Уравнения в инвариантность

В работе [215] также получено уравнение в инвариантных величинах, которые включают как параметр асимметрии цикла, так и нижнее пороговое значение [c.90]

В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение. [c.286]

Уравнение (1.94) можно представить в инвариантной тензорной форме, независимой от выбора координатной системы [c.80]

Очевидно, надо отличать инвариантность относительно систем дифференциальных уравнений и инвариантность относительно точечных преобразований. Инвариантность относительно системы дифференциальных уравнений требует лишь независимости результата некоторой дифференциальной и интегральной операции, определенной в многообразии изображающих точек, от времени и не связывается со способом преобразования координат этого многообразия. [c.386]

ЧТО неизменной остается н относительная скорость этих двух точек. Вспоминая теперь, что силы F в механике Ньютона зависят только от относительных положений и относительных скоростей материальных точек (тел), найдем, что в результате преобразования Галилея не изменяется и правая часть (1). Таким образом, это преобразование оставляет уравнение (1 инвариантным, т. е. сохраняющим свой вид в любой из возможных инерциальных систем отсчета. Иначе говоря, движение материальной точки (тела) в двух произвольных инерциальных системах происходит по одинаковым законам в одной — в переменных r,t), в другой — в переменных причем, но Ньютону, t — t, а г связан с г преобразованием Галилея. [c.445]

В гл. I было получено уравнение равновесия сил (1.31) в инвариантной форме записи [c.132]

Из (2.63), (2.64) следует, что в инвариантной форме записи уравнения движения от начального напряженного состояния не зависят. [c.40]

Поясним это понятие. Калибровочная инвариантность — это такая симметрия уравнений движения, в которой преобразование симметрии определено в каждой точке пространства и в каждый момент времени, причем преобразования в разных точках и в разные моменты времени могут быть различными. Конкретно калибровочная симметрия слабых взаимодействий состоит в следующем. Для дублетов (7.193) существует симметрия типа изотопической инвариантности (см. гл. V, 6). Именно уравнения движения инвариантны по отношению к преобразованиям типа (5.34), в которых состояния дублетов заменяются на их линейные суперпозиции. Например, [c.427]

Нелокальные бифуркации периодических решений. Пусть при нулевом значении параметра в типичном однопараметрическом семействе дифференциальных уравнений в трехмерном фазовом пространстве имеется устойчивый предельный цикл с парой мультипликаторов на единичной окружности (устойчивости можно добиться обращением времени). Поскольку семейство однопараметрическое и типичное, можно считать, что со 2пр/<7 при q A. Тогда при прохождении параметра через О в направлении, соответствующем переходу мультипликатора изнутри единичной окружности наружу, рядом с предельным циклом возникает инвариантный тор толщины порядка Ve, где е — параметр семейства. На этом торе при изменении параметра в бесконечном количестве рождаются и умирают длиннопериодические предельные циклы. При дальнейшем возрастании параметра тор теряет гладкость и может превратиться в странный аттрактор, как это описано ниже. [c.49]

Уравнение (4) отличается от аналогичного уравнения в изотропном случае тем, что (1) в случае изотропии параметр материала F представляет собой единственную скалярную константу, тогда как при учете анизотропии прочностных свойств F должно быть совокупностью многих параметров, инвариантных относительно преобразований системы координат (2) замена инвариантов напряжений инвариантами соответствующего девиатора недопустима, поскольку в случае анизотропных материалов независимость критерия текучести от гидростатического давления физически необоснованна. Эти различия являются причиной того, что в случае анизотропии прочностных свойств оказываются неприемлемыми многие из физических соображений, использованных ранее для изотропного материала. В самом деле, в разд. И, В, 5 будет показано, что критерии типа (4) приводят к неоправданным алгебраическим усложнениям. [c.411]

В противоположность этому, мы покажем, что уравнения Гамильтона инвариантны относительно гораздо более общих преобразований [c.292]

Принцип относительности требует, чтобы законы природы формулировались в инвариантной форме, т. е. чтобы они не зависели от какой-либо специальной системы отсчета. Методы вариационного исчисления автоматически удовлетворяют этому требованию, потому что минимум скалярной величины не зависит от координат, в которых эта величина измеряется. В то время как ньютоновы уравнения не удовлетворяют принципу относительности, принцип наименьшего действия остается справедливым, с тем лишь дополнением, что основная величина действия должна быть приведена в соответствие с требованием инвариантности. [c.23]

