Четырехмерное пространство Минковского

Ковариантная форма уравнений. Преобразование Лоренца получено нами для замены преобразования Галилея, так как последнее нельзя считать правильным. Теперь мы можем перейти ко второй части нашего исследования и рассмотреть вопрос о принципе эквивалентности, требующем, чтобы законы механики (и вообще законы физики) имели одинаковую форму во всех равномерно движущихся системах. Таким образом, мы должны исследовать законы физики в отношении инвариантности их формы при преобразованиях Лоренца. Эта задача сильно облегчается, если, формулируя эти законы, пользоваться понятием четырехмерного пространства Минковского, введенного в предыдущем параграфе. Мы увидим, что инвариантность данных уравнений относительно преобразований Лоренца тогда можно будет установить непосредственным путем. [c.218]

Четырехмерное пространство Минковского 341 [c.341]

Четырехмерное пространство Минковского. Формулы преобразования (9.2.9—9.2.10) обладают тем свойством, что они оставляют инвариантным выражение [c.341]

Четырехмерное пространство Минковского 343 [c.343]

Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией V. Кроме того, ds —это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства. Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент ds примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4 13 [c.371]

Таким образом, уравнения Максвелла можно написать в тензорной форме с помощью тензора Р в специально введенном по определению четырехмерном пространстве Минковского. [c.280]

Преобразования Лоренца также образуют группу, зависящую от десяти параметров от четырех параметров, определяющих трансляцию, и от шести параметров, определяющих зеркальное отражение и вращение четырехмерного пространства Минковского, задаваемого независимыми параметрами, через которые выражаются коэффициенты с . [c.289]

Четырехмерные векторы в пространстве Минковского [c.459]

Соотношения (43) указывают, какими свойствами должны обладать силы F в релятивистской механике. Эти силы должны быть такими, чтобы составленные по ним в соответствии с (37), (38) силы Минковского S преобразовывались как четырехмерные векторы в пространстве Минковского. Последнее условие удовлетворяется для электромагнитных сил, действующих на заряженную частицу требование теории состоит в том, чтобы это условие соблюдалось для всех сил вообще. Таким образом, оно является руководящим принципом для построения любой физической теории, описывающей силовые взаимодействия. [c.466]

Наличие различных знаков (+, —, —,—) в этой квадратичной форме приводит к глубоким отличиям от истинного четырехмерного евклидова пространства, имеющего квадратичную форму со знаками (+, +, +, +). Нулевое расстояние между двумя точками в евклидовом смысле означает, что эти точки совпадают. Нулевое расстояние в пространстве Минковского означает, что [c.343]

В СТО делается отказ от абсолютизации времени — представления, столь характерного для механики Ньютона. А именно любой инерциальной системе отсчета К соответствуют свои координаты х,у, г и свое время I. Г. Минковский в 1908 г. предложил геометрическую интерпретацию СТО, где обычное трехмерное пространство и время объединяются в четырехмерное пространство (пространство Минковского). [c.236]

Отложим на ортогональных осях четырехмерного пространства три пространственные координаты и время (мир Минковского). Событие в этом пространстве будет изображаться точкой, называемой мировой точкой. Всякой частице соответствует мировая линия, точки которой определяют координаты частицы во все моменты времени. В силу инвариантности интервала качественное различие связи между событиями не будет зависеть от выбора системы отсчета. [c.636]

В пространстве Минковского кривую, по которой движется частица, можно задать в параметрической форме х = х т), где г, вообще говоря, — произвольный параметр. Определим четырехмерную скорость (4-скорость) частицы соотношением = dx /dт. Удобно выбрать в качестве параметра т инвариантное собственное время частицы. Полагая в (32.9) 1 = т, имеем dт = dt Jl — ( . Тогда 4-скорость [c.360]

