Инвариантные соотношения

Установление инвариантных соотношений между векторами позволяет указать инвариантные выражения теорем механики. Пользуясь ими, можно, в свою очередь, применять при решении конкретных задач разнообразные координатные системы. Кроме этого, установление инвариантных формулировок законов природы имеет самостоятельное познавательное значение, так как именно инвариантная форма отображает внутреннее содержание этих законов. [c.25]

Далее, подобно тому, как это было сделано в п. 20 для первых интегралов, укажем прежде всего формальные условия, характеризующие уравнение (47) как инвариантное соотношение. [c.278]

Определение инвариантного соотношения и соответствующее характеристическое дифференциальное уравнение (49) допускают естественное обобщение. Какая-нибудь система из /я 1 < л конечных соотношений между j и [c.279]

Инвариантность условий стационарности инвариантного соотношения. Предполагая для системы (36) инвариантное соотношение [c.281]

Субстанциальные многообразия. Во многих исследованиях, в частности в небесной механике, наряду с рассмотрением интегралов и инвариантных соотношений,. оказывается полезным исследование других образований инвариантного типа относительно любой системы дифференциальных уравнений первого порядка (36). Речь идет о так называемых интегральных инвариантах, о которых здесь уместно дать некоторое понятие. [c.289]

Общий случай. Выяснив в предыдущих параграфах 3—5 основные понятия об интеграле или инварианте, об инвариантном соотношении и инвариантной системе (соотношений) и об интегральном инварианте, рассмотрим теперь, хотя бы в краткой форме, задачу действительного интегрирования (общего или частного) канонических систем начнем с классического метода Гамильтона — Якоби, который [c.296]

Определение частных решений, если известны первые интегралы или инвариантные соотношения [c.323]

Здесь мы остановимся на более скромной, но в то же время очень интересной (в смысле ее широкой приложимости) задаче отыскания минимальных аналитических средств, достаточных для определения некоторого класса частных решений, когда эти решения можно получить на основании знания интегралов или инвариантных соотношений. [c.323]

Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям, докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны т<С п инвариантных соотношений, находящихся в инволюции и разрешимых относительно т переменных р, то можно определить со" частных решений данной системы посредством интегрирования приведенной системы дифференциальных уравнений порядка /и. [c.324]

Действительно, пусть известные инвариантные соотношения даны в разрешенном виде [c.325]

Естественно, что общность решений, к которой мы приходим таким способом, возрастает, когда какое-нибудь из известных инвариантных соотношений (105) является истинным интегралом и поэтому содержит произвольную постоянную поэтому если при приведении мы прямо используем от интегралов, находящихся попарно в инволюции то придем к классу оо частных решений. [c.325]

Заслуживает внимания то обстоятельство, что с теоретической точки зрения рассмотренный в п. 53 случай оказывается только более общим случаем Рауса, разобранным в предыдущем пункте. Действительно, как это доказывается в теории преобразований прикосновения, инвариантные соотношения (105), находящиеся в инволюции, можно всегда привести надлежащим (вполне) каноническим преобразованием переменных р, q к простейшему виду [c.326]

Это доказательство оказывается, несомненно, более простым, чем доказательство п. 30 нужно, однако, заметить, что оно опирается на теорию преобразований прикосновения, которую мы здесь не затрагивали. Во всяком случае, даже если мы отвлечемся от этого несущественного обстоятельства, теоретическая возможность сведения т инвариантных соотношений, находящихся в инволюции (105), к соотношениям (106 ) не лишает интереса рассуждения, которые мы развили в пп. 28, 30, относя систему к совершенно общим координатам. [c.327]

Инвариантное уравнение 169 Инвариантные соотношения 278 Инварианты канонической системы уравнений 273 [c.546]

Чаплыгин С. А. 171 Чаплыгина случай частной интегрируемости уравнений движения 171 Частный интеграл уравнений Гамильтона — Якоби, вывод инвариантных соотношений 307 [c.551]

Винтовая пара. Если переменные цилиндрической пары S и 0 пропорциональны, а не независимы, то получается винтовая пара. В связи с наличием инвариантного соотношения между S и 0 число степеней свободы нары становится равным единице, это соотношение определяет шаг винта L, равный L = 2я5/0. [c.100]

Если обозначить через х, у), (х, у ), х", у")... любые физические переменные, то имеем инвариантные соотношения [c.46]

Важное свойство изоморфизма между полями — состоит в том, что он отражает инвариантность соотношений. Например, пусть f (/), f и и F i) — три пространственных поля (т. е., как видно по верхним индексам, контравариантные тензоры второго ранга), удовлетворяющие инвариантному соотношению [c.394]

Это свойство изоморфизма обусловлено формальным сходством уравнений, определяющих изоморфизм с уравнениями, связывающими компоненты одного и того же тензорного поля в двух координатных системах. Значит, изоморфизм отражает и воспроизводит инвариантные соотношения всех типов независимо от того, включают ли они сложение, вычитание, свертку, ковариантное дифференцирование или внешнее умножение тензорных полей. Именно в этом заключается свойство воспроизводимости, оправдывающее применение термина изоморфизма для взаимно однозначного соответствия —между телесными и пространственными полями. [c.394]

