Вариация полная

Второй член — интеграл по поверхности тела — существен лишь для нахождения граничных условий. Полагая пока бп = О на границах, находим для вариации полной свободной энергии [c.192]

Вторая вариация функционала совпадает со второй вариацией полной энергии упругого тела. Так как последняя положительна, то очевидно, что б Э > 0. [c.356]

Выведем зависимость 0 от значений а, и из рассмотрения вариации полной поверхностной энергии системы. Пусть пристенный участок жидкости подвергается бесконечно малому смещению (см. рис. 2.5,6). При этом поверхности контакта фаз изменяются. Здесь рассматривается плоский случай, но ввиду произвольности и малости контрольной высоты h все результаты будут пригодны и для любых объемных форм. [c.86]

Сумма двух последних величин есть вариация полного угла сдвига в плоскости ху, а именно [c.124]

Как мы уже говорили, б-вариация соответствует виртуальным перемещениям системы, т. е. таким перемещениям, при которых время t оставляют неизменным, а координаты варьируют в соответствии со связями, наложенными на систему. Такое перемещение не всегда принадлежит к числу перемещений, которые могут иметь место при движении системы. Это будет, например, в случае связей, зависящих от времени. Поэтому движение, получающееся в результате б-вариации, может быть таким, что гамильтониан его не будет постоянным. В противоположность б-вариации полная вариация Д связана с перемещениями, которые обусловлены не только варьированием траектории, но и изменением времени t. Поэтому траектория, образующаяся при Д-вариации, состоит из точек, получающихся в результате перемещений, обусловленных также дифференциалами времени. Вследствие этого мы можем потребовать, чтобы движения, получающиеся при Л-вариациях, были физически возможными, для чего можно потребовать, чтобы И было постоям- [c.253]

Вариационная производная лагранжиана 383 Вариация полная 253 Векторный магнитный потенциал 32 Векторы временно-подобные 221 [c.412]

Однако из этих условий вытекает, что когда мы берем вариацию полной первоначальной функции V первого порядка по отношению к восемнадцати координатам, то можем рассматривать две вспомогательные величины Н, и Н как постоянные следовательно, мы имеем следующие выражения [c.216]

Гри( итс исходил из энергетических соображений, полагая, что равновесному состоянию соответствует минимум полной энергии системы. Вследствие этого вариация полной энергии в окрестности равновесного состояния системы должна быть равна нулю. [c.576]

Форма равновесия изогнутой балки устойчива, поскольку вторая вариация полной потенциальной энергии положительна [c.44]

Величина а Ux + П ) представляет собой первую специальную вариацию полной энергии в начальном состоянии равновесия, т. е. вариацию, при которой возможные перемещения бы, бу, бш совпадают с перемещениями аи (х, у, z), avi (ж, у, г), аа>1 (х, у, z) [15]. Поскольку такая вариация является частным случаем общей вариации, очевидно, i/i + = 0. Определим условия существования состояний равновесия, смежных с начальным невозмущенным состоянием. Новое возмущенное состояние является равновесным, если первая вариация полной потенциальной энергии в этом состоянии равна нулю, т. е. [c.50]

Величину Л 2 можно рассматривать как такую вариацию полной потенциальной энергии (5о), когда возможные перемещения совпадают с перемещениями а. w . Поскольку начальное состояние равновесно, Л 2 = О при любых перемещениях 2. V2, W-2, совместимых с наложенными на тело связями. В частности, положив перемещения и , v , равными нулю, из выражения (2.56) вновь получим выражение для энергетического критерия устойчивости в форме Брайана. [c.59]

Последнее выражение представляет собой первую вариацию полной потенциальной энергии начального напряженного состояния пластины, вычисленную в предположении, что возможные перемещения в плоскости пластины совпадают с перемещениями Ма (х, у) и Уа х, у). Поскольку начальное плоское напряженное состояние равновесно, А — О при любых совместимых со связями перемещениях (х, у) и х, у). Следовательно, выражение (5.21) тождественно выражению (5.4). В частности, именно поэтому при выводе выражения для ДЗ перемещения 2 х, у) и о, (х, у) можно положить равными нулю. [c.189]

Таким образом, вариация полной энергии системы [c.67]

В ряде случаев при расчете пластин постоянной толщины можно упростить вычисления, если исходить непосредственно из формулы (2.27) для вариации полной энергии системы [c.103]