Минковский (1864—1909) для описания пространственно-временных событий ввел геометрическую терминологию. Совокупность значений т, х, у, г, характеризующую время и место события, он назвал мировой точкой. Многообразие мировых точек есть четырехмерное пространство, называемое миром или пространством Маяковского. Линия в пространстве Минковского называется мировой линией. Интервал между двумя событиями принимается за инвариантное расстояние между соответствующими мировыми точками. На основе таких представлений было создано тензорное исчисление в пространстве Минковского, аналогичное тензорному [c.641]

Для решения поставленной задачи проще и логичнее всего воспользоваться понятием четырехмерного вектора (или, короче, 4-вектора) в пространстве Минковского. Каждое точечное событие в таком пространстве характеризуется совокупностью четырех координат X, г/, г, т = с/. При переходе от системы отсчета S к системе отсчета S разности координат двух точек преобразуются по формулам [c.670]

Назовем четырехмерным вектором совокупность четырех величин Ах, А у, А г. Ах, которые при переходе от одной системы отсчета к другой преобразуются так же, как разности координат двух точек в пространстве Минковского, т. в. [c.670]

Пространство Минковского Введем четырехмерное метрическое псевдо- [c.278]

Наряду с трехмерным вектором j, определенным в геометрическом пространстве, вводится еще четырехмерный вектор плотности тока в пространстве Минковского, который в собственной декартовой системе координат определен формулами [c.297]

Компоненты вектора Jв любой другой системе координат определяются через компоненты в собственной системе по общим формулам преобразования четырехмерного вектора в пространстве Минковского. [c.297]

Итак, основные физические принципы (1) и (2) позволяют установить в многообразии координат событий квадратичную форму (1), значение которой не зависит от выбора системы, отсчета. Пользуясь этим можно, продолжая построение намеченной геометрической интерпретации, ввести в многообразии событий метрику, полагая квадрат расстояния между событиями равным значению формы (1), и превратить тем самым многообразие событий в пространство, точками которого эти события являются. Выбор частной инерциальной системы отсчета К будет отвечать тогда введению в этом пространстве частной (ортогональной) системы координат. Таким образом в нашей геометрической интерпретации обычное трехмерное пространство и время объединяются в одно четырехмерное пространство (далее будем говорить для краткости 4-пространство), которое называют пространством Минковского или (постепенно выходящий из употребления термин) — миром Минковского ). [c.145]

Иногда оказывается чрезвычайно выгодным превратить время t в механическую переменную. Вместо того чтобы считать позиционные координаты qi функциями времени t, координаты qi и время t рассматриваются как функции некоторого произвольного параметра т. Лагранж в подобных случаях считал, что пространство конфигураций для одной частицы превращается из пространства трех в пространство четырех измерений. В релятивистской механике этот переход абсолютно необходим, так как пространство и время объединяются там в один четырехмерный континуум Эйнштейна—Минковского. [c.216]

Бесконечно малое произведение П х= йх. йх, (1хзс1х представляет элементарный объем в четырехмерном пространстве Минковского и как таковой является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца. Следовательно, само выражение принципа (11.1) инвариантно при условии, что X является скалярной величиной. Эта форма принципа Гамильтона принимается как отправной пункт для описания полей. Так как эта форма является только новым вариантом записи использованного ранее принципа, то все полученные прежде следствия и здесь остаются в силе. В частности, уравнения движения (написанные в новых обозначениях) примут вид [c.154]

Вообще, все события по отношению к событию О можно разделить на абсолютно удаленные и абсолютно неодновременные (т. е. абсолютно прошедшие и абсолютно будуш,ие), как это показано на рис. 333. Для первых интервал между событиями чисто мнимый, для вторых — вещественный. Границей между такими событиями служат пунктирные мировые линии световых сигналов, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях пространственной оси. В четырехмерном пространстве Минковского такой границей будет трехмерное многообразие, а именно конус х — А — у — 2 = 0, осью которого является ось времени т. Он называется световым конусом. [c.643]