Аналогичное заключение можно сделать и для реологических уравнений состояния, которые (как предполагалось) не содержат частных (или ковариантных) производных напряжения или деформации. Для любого строго инвариантного соотношения между компонентами [c.429]

Это инвариантное соотношение физически можно проинтерпретировать следуюш им образом. Если ввести квант волновой энергии "2.12, 2.13] Е — Нод, где Й - константа, имеющая размерность постоянной действия, то полная энергия волнового цуга будет пропорциональна числу квантов Е = а соотношение (2.18) принимает вид закона сохранения числа квантов волновой энергии [c.61]

Так как уравнение Дирака получено из релятивистски инвариантного соотношения (71.22), то представляется вероятным, что оно релятивистски инвариантно. Это утверждение [c.390]

Такое соотношение, поскольку оно в отличие от интеграла не содержит произвольных постоянных, определяет некоторое свойство, принадлежащее только части решений системы, т. е. решениям, начальные значения которых подчиняются тому же соотношению. Очень простой пример инвариантного соотношения представляет собой всякий интеграл /= onst, в котором произвольной постоянной приписывается какое-нибудь частное значение поэтому, как и в аналогичном случае систем дифференщ1альных уравнений второго порядка (гл. VIII, п. 58), инвариантные соотношения называются также частными интегралами. Если мы обратимся к представлению в пространстве X, t графиков движения, то из самого определения увидим, что всякое инвариантное соотношение (47) определяет в нем гиперповерхность, образованную оо"- графиков движения (или интегральных кривых) системы (36) но в данном случае мы имеем отдельную гиперповерхность, в то время как первый интеграл определял оо таких гиперповерхностей, заполняющих все пространство п- - измерений. [c.278]

Вывод ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ для одного ЧАСТНОГО ИНТЕГРАЛА УРАВНЕНИЙ Гамильтона— Якови. Если для уравнения с частными производными [c.307]

Необходимо отметить, что если для данной системы известны не первые интегралы, а только т инвариантных соотношений, независимых между собой, то из них можно получить выражения для т из неизвестных х и, как и выше, исключить эти т неизвестных из последних п — т уравнений (36) но приведенная система (36), которая таким образом получится, не будет содержать в себе произвольных постоянных, так что интегрирование этой системы порядка п — т даст уже не общий интеграл данной системы, а только некоторый класс решений, т. е. именно тех решений, которые удовле- [c.308]

Статические решения. Чтобы начать с простого, но не лишенного, однако, интереса случая, возьмем снова каноническую систему, характеристическая функция которой не зависит от t В этом случае существует интеграл Н = onst, и, согласно следствию п, 27, соответствующее условие стационарности ЬН = 0 позволяет написать 2п инвариантных соотношений [c.324]

ФШДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ—постотные, входящие в ур-ния, описывающие фун-дам. законы природы и свойства материи. Ф. ф. к. определяют точность, полноту и единство наших представлений об окружающем мире, возникая в теоретич. моделях наблюдаемых явлений в виде универсальных коэф. в соответствующих матем. выражениях. Благодаря Ф. ф. к. возможны инвариантные соотношения между измеряемыми величинами. Т. о., Ф. ф. к. могут также характеризовать вепосредственно измеряемые свойства материи и фундам. л природы и совместно с теорией должны объяснять поведение любой физ. системы как на микроскопич., так и на макроскопич. уровне. Набор Ф. ф. к. не является фиксированным и тесно связан с выбором системы единиц (яз. величин, он может расшириться вследствие открытия вовых явлений и создания теорий, их объясняющих, и сократиться при построении более общих фундаментальных теорий. [c.381]

Метод, принятый в термодинамике неравновесных процессов, состоит прежде всего в том, что устанавливают различные законы сохранения микроскопической физики законы сохранения материи, импульса, момента импульса и энергии. В 2 этой статьи мы дадим формулы этих законов применительно к изотропным жидкостям, в которых имеют место тепло- и массоперенос и вязкое течение. В 4 и 5 рассмотрены эффекты, вызванные химическими реакциями, релаксационными процессами и действием внещних сил. С помощью законов сохранения описан закон энтропии Гиббса и введено уравнение баланса, которое содержит в себе как основной термин величину прироста энтропии. Выражение для прироста энтропии в этом случае является суммой членов, обусловливаемых теплопроводностью, диффузией, вязким течением и химическими реакциями ( 3—5). Каждый из этих членов состоит из произведения потока (например, потока тепла или диффузионного потока) и термодинамической силы (например, градиента температуры или градиента концентрации). Можно установить линейную зависимость (называемую феноменологическими уравнениями) между этими потоками и термодинамическими силами ( 6). Коэффициенты, появляющиеся в этих уравнениях, суть коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии и тому подобные. Между ними существует определенная зависимость как результат временной инвариантности (соотношение Онзагера) и возможности пространственной симметрии (принцип Кюри). Окончательно включением феноменологических уравнений в законы сохранения и законы энтропии а также с помощью приведенных ниже уравнений состояния ( 7) получают полную систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение объекта. [c.5]

Инвариантность соотношения (1.5.85) позволяет записать его в главных координатах тензора напряжений, в которой условие пластичности Р.Хилла (1.5.88) принимает вид [c.157]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...