Бифуркационная поверхность

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Компоненты множества Jfi, отвечающие векторным полям с перечисленными в п.п. 1.2—1.4 вырождениями, будем называть бифуркационными поверхностями. Гладкость бифуркационных поверхностей можно доказать с помощью построения гладких функционалов, невырожденные уровни которых совпадают с этими поверхностями. Такие функционалы существуют для всех перечисленных бифуркационных поверхностей. [c.94]

Из примера видно, что знание функционалов, определяющих бифуркационные поверхности, позволяет конструировать транс-версальные к ним однопараметрические семейства векторных полей. [c.95]

Характеристики бифуркаций. Бифуркации удобно классифицировать по следующим характеристикам бифуркационных поверхностей [c.95]

Определение. Бифуркация называется не выводящей нз класса систем Морса—Смейла, если по обе стороны соответствующей бифуркационной поверхности в шаре в у М) достаточно малого радиуса с центром в точке на этой поверхности всюду плотны системы Морса—Смейла. [c.95]

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса—Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством — при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий. [c.95]

Типичные семейства векторных полей. Типичное семейство векторных полей — это дуга в функциональном пространстве, трансверсально пересекающая бифуркационную поверхность в типичной точке . Чтобы строго определить эти точки, необходимо выделить класс систем общего положения в множестве всех негрубых систем. [c.100]

Рис. 36. Возможное расположение бифуркационных поверхностей

Остается решить вопрос о достижимости или недостижимости бифуркационной поверхности и, в последнем случае, определить бифуркации, которыми недостижимость обусловлена. [c.123]

В случае 2) после рождения тора почти для любого однопараметрического семейства векторных полей при изменении параметра число вращения меняется, следовательно, происходит бесконечное множество бифуркаций. Однако есть семейства, для которых при изменении параметра число вращения на торе не меняется — бифуркационная поверхность может быть и достижимой. [c.123]

Рис. 44. Неподвижные точки и инвариантные кривые диффеоморфизма диска, принадлежащего недостижимой части бифуркационной поверхности

Из теоремы вытекает, что при выполнении ее условий бифуркационная поверхность Bi достижима в точке общего положения с обеих сторон. [c.128]

Теорема. Если Wl (WI,) содержит особую траекторию, не совпадающую с Z,i(Z,2), то бифуркационная поверхность Bi недостижима в точке о хотя бы с одной стороны. [c.139]

Векторные поля на бифуркационной поверхности. В п. 6.7 системам на Bi отвечает значение е=0. В условиях же [c.147]

В случае, если бифуркационная поверхность является граничной для векторных полей Морса—Смейла в точке vq, то векторные поля (do различаются модулем (см. п. 6.3), но геометрически одинаковы . В неблуждающее множество добавляется лишь гомоклиническая траектория простого касания. [c.147]

Являются ли гладкими бифуркационные поверхности, отвечающие системам с нетривиальными устойчивыми по Пуассону траекториями, или хотя бы соответствующие бифуркационные кривые в общих двупараметрических семействах — неизвестно. [c.151]

Заметим, что бифуркационные поверхности , отвечающие наличию бесконечного множества неблуждающих траекторий, недостижимы во всех точках, кроме V. [c.151]

По предположению реле должно переключаться точно через половину периода. Это означает, что интервалы времени между смежными моментами прохождения фазовой траектории через поверхность А равны я. Данное условие нарушится, когда изображающая точка, сойдя с поверхности А в момент времени Тд, вновь коснется плоскости переключений в момент т < Tq - - я. Из условия касания находится еще одна бифуркационная поверхность (о), Р, (х). Уравнение громоздко, и мы его не приводим. Заметим лишь, что при некотором значении параметров возможны лишние переключения реле, т. е. более сложные режимы. [c.238]

Через его козффициенты йг,. .., й , которые являются функциями параметра ц, уравнения бифуркационных поверхностей и Ыа могут быть записаны соответственно в виде [c.102]

Все сказанное до сих пор аналогично тому, что имело место для состояния равновесия бифуркационные поверхности Л +i и N4, неподвижной точки аналогичны бифуркационным поверхностям No и Na состояния равновесия, а бифуркационная поверхность N-1 является новой. Однако возможные бифуркации периодического движения этим не исчерпываются. Бифуркация периодического движения Г возможна еще за счет его исчезновения, происходящего по трем сценариям Г теряет замкнутость, уходя в бесконечность, на Г появляется состояние равновесия, Г стягивается в точку. Других возможностей нет, точнее, нет других возможностей прекращения существования периодического движения Г, не сопряженных с переходами через поверхности iV+i, N i и Л ф. Рассмотрим каждый из трех сценариев в отдельности. [c.110]

Коразмерность этих бифуркационных линий равна двум. Наглядное схематическое изображение бифуркационных поверхностей N+1, N-1, Мг /з и приведено на рис. 5.10. Отметим, что иа аналогичном рисунке для состояния равновесия есть только поверхности Мо и Мш (рис. 5.11). [c.112]

