Многообразие двумерное

Начнем с примера, когда данное риманово многообразие двумерное, т. е. поверхность, а данная кривая — геодезическая на этой поверхности. [c.266]

В случае, когда наше многообразие — двумерный тор, гомологичные тождественному симплектические диффеоморфизмы — это в точности те, которые мы назвали выше сохраняющими центр тяжести. [c.387]

Число устойчивых ( неустойчивых ) корней определяет размерность так называемого устойчивого (неустойчивого W ) многообразия, на котором вблизи состояния равновесия расположены приближающиеся к нему (уходящие от него) траектории. Когда эти многообразия двумерны, мы видим на них привычные нам устойчивые (неустойчивые) узлы или фокусы. Будут на этих многообразиях узлы или фокусы, зависит от знака дискриминанта [c.136]

Соотношение (2), представленное в виде ds = g ,.,dq ,dq. называется первой квадратичной формой поверхности [6, 7, 37, 38]. Эта форма определяет метрику двумерного многообразия (совокупности точек на поверхности). Координатные векторы e,. = df/d9). образуют локальный базис. При замене криволинейных координат qx- qx их дифференциалы преобразуются по правилу [c.80]

Пример 2. Рассмотрим негиперболическую особую точку векторного поля с двумерным центральным многообразием и парой чисто мнимых собственных значений ограничение поля на центральное многообразие имеет нормализованную 3-струю, задающую уравнение вида [c.89]

Преобразование монодромии имеет двумерное центральное многообразие, на котором (в координатах x- riy= z) оно может быть записано, в виде z>- vz-l-azj v=e f. [c.91]

Под сепаратрисой положения равновесия типа седло-узел подразумевается здесь часть центрального многообразия, не принадлежащая двумерному устойчивому или неустойчивому множеству другими словами, общая граница двух гиперболических секторов. [c.101]

Получим трехмерные многообразия и К , гомеоморфные друг другу и прямому произведению двумерного диска на 5 ), и векторные поля и соответственно. Легко проверяется, что [c.114]

Лемма ([30], [33]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения встретилось векторное поле с негиперболическим циклом, имеющим мультипликатор 1, объединение которого со всеми его гомоклиническими траекториями компактно. Тогда это объединение состоит из конечного числа (скажем, р) непрерывных двумерных многообразий, каждое из которых гомеоморфно тору или бутылке Клейна. Если цикл — типа узел [c.115]

При бифуркации цикла, объединение гомоклинических траекторий которого некритично и состоит из р торов и бутылок Клейна (р>1), рождается инвариантное гиперболическое множество, содержащее счетное число двумерных инвариантных многообразий. [c.118]

С другой стороны, при достаточно малом е, некоторая степень диффеоморфизма уменьшает двумерные объемы. Поэтому аттрактор не является и многообразием размерности выше 1. Следовательно, аттрактор — странный. [c.121]

Здесь через и Г обозначены устойчивые и неустойчивые многообразия гиперболических положений равновесия или циклов. Поясним, из-за чего может возникать недостижимость в случае (За) на рис. 44, где изображен диффеоморфизм двумерного диска, имеющий при е=0 неподвижную точку Q с мультипликатором 1, и два седла Qi, Q2, причем Sq трансверсально пересекается с Wq а содержит точку Р простого касания со слоем слое- [c.123]

Поля V++, V+" имеют седловой предельный цикл с двумерными устойчивым и неустойчивым многообразиями при <0, е>0 соответственно, причем для 1/++ устойчивое и неустойчивое многообразия гомеоморфны цилиндрам (листам Мёбиуса). Никаких неблуждающих траекторий, кроме О и цикла Z.+ (e) при е=5 0 и гомоклинической траектории Г при е—О, поля V++, V+" не имеют. [c.131]

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

Типичные системы. Рассмотрим класс быстро-медленных систем (2), медленная поверхность которых состоит из регу-. лярных точек (диффеоморфно проектируется на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых). Потребуем также, чтобы множество негиперболических положений равновесия системы быстрых движений состояло из точек с. двумерным центральным многообразием и парой ненулевых собственных значений на мнимой оси. Такие системы назовем системами типа 2. Эти системы образуют открытое множество в подходящем функциональном пространстве. [c.192]

Динамические системы на двумерных многообразиях. В сб. Тр. V Междунар. конф. по нелинейным колебаниям . Киев, 1970, 2, 46—52 [c.210]