Из условия равенства нулю вариации полной потенциальной энергии [c.25]

Связь между деформациями и перемещениями в классической линейной теории упругости задается соотношениями (3.4). Как уже отмечалось, в положении равновесия ЬЭ — О, т. е. полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Для выяснения характера соответствующей стационарной точки необходимо исследовать вторую вариацию полной потенциальной энергии 6 5. Учитывая, что в соответствии с (3.15) вторая вариация Ь П = О, [c.78]

Другими словами, в линейных задачах теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой (3.17), что и удельная потенциальная энергия деформации. Следовательно, б"5 > О, и всякое положение равновесия упругой линейной системы устойчиво, поскольку полная потенциальная энергия имеет минимальное значение. [c.78]

Покажем, что если упругое тело находится в равновесии, то его полная потенциальная энергия имеет стационарное значение. Для этого найдем первую вариацию полной потенциальной энергии [c.23]

Для доказательства достаточно непосредственно подсчитать вторую вариацию полной потенциальной энергии Э (см. Приложение I). Если удельная потенциальная энергия определена выражением (1.36), то получаем [c.24]

Другими словами, в задачах линейной теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой, что и удельная потенциальная энергия. Следовательно, 6 5 > О и всякое положение равновесия линейной упругой системы устойчиво. [c.25]

В положении равновесия первая вариация полной потенциальной энергии должна обращаться в нуль при любых допустимых вариациях поперечного прогиба. Отсюда следует дифференциальное уравнение поперечного изгиба стержня [c.27]

Согласно принципу возможных перемещений для равновесного состояния вариация полной потенциальной энергии равна нулю [c.49]

Таким образом, в рассматриваемом случае потенциальной внешней нагрузки энергетический критерий устойчивости (16.97) отвечает минимуму полной энергии тела, обеспечиваемому положительностью второй вариации полной энергии. [c.280]

Пусть Э — полная потенциальная знергия системы, определяемая как разность между работой внутренних сил (энергией деформации) и внешних сил. На действительном поле перемещений вариация полной потенциальной энергии тела равна нулю [c.46]

Вариации полной потенциальной энергии деформации тела запишутся так [c.50]

В подтверждение этого соображения заметим, что уравнения (12) можно вывести с помощью методов вариационного исчисления. Их можно получить как условия того, что Ы/ — вариация полной упругой энергии деформации, и—должна обращаться в нуль для всех варьированных компонентов напряжения, удовлетворяющих уравнениям равновесия в напряжениях ). [c.395]

Величина, стоящая в квадратных скобках, представляет собой полную энергию. Следовательно, вариация полной энергии равна нулю. Это положение можно сформулировать так действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что сообщает полной энергии минимальное значение . [c.257]

Принцип возможных перемещений в применении к находящемуся в устойчивом равновесии упругому телу выражается теперь тем условием, что вариация полной потенциальной энергии Wi- -We) должна обращаться в нуль [c.149]

Вариация полного лагранжиана по полным смещениям приводит к уравнениям движения Эйлера следующего вида [c.35]

На основе именно этой формулировки мы и будем строить дискретную модель, но сначала покажем, как связана задача (4-6) с соответствующей краевой задачей для уравнений Эйлера. Вариация полного ускорения [c.146]

Уравнение (6.44) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемещения ui таковы, что для любых возможных перемещений первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. Можно показать (теорема Лагранжа—Дирихле), что в положении устойчивого равновесия полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация д П>0. [c.123]

Случай консервативных сил. Принцип Гамильтона приобретает особенно простую и наглядную форму, когда силы, действующие на материальную систему, имеют потенциал U. При этом предположении, как уже было отмечено в п. 7, виртуальная работа L не отличается от вариации (полного дифференциала) ьЦ, которую испытывает потенциал при переходе от естественного движения к синхронно-варьиро-ванному движению. Поэтому, принимая во внимание свойство переместительности операций варьирования и дифференцирования (S и djdt), а следовательно, также и операций варьирования и интегрирования по времени, мы будем тождественно иметь [c.402]

Если, например, величина А не содержит времени неявно, то заменяют ее вариацию полным дифференциалом, приравнивая соответствующие приращения функций, которые в ней содержатся, их дифференциалам. Отсюда мы получим интеграл, который для проблемы изопериметров имеет значение, аналогичное значению интеграла живых сил для динамики. [c.316]