Таким образом, при переходе через бифуркационную поверхность Л ф в направлении образования двух новых корней характеристического уравнения (3.4), по модулю больших единицы, имеет место теорема [58, 260, 265, 629]. [c.113]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

Бифуркационные поверхности. Рассмотрим множество всех векторных полей на М, имеющих либо негиперболическую особую точку, либо негнперболический предельный цикл, либо траекторию, принадлежащую нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразия двух гиперболических особых точек или циклов, или точки и цикла. [c.94]

Диффеоморфизмы с нетривиальными базисными множествами. Для диффеоморфизмов утверждение пункта 6.4 было усилено в [178], [180] было показано, что в окрестности точки на бифуркационной поверхности существуют диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А Смейла, с нульмерными нетривиальными базисными множествами. Точнее, пусть [c.141]

Теорема ([66], [67]). В окрестности векторного поля, удовлетворяющего условиям теоремы пункта 6.8, но не являющегося граничным для векторных полей Морса—Смейла, на бифуркационной поверхности всюду плотны векторные поля, обладающие 1) предельным циклом типа седло-узел 2) предельным циклом типа неориентируемый узел (с мультипликатором, равным (—1)) 3) бесконечным множеством устойчивых предельных циклов. [c.147]

Анализ условий существования и устойчивости основного режима, условий переключения реле на поверхности А и условий отсутствия лишних переключений реле в течение полупериода (для этого в пространстве параметров выделялись бифуркационные поверхности N 1, jV i, /J и С ) приводит к следующим ограничениям, накладываемым на параметры системы [c.239]

Тип неподвижной точки по его определению может измениться только при переходе одним из корней Aj, Я2,. .Яп единичной окружности, поэтому бифуркационными могут быть только те значения параметра ц = ц, для которых имеется корень, лежащий на единичной окружности. В соответствии с зтим основными простейшими бифуркационными поверхностями являются поверхности N+i, N-i и N,f, отвечающие соответственно одному корню, равному +1 или —1, и двум комплексно сопряженным корням е ". [c.110]

При 1пг =3 и т =4 добавляемые резонансные члены сущест-венньь, при / г 5 их можно при рассмотрении основного случая азФО не учитывать. Первые два случая отвечают <р = 2л/3 и ф = л/2, поэтому на бифуркационной поверхности существуют линии особых бифуркаций, отвечающих ф = 2л/3 и ф = п/2. [c.112]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Ситуация 8. Петля особой седлоузловой неподвижной точки. Рассматриваемая ситуация относится к точечному отображению, которое может возникнуть па секущей поверхности. При этом в фазовом пространстве системы, пересекаемом секущей, имеются сливпшеся устойчивое и седловое периодические движения. При дальнейшем изменении параметров, отвечающем пересечению бифуркационной поверхности N+1, возникшее в реэультате слияния сложное седлоузловое периодическое движение исчез- [c.151]

Эти бифуркации отвечают переходам в пространстве параметров через бифуркационные поверхности N-1 и ТУ,, с значениями ф, отличными от О, я, 2я/3 и я/2. Значения ф = О и ф = я отвечают бифуркациоп-ным поверхностям Л +1 и УУ-,. [c.165]

К перечисленным бифуркациям периодического движепия Г" , вызванным переходами через бифуркационные поверхности N+1, N-1 и ТУф, следует добавить бифуркации, при которых замкнутая фазовая кривая, отвечающая периодическому движению стягивается к состоянию равновесия или на ней появляется состояние равповесия, и она превращается в петлю, идущую из этого состояния равновесия в него же. О первой бифуркации уже говорилось — это бифуркация 1 состояпия равновесия, вторая бифуркация рассматривалась в гл. 4 в ситуации петля седлоузла под номером семь. Укажем еще на возможный уход фазовой траектории, отвечающей периодическому движению, в бесконечность. [c.165]

Выше говорилось о бифуркациях обмотки двумерного интегрального тора, порождаемых изменением числа вращения Пуанкаре. В частности, эти бифуркации могли происходить на торе, который рождается от иериодического движепия при изменении параметров, приводящем к переходу через бифуркационную поверхность коразмерности единицы. В момент рождения тора число вращения фазовых траекторий на нем равно ф/2я и в дальнейшем может меняться. При этом рождение тора носит изолированный характер, т. е. оно происходит при некотором значении параметра [х = (х и при [х, близких к ц, по отличных от (X, отделений или слияний торов с периодическим движением нет. Однако в особых случаях и, в частности, для гамильтоновых систем, рождение интегральных торов от периодических движений может носить совсем другой, непрерывный характер [61]. Это связано с особенностями гамильтоновых систем и в первую очередь с тем, что при наличии у нее периодического движепия только с двумя ко мплексными корнями последние обязательно имеют вид и при изменении параметров возможны только следующие случаи [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...