Равенство (24.8.5) непосредственно следует из самого определения контактного преобразования. Остановимся более подробно на значении символов d я 6. Рассмотрим двумерное многообразие М, содержащее точку а о и векторы dx и баз. Будем определять положение точки на многообразии Af координатами t] координаты 1, 2i м 9т1>Р1>Р21 [c.497]

Эта система неголономна к = 2, I = 1, п = 3). Для простоты будем предполагать, что никаких активных сил нет и единственной силой, действующей на частицу, является реакция связи. Мы знаем, что несмотря на то, что система имеет две степени свободы, частица может из заданной точки попасть в точки, составляющие многообразие трех измерений, по геометрически возможному пути. В самом деле, в 1.8 было показано, что любой точки пространства можно достигнуть, отправляясь из любой другой точки. С другой стороны, динамически возможные траектории способны перевести частицу лишь в точки некоторого двумерного многообразия. [c.530]

Он означает, что если дано двумерное многообразие траекторий и на каждой траектории состояние, соответствующее определенному моменту времени /, то двойной интеграл, распространенный по всем этим состояниям, не зависит от t. [c.846]

Это показывает, что три вектора вектор силы, вектор касательной к траектории и вектор главной нормали компланарны (т. е. лежат в двумерном линейном многообразии). [c.15]

Пример. Множество всех касательных векторов к двумерной поверхности Л/ образует двумерное векторное Р. (касательное Р.) 1 = ГЛ/. Векторное поле на № определяет сечение в Р. ГД/ . Классич. теорема Пуанкаре утверждает, что единственное замкнутое многообразие Л/ , допускающее гладкое касательное поле без особенностей на Л/ , — тор Г . Нетрудно доказать, что теорема Пуанкаре включает следующее утверждение только касательное Р, к Г есть прямое произведение. [c.284]

Совокупность точек многообразия, для которого одна координата (в заданной системе отсчета) постоянна, называется двумерным многообразием или координатной поверхностью. При постоянстве двух координат приходим к одномерному многообразию, или координатной линии. Координатные поверхности х =Я, полученные приданием параметру всех возможных значений, будут включать все точки многообразия один и только [c.380]

Схемой преобразования изображения, позволяющей выйти за рамки формул (3.29), (3.67), (3.70), (3.71), является схема критичного векторного синхронизма [204—228], где благодаря цилиндрической фокусировке накачки для каждого ИК-луча имеется луч накачки, с которым взаимодействие происходит точно в синхронизме. При этом, благодаря векторному характеру взаимодействия, каждый луч накачки переводит одномерное многообразие инфракрасных лучей, концы которых лежат на некоторой дуге (рис. 4.1). Поэтому для перевода двумерного изображения ИК-лучей достаточно фокусировки, дающей одномерное многообразие лучей накачки. На рис. 4.1 видно, что если [c.83]

Пусть S — двумерное компактное регулярное многообразие в п <-, >2 — скалярное произведение в (/-2(2))з (см. (2,5.39)). Пусть / >0. Введем для вектор-функций ф(х, t) и (x.t), определенных на SX(—оо. ). равных нулю при /<0 и таких, что [c.124]

Положим, что граница Г является двумерным многообразием. Пусть Г и ее дискретизация Ah таковы, что элемент Гк еА,. [c.204]

Два собственных значения равны нулф центральное многообразие двумерно соответствующий блок линейной части — нильпотентная жорданова клетка. [c.26]

Ответ Состояния равновесия в пространстве (0, Q, (о) образуют поверхность П, уравнение которой С + ma )Q(n — Aii sinO -j-/Tiga sin 0 = о, представляющую двумерное многообразие стационарных движений диска. На этой поверхности точки прямой 0 = Q = о соответствуют такому качению диска по прямой, при котором плоскость диска сохраняет вертикальное положение. Тонки прямой 0 = со = о соответствуют верчению диска вокруг неподвижного вертикального диаметра. Все остальные точки поверхности П соответствуют круговым движениям. [c.387]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

Гомоклинические структуры возможны в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениям , с размерностью, не меньшей трех. Двумерные системы гомоклинических структур иметь не могут. Однако двумерные точечные отображения такие структуры допускают. Для динамической системы, описываемой точечным отображением, под гомоклинической структурой естественно понимать некоторое множество седловых неподвижных точек и двоякоасимптотических к ним фазовых траекторий (последовательностей преобразующихся друг в друга точек). Простейшая гомоклиническая структура для точечного отображения возникает при пересечении сепаратрисных инвариантных многообразий — седловой неподвижной точки двумерного точечного отображения. Возникающая при этом сложная картинка взаимопересечений сепара-трисных кривых уже описывалась. [c.315]

