Система уравнений механики сплошной среды

Замкнутая система уравнений механики сплошных сред. Как [c.185]

Здесь через Р обозначено гидростатическое давление, V — удельный объем, сжимающие напряжения считаются положительными. Система уравнений механики сплошных сред, после исключения удельного объема, определяемого из (3.15), имеет вид [c.123]

Пусть поток лазерного излучения падает на поверхность полупространства и полностью поглощается в веществе. В пренебрежении теплопроводностью реакция мишени описывается системой уравнений механики сплошных сред, которая в переменных Лагранжа имеет вид [c.244]

В ряде монографий по математике конкретные случаи общей системы уравнений механики сплошной среды рассматриваются в виде иллюстраций исследования того или иного типа уравнений с частными производными. При этом обычно останавливаются на сравнительно легко поддающихся анализу системах уравнений. [c.405]

Математическая модель, как обычно будет базироваться на фундаментальной системе уравнений механики сплошных сред уравнений сохранения массы, переноса количества движения и переноса теплоты. Как и геометрические характеристики труб и каналов, эта система уравнений совместно с граничными и начальными условиями инвариантна относительно произвольных поворотов вокруг оси Ох. Это позволяет постулировать еще одно допущение [c.568]

Система уравнений механики сплошной среды [c.5]

Так же как в конце двух предыдущих глав были показаны применения теорем об изменениях количества движения и момента количества движения систем к выводу основных дифференциальных уравнений механики сплошных сред, так и в конце настоящей главы применим с этой целью теорему об изменении кинетической энергии системы. [c.251]

Использование законов сохранения для бесконечно малых объемов приводит к получению системы основных дифференциальных уравнений механики сплошных сред. [c.62]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

Уравнения неразрывности, динамики среды в напряжениях , взаимности касательных напряжений и баланса энергии представляют основную систему уравнений механики сплошных сред. Система эта не является замкнутой, так как число неизвестных в ней (р и, и, ю р х, Рху V, у [c.66]

Общие теоремы динамики системы материальных точек теоремы количеств движения и моментов количеств движения, а также теорема об изменении кинетической энергии имеют широкое применение при изучении движений сплошных сред и, в частности, жидкостей и газов. Они были уже применены в предыдущих параграфах при выводе основных уравнений механики сплошных сред, причем использовалось лагранжево представление движения. Остановимся на некотором своеобразии применения этих теорем, связанном с эйлеровым представлением движения. [c.75]

Методы механики сплошных сред применительно к описанию динамики смешивания сыпучих материалов не нашли широкого применения в связи с трудностями решения системы уравнений механики многофазных сред, вызванных турбулентным и трехмерным характером движения фаз, часто происходящих в разреженных, а не в сплошных слоях. Кроме того, при этом подходе не учитывается влияние пульсаций питающих потоков на однородность смеси, выходящей из смесителя. [c.146]

Как известно Ландау, Лифшиц, 1988 ), в основе гидродинамической модели реагирующей смеси лежат связанные нестационарные дифференциальные уравнения механики сплошной среды (описывающие законы сохранения массы, импульса и энергии), необходимые уравнения состояния для давления термическое) и внутренней энергии калорическое) и определяющие реологические) соотношения для различных термодинамических потоков (потоков диффузии и тепла, тензора вязких напряжений и пр.). Кроме того, необходимо знание выражений для всевозможных термодинамических функций (внутренней энергии, энтальпии, разных теплоемкостей компонентов и т.п.), формулы для различных коэффициентов молекулярного обмена и для коэффициентов скоростей химических реакций (если среда химически неравновесна). Дифференциальные уравнения в частных производных требуют знания начальных и граничных условий, которые, описывая геометрию термодинамической системы (материальный объект, имеющий четко заданные границы) и обмен массой, импульсом и энергией между системой и внешней средой, должны быть сформулированы ad ho для каждой конкретной гидродинамической задачи. [c.69]

Выведенные в настоящем и предыдущих параграфах уравнения неразрывности, динамики среды в напряжениях , взаимности касательных напряжений и уравнение баланса энергии представляют основную систему уравнений механики сплошных сред. Система эта не является замкнутой, так как число неизвестных в ней (р и,ь,т-, Рхх, Рху,, , далеко превосходит число уравнений. Без дополнительных связей между неизвестными, устанавливаемых из разнообразных физических допущений, обойтись нельзя. С. некоторыми из этих допущений мы познакомимся в дальнейшем, [c.94]