При изменении длины трещины на величину б/ вариация полной энергии содержит два слагаемых, и бЛв2- Первое из них — это изменение (уменьшение) потенциальной энергии деформации, происходящее вследствие того, что в окрестности трещины при увеличении ее размера напряжения снижаются. При этом область концентрации напряжений перемещается в новые вершины трещины. В остальной же части тела напряжения практически не изменяются. Второе слагаемое бЛвх представляет собой изменение (увеличение) поверхностной энергии, происходящее вследствие изменения на величину 2Ы суммарной поверхности (точнее, длины, поскольку задача плоская) берегов трещины. Равенство нулю вариации полной энергии системы выразится так ) [c.576]

Эфф. вычисление связных средних в каждом порядке разложения (I) для 5(Р) (а также частичное суммирование к.-л. подпоследовательностей членов этого разложения) проводится, как правило, с использованием графич. техники, вполне аналогичной технике Фейнмана диаграмм, где вместо причинных ф-ций Грина, характерных для квантовой теории поля, применяются т.н. мацубаровские ф-ции Грина (см. /рина функция в статистич. физике). В рамках Т. т. в. имеет место теорема (Уорд и Лат-тинжер [2]) о стационарности (точнее, минимальности) функционала свободной энергии У- по отношению к вариациям полной ф-ции Грина или массового оператора частный случай этой теоремы, соответствующий обобщённому среднего поля приближению, эквивалентен т.н. статистическому вариационному принципу [c.92]

Условие бП = О позволяет выделить равновесное бостояние системы. Об устойчивости этого состояния можно судить с помощью теоремы Лагранжа — Дирихле. Если равновесное состояние устойчиво, то полная потенциальная энергия системы имеет минимум (6П=0, б П О), если неустойчиво — максимум (бП = О, 62П<0) безразличному равновесию соответствует постоянная величина энергии (бП = О, б П = 0). Здесь бП, б П — первая и вторая вариации полной энергии. Эта теорема впервые была сформулирована Лагранжем, доказательство ее для системы с конечным числом степеней свободы было дано Дирихле. [c.53]

Уравнения устойчивости и соответствующие краевые условия согласно принципу Треффца получаются как уравнения Остроградского—Эйлера и естественные граничные условия для вариационной задачи о стационарности функционала 6 5. Этот функционал представляет собой вторую специальную вариацию полной энергии деформированной системы. Если внешние силы являются потенциальными, то вариационную задачу можно сформулировать через энергию деформации U [c.210]

Для доказательства обозначим компоненты действительных и произвольно выбранных возможных напряжений через а, Оу,. ... .., Тху и а х, Оу,. .., т ху соответственно и положим = Ох -j-+ Ьоу, al = Оу + Ьоу,. .., Тху Тху + Ьтху. Рассуждая так же, как и в предыдущем параграфе, получим, что первая вариация полной дополнительной энергии для действительного решения равна нулю, и поскольку В — положительно определенная квадратичная функция, то вторая вариация полной дополнительной энергии неотрицательна. Это и доказывает справедливость принципа минимума дополнительной энергии ). [c.53]

Вариация полной потенциальной энергии системы может быть представлепа [c.54]

Уравпепие (4.8) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемегцения щ таковы, что для любых возможных перемегцепий первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. [c.74]

Замечание 3.4. Индекс второй вариации полной механической энергии на линейном многообразии 6 ] = О равен индексу второй ва-эиации эффективного потенциала. Поэтому степень неустойчивости Пуанкаре инвариантного множества N0(0°) равна ш(15 У (Мо(с°)) (г е М). [c.83]

Влияние диссипативных сил на устойчивость движения изучал также Г. К. Пожарицкий (1957, 1961). Рассматривая стационарное движение системы с циклическими координатами, находящейся под действием сил с полной диссипацией и постоянных сил, уравновешивающих диссипативные силы на стационарном режиме, переносом результатов Четаева он установил, что стационарное движение будет асимптотически устойчиво по отношению ко всем скоростям и нециклическим координатам, если вторая вариация полной энергии является определенно-положительной функцией, и неустойчиво, если она может принимать отрицательные значения (1957) Пожарицкий изучал также устойчивость систем с частичной диссипацией (1961). Им установлено условие асимптотической устойчивости, состоящее в определенной положительности второй вариации [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...