Инвариантность уравнений Лагранжа относительно произвольных точечных преобразований обусловила выдающуюся роль этих уравнений в развитии математической мысли. Эти уравнения оказались первым примером того принципа инвариантности , который являлся одной из ведущих идей математики XIX столетия и который приобрел значение первостепенной важности в современной физике. [c.143]

Предположим, что мы сумели найти такое преобразование. Тогда канонические уравнения в новой системе координат легко проинтегрировать. Поскольку функция Гамильтона Н инвариантна относительно канонического преобразования, в новой системе функция Гамильтона Н равна Qn- Это означает, что в новой системе координат все переменные циклические - и можно произвести полное интегрирование уравнений движения. [c.266]

Мы обобщим здесь теорему предыдущего пункта, доказав, что по отношению к уравнениям (36) инвариантной будет также (в предположении совместности) и система, которая получится путем присо- [c.282]

Другими словами, можно сказать, что уравнения (107), (108), по существу, содержат две группы уравнений (Л) и (В), из которых уравнения (v4) составляют систему, инвариантную относительно заданной системы дифференциальных уравнений с одними только х, а уравнения (S) дают определение множителей ji. в функциях от х. Отсюда следует, что если продифференцируем по t систему уравнений (107), (108) или эквивалентную ей систему (Л), (В) и примем, конечно, во внимание систему (36), то частичная система (А) в силу своего инвариантного характера не дает места никакому новому соотношению, тогда как система (S) приведет к такому же числу уравнений (В )> которые определят производные от множителей р. в функциях от X. Таким образом, можно также сказать, что система (107), [c.328]

Эти уравнения будут теперь называться уравнениями поля. Инвариантность их формы по отношению к преобразованию Лоренца обеспечена инвариантностью принципа Гамильтона в виде (11.1). [c.154]

На практике лагранжианы, гамильтонианы и первые интегралы редко зависят от времени, поэтому принято всегда ассоциировать существование интеграла с инвариантностью гамильтониана (хотя, строго говоря, как мы видели, это не совсем оправдано). Эта трактовка восходит к Ли. Изложенной только что теоремы точно в том виде, как она здесь дана, сам Ли не формулировал, поскольку оперировал, главным образом, не с обыкновенными дифференциальными уравнениями в канонической форме, а с некоторым тесно связанным с ними уравнением в частных производных, к изучению которого мы приступаем в следующей теме. [c.138]

Аналогично показанному в настоящем разделе выводу может быть сделан вывод дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций в теории упругости, в теории пластин и оболочек и т. д. Одновременно с уравнениями могут быть получены все естественные граничные условия ). Можно показать, что уравнения Эйлера инвариантны при преобразовании подынтегральной функции в функцию от новых независимых переменных. Методы вариационного исчисления удовлетворяют тому требованию, что минимум скалярной величины (функционала) не зависит от выбора координат. Это наиболее естественным образом соот- [c.448]

Следует лишь иметь в виду, что в полярных координатах оператор Лапласа выражается формулой (2.53). Полученный результат не является случайным. Он связан в инвариантностью оператора Лапласа при изменении координатной системы. Поэтому вид уравнения (2.56) сохраняется в любой криволинейной системе координат. Для круглой пластины следует использовать разло- [c.83]

Уравнение Эйлера в инвариантной форме [c.12]

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости, т. е. уравнения Навье-Стокса, в инвариантной форме имеют вид [c.19]

В механике деформируемого тела рассматривают физические величины (векторы и тензоры), не зависящие от выбора системы координат, но иногда их удобнее изучать в некоторых специально выбранных системах координат. Векторы и тензоры в каждой из систем координат задаются совокупностью величин, называемых компонентами вектора или тензора. Если эти компоненты заданы в одной системе координат, то они определены и в любой другой системе, ибо определение вектора и тензора включает и закон преобразования их компонент при переходе от одной системы координат (базиса) к другой. Одним из важнейших достоинств векторного исчисления является.то, что уравнения, характеризующие состояние механической системы (уравнения равновесия или движения,) можно формулировать в инвариантной форме по отношению к координатным системам. [c.7]

Проведем изменение характерных масштабов скорости и времени, сохранив уравнение неразрывности инвариантным относительно новых масштабов времени и скорости. Приняв, что все члены уравнения движения в масштабе быстрого времени одного порядка, а все зависящие от времени члены в уравнениях движения и энергии совпадают по порядку величин (что существенно в случае развитой конвекции), совершим замену [c.452]