Система уравнений (22.11), (22.12), (22.4), дополненная уравнениями механики сплошной среды (с учетом силы Лоренца) и джоулева тепла (22.6), составляет замкнутую систему уравнений. Например, в случае баротропной жидкости, для которой уравнение состояния имеет вид р — р(р), уравнеиия движения и сохранения массы [c.219]

Может оказаться полезным упомянуть в заключение о известных проблемах, связанных с логическим обоснованием принципов сохранения. Классическая точка зрения состоит в том, что четыре принципа сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии логически не зависят один от другого. В некоторых недавних работах [9—И] по основаниям механики сплошной среды эти классические предположения заменяются постулатом о независимости механической мощности от выбора системы отсчета, т. е. один из членов в уравнении энергии предполагается не зави-сяш,им от системы отсчета. С использованием этого постулата динамическое уравнение и принцип сохранения момента импульса могут быть выведены из уравнения энергии. Ясно, что этот новый подход с использованием в качестве отправной точки трех постулатов позволяет получить в точности те же самые окончательные уравнения, что и классический подход, который опирается на четыре исходных постулата. [c.53]

На основании принципов механики сплошной среды независимо от конкретной схемы и параметров нагружения, конфигурации нагружаемого объема материала и особенностей его реакции на нагрузку расчет процесса деформирования определяется решением системы уравнений, состоящей из уравнений сохранения массы, импульса, энергии или энтропии и определя- [c.7]

Система дифференциальных уравнений движения сплошной среды не замкнута. Можно получить другие универсальные уравнения, не зависящие от свойств движущейся среды. Если в классическом уравнении механики [c.18]

Разновидностью статического критерия является критерий энергетический. В основе этого критерия лежат два фундаментальных принципа механики сплошных сред принцип возможных перемещений и принцип возможных изменений напряженного состояния. Из принципа возможных перемещений непосредственно следует условие стационарности полной потенциальной энергии системы бП = О, согласно которому из всех перемещений, удовлетворяющих граничным условиям, перемещения, удовлетворяющие уравнениям равновесия, придают полной потенциальной энергии стационарное значение. Из принципа возможных изменений напряженного состояния следует условие стационарности дополнительной энергии, согласно которому из всех возможных напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям, напряжения, удовлетворяющие уравнениям неразрывности деформаций, придают дополнительной энергии стационарное значение. [c.53]

Задачи механики сплошных сред обычно формулируются в виде системы дифференциальных уравнений, например, таких, какие получены в гл. 3 для нелинейной теории упругости. Механические или физические характеристики непрерывного тела, такие, как перемещения, напряжения, деформации и т. д., считаются непрерывными функциями пространственных координат Xi, i = 1, 2, 3, а сплошное тело мысленно представляется совокупностью элементов бесконечно малого размера, как показано на рис. 3.1. [c.339]

Уравнение (5.12) с граничными условиями (5.4) и начальными данными (5.6) может в этом случае быть решено отдельно от системы уравнений (5.1), и рассматриваемая задача механики сплошной среды будет несвязанной. [c.145]

Создание общей теории феноменологических определяющих уравнений, устанавливающей общие формы связей между полями напряжений, деформаций, скоростей деформаций, температур для различных сред, является одной из фундаментальных проблем механики сплошных сред. При этом должны выполняться некоторые основополагающие принципы (постулаты). Рассмотрим принципы макроскопической определимости, физической допустимости и независимости от системы отсчета. [c.130]

Уравнения механики сплошной среды при отсутствии теплопроводности не содержат в явном виде температуру вещества. Для эамыкашя системы законов сохранения в случае адиабатических движений идеальной однокомпонентной среды достаточно уравнения состояния в форме [c.40]

Чтобы максимально облегчить понимание проблем, которые возникают при конструировании разностных схем для уравнений механики сплошной среды, ограничимся рассмотрением законов сохранения массы, количества дви зкения и энергии в одномерном случае в виде (1.131) — (1.133). Система трех уравнений (1.131) — (1.133) содержит семь искомых функций (Р, V, Е, 17, 8, 82, д) от двух независимых аргументов (t — время, г — эйлерова координата). Динамические процессы в твердых телах протекают за времена настолько малые, что теплопроводность не успевает повлиять на термодинамические характеристики вещества. Поэтому в урав- [c.217]