Совокупность величин и (л (которые будем в дальнейшем называть координатами , не выделяя специально пространственных и временной составляющих) удобно трактовать как декартовы компоненты некоторого вектора R соответственно по осям н в четырехмерном евклидовом пространстве-времени Минковского. Равенства (9) и (10) показывают, что преобразование (10) (ср. с 32 т. I) оставляет неизменной абсолютную величину упомянутого вектора R, т. е. представляет собой не что иное, как ортогональное преобразование координат — вращение в пространстве Минковского. Отличие этого вращенил от обычного заключается в том, что, поскольку координата чисто мнимая, коэффициенты и а. в соотношениях (10) не все вещественны. Именно, коэффициенты а.и а ., а. [i = 1,2, 3) должны быть чисто мнимыми, а остальные — зэ-щественными. [c.449]

Использование в пространстве Минковского прямоугольных координат обусловлено тем, что в спещ1альыой теории относительности рассматривались только инерниальные системы, т. е. системы, движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. На такие системы по первому закону Ньютона не действуют внешние силы. Однако гакое нлоское четырехмерное пространство является физической абстракцией, так как хорошо известно, что существует одна сила, которая действует везде и всегда,— это сила тяготения. От нее нельзя заслониться никакими экранами, как, например, это можно сделать в случае электромагнитного взаимодействия. Под действием силы тяготения все тела и системы отсчета движутся с ускорением. Напрашивается важный для понимания сущности гравитации вывод инер-циальные системы принципиально непригодны дпя описания тяготения. Для описания действия гравитационных сил надо отказаться от столь привычной вам евклидовой геометрии. Тяготение требует использования нового математического аппарата. Такой аппарат был уже создан. Громадный вклад в разработку 140 [c.140]

Рассмотрим четырехмерный мир Минковского (трехмерное пространство + время). Геометрическим местом пучка единичных временных векторов будет полость двуполостного гиперболоида. По Пуанкаре метрика пучка этих векторов будет совпадать с метрикой трехмерного пространства Лобачевского. [c.337]

Это равенство показывает, что искомое преобразование можно мыслить как в кащение в четырехмерном пространстве, три измерения которого являются измерениями обычного пространства, а четвертое является мнимым и пропорционально времени t. Это пространство известно, как пространство Мин-ковского. Следовательно, преобразование Лоренца является ортогональным преобразованием пространства Минковского. Поэтому весь математический аппарат главы 4, относящийся к ортогональным преобразованиям пространства, можно применить и к преобразованию Лоренца. [c.212]

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме-, все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерпом пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. [c.219]

Еще более серьезным обстоятельством была мысль Эйнштейна о том, что при наличии гравитации не может соблюдаться принцип постоянства скорости света. Вследствие этого геометрическая структура Вселенной не могла бы быть типа пространства Минковского. Ее следовало обобщить таким образом, чтобы эта структура была пространством Минковского лишь в малом, а при конечных размерах пространство приобретало бы кривизну . Это бы означало, что геометрия мира, оставаясь метрической, приобрела вместо четырехмерной евклидовой четырехмерную римаиову струк- [c.333]

Лля дальнейшего анализа нам потребуются некоторые понятия СТО в терминах так называемых кинематических и динамических 4-векторов [223, 286]. Лело в том, что релятивистское описание в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве Минковского удобно проводить, пользуясь именно этим аппаратом 4-векторов. [c.236]

Путь к пятимерию , о котором идет речь в этой книге, заключается в обнаружении до сих пор не отмеченной, далеко идущей симметрии уравнений релятивистской механики в пространстве, времени и действии. Наряду с трехмерной формулировкой Эйнштейна и четырехмерной формулировкой Минковского оказывается возможной новая пятимерная формулировка уравнений релятивистской механики. [c.8]

Пространство-время Минковского в согласии с работой [210] является частным случаем четырехмерного риманова пространства. Поскольку все метрические коэффициенты псевдоевклидова пространства постоянны, то это означает, что все соответствуюш ие скобки Кристоффеля тождественно равны нулю. Отсюда тензор кривизны Римана (Римана-Кристоффеля) равен нулю и пространство-время Минковского в этом смысле становится плоским, если воспользоваться аналогией с евклидовой плоскостью. [c.454]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...