Центральное многообразие этой системы двумерно исследуем его пересечения с плоскостями е = onst. Система (12) получается добавлением уравнения е = 0 к семейству из последних двух уравнений. При е > О уравнение этого семейства имеет две особые точки седло 5g(]/E,0) и узел Ne — OJ, отношение а собственных значений которого равно 1/2]/ е. Пересечение центрального многообразия системы (12) с плоскостью E = onst содержит (гладкую) сепаратрису седла Sg и фазовую кривую, входящую в узел Ne- Через узел Ne проходят (при нецелом а) ровно две гладкие инвариантные кривые соответствующего уравнения остальные фазсвые кривые входят в узел, имея в точке [c.68]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Арансон С. X., Об отсутствии незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий и траекторий, Двоякоаснмптотическнх к двойному предельному циклу, у динамических систем первой степени негрубости на ориентируемых двумерных многообразиях. Мат. сб., 1968, 76, вып. 2, 214—230 [c.210]

Параметры ы и и являются координатами точек некоторого двумерного многообразия в фазовом пространстве. Возьмем в качестве такого многообразия плоскость qiqj и вычислим скобку Лагранжа qu q . При этом можно, конечно, пользоваться любой системой канонических переменных, например переменными q, р, которые, очевидно, наиболее удобны. Тогда скобка qu q ] примет вид [c.277]

Величины в общем случае не являются постоянными, а представляют собой функции переменных х , х , х . Они оказываются константами только в случае прямоугольных и в более общем случае косоугольных координат. Для криволинейных координат значения меняются от точки к точке. Они зависят от двух индексов i и k и образуют двумерное многообразие, в то время как компоненты вектора, например, образук т одномерное многообразие. [c.42]

Следует выделить условие, которое приводит к возникновению лучевых свойств механических траекторий, потому что мы фактически произвели определенный отбор среди всех возможных механических траекторий. Световые лучи в заданном оптическом поле образуют двумерное многообразие, в то время как совокупность всех механических траекторий в потенциальном поле образует пятимерное многообразие. С заданной базисной поверхности траектории могли бы начинаться с произвольными скоростями. Мы отбираем те траектории, которые имеют одну и ту же полную энергию и перпендикулярны заданной поверхности. Лучевые свойства устанавливаются именно для них. Механические траектории являются изолированными линиями, не пересекающимися друг с другом. Если при помощи ка-кого-иибудь условия искусственно выделить некоторое семейство траекторий, то, вообще говоря, ничто не мешает добавить к ним некую случайную траекторию, не принадлежащую к этому Лмейству. В противоположность этому оптические лучи не могут существовать в изолированном виде, а всегда являются частью какого-то поля. [c.306]

Число п называется числом степеней свободы системы (для понимания дальнейшего достаточно представить себе двумерную поверхность в трехмерном пространстве Л =1, г=1, т. е. ограничиться движением точки по нешероховатой поверхности, о котором уже говорилось в теме 5). Локальные координаты на многообразии положений имеют специальное название — определяющие координаты (говорят также лагранжевы , или обобщенные координаты ). Смысл термина в том, что расположение системы точек rrii в пространстве однозначно определяется п величинами (фактически мы имеем частный случай (9)) [c.92]

В четырёхмерном мире Минковского возможны одномерные многообразия — линии, двумерные — поверхности, трёхмерные — гиперповерхностм и четырёхмерные — объёмы. По всем ним могут производиться операции интегрирования. Инвариантная форма интеграла но линии может иметь вид /(а) или Элемен- [c.499]

Как правило, гиперболич. множество имеет нулевой ри-манов объём и вследствие этого нигде не плотно, т. е. не содержит ни одного шара (в двумерном случае—круга). Тривиальный пример такого множества—гиперболич. неподвижная точка X (седло) нек-рого гладкого преобразования плоскости. В её окрестности, однако, может существовать гиперболич. множество гораздо более сложной структуры (оно замкнуто, нигде не плотно и не содержит иэолиров. точек, т.е. напоминает канторово совершенное множество). Это бывает в тех случаях, когда проходящие через точку д сепаратрисы (к-рые служат для неё устойчивым и неустойчивым многообразиями) пересекаются под ненулевым углом (трансверсально) в нек-рой точке у= х (называемой трансверсальной гомоклинич. точкой). [c.632]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...