Именно эта возможность и была реализована в 1911 г. Г. Герглотцем , который принял активное участие в разработке релятивистской механики сплошной среды и на этом пути впервые явно получил взаимосвязь Р-сим-метрия — сохранение . Вариационная структура уравнений механики сплошной среды была известна и широко использовалась, начиная с середины XIX в. (Гельмгольц, Кирхгоф, Рэлей, А. Вальтер и др.) . Вариационные принципы в релятивистской форме за пределами электродинамики были сформулированы и широко использованы, прежде всего, Планком, а затем Минковским и др. (механика точки и системы, термодинамика и т. д. ). Поэтому построение релятивистской механики сплошной среды естественно было начать с Р-инвариантного вариационного принципа, переходящего в нерелятивистском случае в соответствующий вариационный принцип классической механики. Герглотц начинает с описания среды в переменных Лагранжа, т. е. рассматривая координаты частиц среды и характеристики движения как функции начальных координат и времени t. Элемент мировой линии двух соседних мировых точек при таком описании выражается посредством квадратичной формы дифференциалов начальных координат и собственного времени = i x [c.243]

Рассмотрим установившуюся стадию процесса, т. е. стадию, отделенную от начала и конца процесса деформации. Выделим зону уплотнения (зона 2 на рис. 47). В ней градиенты скорости, плотности и температуры велики. Введем подвижную систему координат XiAyi, которая движется равномерно и поступательно со скоростью D, равной скорости распространения волны уплотнения (зоны 2) в рассматриваемый момент. В этой системе координат процесс уплотнения в зоне 2 можно считать установившимся и общие уравнения механики сплошных сред (уравнения сохранения массы, количества движения и баланса энергии) принимают вид [c.136]

Решение уравнений механики сплошных сред усложняются тем, что система уравнений нелинейна. Поэтому часто для решения задач механики сплошных сред использ)ТОтся методы подобия и размерности. [c.191]

Векторные операции, Здесь приводятся ковариантные выражения ДШ1 ряда дифференциальных операций. Эти форму.шхисполь-зуются при ковариантной записи дифференциальных уравнений механики сплошных сред в произвольной системе координат ъ [c.27]

Ддя полного "замыкания системы дифференциальных уравнений механики сплошных сред требуется еще шесть уравнений. Эти уравнения, называемые также щдйше ш состощя, связывают тензор напряжений с движением (или перемещением). Эти связи имеют различный вид ддя разных сред и будут сформу.дированы позже. [c.59]

Для описания произвольных движений газа или жидкост обычно используют уравнения механики сплошных сред, записаг ные в координатах Эйлера. При таком описании все величинь характеризующие состояние среды, зависят от координат х, у, неподвижной системы и времени 1. Если можно не учитывать ди( сипативных процессов, то достаточно знать распределения скорс сти гидродинамических частиц м (г, 1), плотности р [г, I) и давл< ния р г, ). Эти поля связаны уравнениями непрерывности [c.18]

Упрощение системы Навье-Стокса обычно диктуется следующей простой идеей желательно построить уравнения, которые описьшали бы течения, содержащие области как с существенной, так и несущественной вязкостью, но допускающие более экономичные алгоритмы, чем алгоритмы для полных уравнений Навье-Стокса. Обоснование различных упрощений тесно связано со спецификой решаемой задачи. Например, при обтекании затупленного тела потоком слабо разреженно го газа, когда еще справедливы уравнения механики сплошной среды, можно использовать уравнения, в которых выброшены члены порядка 0(Яе ) и выше [56]. [c.131]

Система уравнений (22,2), (22.3), (22.4), (22.8) замыкается общими уравнениями механики сплошной среды (уравнения движения, сохранения массы, притока тепла), которые сохраняют свою форму, а наличие электромагнитного поля приводу лишь к дополнительной объемной (пондермоторной) силе Р в уравнении движения и дополнительному члену в уравнении притока тепла, равному джоулеву теплу (22.6). [c.218]

