде случаев и возможность ее упрощения, следует отдать предпочтение обобщенным [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...