Уравнения равновесия сплошной среды (1.5.4), (1.5.5) записаны здесь в инвариантной форме. Их запись в декартовых координатах 1/-объема имеет вид трех дифференциальных уравнений статики сплошной среды [c.23]

Таким образом, выполнение условий (3.21) обеспечивает инвариантность уравнений (3.18) по отношению к подобным преобразованиям (3.19). Согласно методу исследования подобия, основанному на масштабных преобразованиях физических уравнений в конечной форме, две геометрически подобные системы считаются механически подобными, если уравнения, описывающие эти системы, тождественно совпадают. [c.59]

Теперь рассмотрим, что произойдет при неавтономном возмущении сепаратрисы, идущей из седла в седло. В этом случае следует заменить рассмотрение фазовых траекторий д-ифференциальных уравнений рассмотрением инвариантных кривых точечного отображения плоскости т = О в себя [c.370]

Преобразования (31.9) были названы именем Лоренца по предложению Эйнштейна, так как впервые эти формулы были получены Лоренцом из следующих соображений. Законы электродинамики (как и механики) должны иметь один и тот же вид, т. е. быть инвариантными при переходе от одной инерциальной системы к другой. Однако при применении преобразований Галилея они меняют свой вид. Новые преобразования, найденные Лоренцом, оставляли уравнения электродинамики инвариантными, по содержали преобразования не только координат, но и времени. Однако лишь Эйнштейн, в отличие от Лоренца, вложил физическое содержание в переменные / и показав, что речь идет об истинных временах инерциальных систем К и /( (— реальное время системы К, а t — реальное время системы К. При этих условиях уравнения электродинамики, отнесенные к любой инерциальной системе, имеют совершенно одинаковый вид, т. е. остаются инвариантными, что и должно следовать из принципа относительности. [c.215]

Итак, если мы в своих построениях будем подходить к пониманию явлений через уравнения Максвелла, инвариантные относительно равномерного поступательного движения, то при таком гипотетическом подходе пространство и время, реально су-ществуюш,ие вне нас, будут нами поняты своеобразно. Как [c.326]

При решении двумерных гармонических задач конформные отображения играют решающую роль, поскольку уравнение Лапласа инвариантно при конформном отображении. Под этим понимается следующее. Конформное отображение по существу есть запись в комплексной форме некоторой криволинейной системы координат в плоскости х, у (г = х- 1у), при которой в этой системе область О перейдет в область О. При такой замене переменных, продиктованной конформным отображением, само уравнение должно, вообще говоря, преобразоваться, однако при конформном отображении оно останется неизменным и в координатах и, V (w = u-j- v). Действительно, пусть н(г) гармонична в области О. Строим функцию /(г), действительной частью которой является функция и(г). Тогда сложная функция [[ ( )] аналитична в плоскости и поэтому Ке/[,д( )]== = КеК(5)= и( )= гармонична в О. Этим обстоятель- [c.31]

Уравнение (12.6.1) записано в инвариантной форме, поскольку юператор Лапласа инвариантен при преобразовании ноординат. В полярных координатах, как известно. [c.402]

Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что уравнения движения являются уравнениями в частных производных по Хи и по t. Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе уравнений движения мы считали Xh t равноправными параметрами й. Это равноправие переменных а и немного напоминает специальную теорию относительности. Произведение dxidx2dxzdt является здесь, в сущности, элементом объема в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно относительно преобразований Лоренца если 2 есть некоторый инвариантный скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) также будет инвариантен относительно преобразований Лоренца. В ковариантных обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид [c.384]

Все дальнейшие рассуждения будут аналогичны рассуждениям предыдущего пункта. Инвариантность дифференциальной формы гарантирует инвариантность канонических уравнений и снова функция Гамильтона Н оказывается инвариантом преобразования. Более того, мы снова можем включить время t в число позиционных координат. .., qn в качестве дополнительной переменной, перейдя к параметрической форме канонических уравнений. В результате получим реономиую форму преобразований Матье, характеризуемую инвариантностью дифференциальной формы [c.236]

Билинейная дифференциальная форма. В любой теории преобразований имеются основные величины, которые при преобразовании не меняются. Они являются основными инвариантами, которые определяют собой природу преобразования. Начав изучать канонические преобразования, мы установили инвариантность дифференциальной формы 2 pibqi, откуда следовала инвариантность канонических уравнений. Однако затем выяснилось, что канонические уравнения остаются инвариантными и при более общих условиях. Необходимое и достаточное условие каноничности [c.240]