Современное состояние вопроса общего математического описания дисперсных систем нельзя признать до-статочло удовлетворительным, несмотря на растущий интерес к этой проблеме. Каж травило, в работах, шо-священных этому вопросу, фактически используется феноменологический подход к исследованию дисперсного потока в целом. Идея условного континуума п03(В0Ляет полностью использовать математический аппарат механики сплошных сред, но несет с собой погрешности физического порядка тем более существенные, чем значительней макроднскретность системы. Системы таких уравнений, полученные рядом авторов как общие, все же не охватывают класс дисперсных потоков во всем диапазоне концентраций (вплоть до плотного движущегося слоя). Они не учитывают качественного изменения структуры потока и в связи с этим изменения закономерностей распределения частиц, появления новых сил (например, сухого трения), изменения с ростом концентрации (до предельно большой величины) условий однозначности и пр. В основном большинство работ посвящено турбулентному течению без ограничений по концентрациям, хотя при определенных значениях р наступает переход к флюидному транспорту, а затем — плотному слою. Сама теория турбулентности применительно к дисперсным потокам находится по существу в стадии становления (гл. 3). Наиболее перспективные методы — статистические (вероятностные) применяются мало, по-видимому, в силу недостаточной изученности временной и пространственной структур дисперсных систем Общим недостатком предложенных систем уравнений является их незамкнутость, которая объясняется отсутствием конкретных данных о тензорах напряжений и [c.32]

Таким образом, система уравнений двухскоростного дви 1 ення бесстолкновительной дисперсной смеси является негиперболической, причем, как показано ниже, учет составляющей межфаз-пой силы за счет эффекта присоединенных масс не влияет на этот вывод. Проблемам негиперболичности в механике сплошной среды всегда уделяется особое внимание (Л. В. Овсянников, [c.304]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Основные концепции континуальных теорий смесей основательно изучены в рамках современных теорий механики сплошных сред. В теориях смесей предполагается наличие двух или более сред в каждой точке пространства, поэтому общие законы сохранения для смесей сформулировать нетрудно, но практическое их применение к композиционным материалам сталкивается с определенными затруднениями, связанными с трудностями задания законов взаимодействия компонентов на основе информации об их взаимном расположении и физических характеристиках. Для слоистой среды теория смеси, в которой параметры взаимодействия компонентов были определены на основании решений некоторых простейших квазистатических задач, предложена в работе Бедфорда и Стерна [12]. Новизна теории Бедфорда и Стерна состоит в том, что допускаются различные движения компонентов смеси, причем связь между этими движениями определяется моделью взаимодействия компонентов в реальном композите. В работе Бедфорда и Стерна [13] развита общая термомеханическая теория, основанная на этой модели, а также выведена система уравнений, применимых к определенному классу армированных волокнами композитов (см. Мартин и др. [45]). [c.380]

В 1822 и 1823 гг. великими Навье и Коши были представлены в Парижскую академию научные трактаты, или, как их тогда называли, мемуары, положившие начало двум подходам к рассмотрению механических свойств твердых тел. Первый, основанный на рассмотрении тела как системы взаимодействующих между собой молекул, привел к довольно строгим физическим теориям механических свойств кристаллов различного строения. Второй же, так называемый континуальный подход, заключался в замене реального тела воображаемой сплошной средой, непрерывно заполняющей пространство. Уравнения равновесия ее были получены Коши с помощью предложенного Эйлером метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил. Для описания поведения сплошной среды постулируются определяющие уравнения. Полученная модель такой среды считается пригодной для расчета процессов в некоторых реальных телах, если результаты этого расчета с достаточной точностью соответствуют результатал макроскопического эксперимента, в ходе которого измеряются механические величины, входящие в уравнения. Такие модели называются феноменологическими, они составляют основу механики сплошных сред. [c.34]

Метод сводится к следующему. Физическая область задачи делится на непересекающиеся подобласти или конечные элементы. Зависимая переменная (их может быть несколько) локально аппроксимируется функцией специального вида (например, полиномом невысокой,степени) на каждом конечном элементе и в дальнейшем глобально — во всей области. Параметры >тих аппроксимаций в дальнейшем становятся неизвестными параметрами задачи. Подстановка аппроксимаций в уравнения метода Галеркина или Ритца (или эквивалентные им, например, в уравнения начала виртуальных скоростей в механике сплошной среды) с последующей линеаризацией дает систему линейных алгебраических уравнений относительно указанных параметров, матрица которой обладает замечательным свойством—ова- является ленточной, очень удобной для решения системы-на ЭВМ. [c.13]

Другим методом получения точных решений и сокращения размерности задач является метод дифференциальных связей [7]. Исходная система уравнений пополняется дополнительными дифференциальными или другими соотношениями-связями, накла дывается априори требование, чтобы полученная переопределенная система обладала каким-либо заданным функциональным произволом, и осуществляется анализ совмест ности полученной системы уравнений. Таким путем в работе [7] был построен ряд точных содержательных решений механики сплошной среды. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...