Уравнение Громеко—Лэмба в инвариантном виде [c.14]

М. и. (иногда наз. также подобием или автомодельностью по аналогии с теорией фазовых переходов 2-го рода и гидродинамикой) обладает ряд ур-ний физ. теорий. Это происходит в тех случаях, когда в решение ур-ний не входят массы или другие размерные параметры, не меняющиеся при масштабном преобразовании. В класеич. физике важным примером являются Максвелла уравнения, К-рые обладают М. и. для любых расстояний и промежутков времени. Клейна — Гордона уравнение и Дирака уравнение масштабно инвариантны для расстояний, малых по сравнению с ком.-птоновской длиной волны соответствующих частиц, и промежутков времени, малых по сравнению с этой длиной, делённой на скорость света. Для расстояний, сравнимых с комптоновской длиной волны (и соответствующих промежутков времени), М. и. нарушается из-за наличия масс частиц. О такой ситуации говорят как о нарушенной М. и. [c.61]

В связи с попытками объяснить в рамках квантовой теории поля (КТП) скейлинг Бьёркена с нач. 1970-х гг. обсуждалась возможность того, что Дайсона уравнения в КТП допускают масштабно-инвариантное решение. Для перенормируемой КТП этот вопрос оказывается связанным с поведением эффективного заряда при — —I. оо, к-рое определяется видом т. н. ф-ции [c.61]

Предложенное первоначально на основе эвристич. соображений П. у. оказалось естеств. следствием ре-лятивистски-инвариантного Дирака уравнения в слаборелятивистском приближении, в к-ром учитываются лишь первые члены разложения до обратным степеням скорости света. [c.551]

Метод, принятый в термодинамике неравновесных процессов, состоит прежде всего в том, что устанавливают различные законы сохранения микроскопической физики законы сохранения материи, импульса, момента импульса и энергии. В 2 этой статьи мы дадим формулы этих законов применительно к изотропным жидкостям, в которых имеют место тепло- и массоперенос и вязкое течение. В 4 и 5 рассмотрены эффекты, вызванные химическими реакциями, релаксационными процессами и действием внещних сил. С помощью законов сохранения описан закон энтропии Гиббса и введено уравнение баланса, которое содержит в себе как основной термин величину прироста энтропии. Выражение для прироста энтропии в этом случае является суммой членов, обусловливаемых теплопроводностью, диффузией, вязким течением и химическими реакциями ( 3—5). Каждый из этих членов состоит из произведения потока (например, потока тепла или диффузионного потока) и термодинамической силы (например, градиента температуры или градиента концентрации). Можно установить линейную зависимость (называемую феноменологическими уравнениями) между этими потоками и термодинамическими силами ( 6). Коэффициенты, появляющиеся в этих уравнениях, суть коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии и тому подобные. Между ними существует определенная зависимость как результат временной инвариантности (соотношение Онзагера) и возможности пространственной симметрии (принцип Кюри). Окончательно включением феноменологических уравнений в законы сохранения и законы энтропии а также с помощью приведенных ниже уравнений состояния ( 7) получают полную систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение объекта. [c.5]

Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений Навье—Стокса [c.226]

Очевидно, что компонентные и топологические уравнения в системах различной физической природы отражают разные физические свойства, но могут иметь одинаковый формальный вид. Одинаковая форма записи математических соотношений позволяет говорить о формальных аналогиях компонентных и топологических уравнений. Такие аналогии существуют для механических поступательных, механических вращательных, электрических, гидравлических (пневматических), тепловых объектов. Наличие аналогий приводит к практически важному выводу значительная часть алгоритмов формирования и исследования моделей в САПР оказывается инвариантной и может быть применена к анализу проектируемых объектов в разных предметных областях. Единство математического аппарата формирования ММС особенно удобно при анализе систем, состоящих из физически разнородньпс подсистем. [c.88]

Заметим, наконец, что в определение -частичных функций Р (х ,. .., х , /), так же как и в определение р - (хи. .., х , /), вероятностный смысл был нами вложен насильственно , и мы по существу получили систему уравнений (86.7), полностью эквивалентную уравнению Лиувилля, совершенно не связывая функции Р с вероятностными характеристиками единичной системы. Отсюда следует, что система уравнений (86.7) есть система механических, а не статистических уравнений. Неудивительно поэтому, что эта система, так же как и уравнение Лиувилля, инвариантна по отношению к отражению времени — замене / / и не может описывать необратимые макроскопи- [c.479]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...