Оператор Шредингера

Непрерывный спектр оператора Шредингера [c.93]

Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний решение и х,1) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время / рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия и х,0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера. [c.95]

Согласно (4.54), вариационное уравнение, определяющее а, в этом случае имеет вид vt = —(Du-f-D )v. Пусть теперь L — оператор Шредингера [c.108]

Чтобы установить соотношение между интегралом Я (в), который является собственным значением оператора Шредингера рде 5 — решение типа уединенной волны уравнения КдФ, и собственной скоростью с(х), поступим следующим образом. Дифференцируя дважды собственную функцию ф оператора Шредингера, заданную выражением (4.73), получим [c.110]

Пусть Lr —оператор Шредингера + Vew(x, I), запи- [c.111]

Оператор Шредингера для свободной частицы в трехмерном пространстве в координатном представлении имеет вид [c.132]

Оператор Шредингера для частицы в потенциальном поле в [c.132]

Рассмотрим систему двух частиц гп1 и Ш2 с потенциалом взаимодействия У(х1—х2). Оператор Шредингера для такой системы в координатном представлении имеет вид [c.133]

Следовательно, для системы со сферически-симметричным оператором Шредингера справедлив закон сохранения полного момента импульса Jj = + з . [c.143]

В настоящее время в математической теории рассеяния сложилось большое число направлений и методов (ядерная и гладкая теории, стационарный и нестационарный подходы и т.п.), на первый взгляд мало связанных между собой. Различные варианты теории находятся в достаточно сложных взаимоотношениях уже на абстрактном уровне. Их взаимоотношения еще более усложняются в применениях к теории дифференциальных операторов. В связи с этим возник замысел книги—дать систематическое и одновременно ориентированное на конкретные приложения изложение методов абстрактной теории рассеяния. Применения этих методов к теории дифференциальных операторов, в первую очередь к оператору Шредингера, предполагается осветить во втором томе. Основное внимание в книге уделяется изложению опорных разделов теории рассеяния. При отборе материала автор ориентировался на результаты, которые теперь считаются классическими. [c.6]

Для построения стационарного варианта теории рассеяния нужно, чтобы существовали (в подходящей топологии) пределы Ко(г) и К г) при г = X е и е 0. Такое утверждение называется часто принципом предельного поглощения. Для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами Но этот принцип МО кно проверить непосредственно. Однако аналогичное исследование для полного гамильтониана Я (например, для оператора Шредингера) оказывается содержательной задачей. Один из способов ее решения (см. 4.6) состоит в изучении уравнения для 7 (г) и использовании принципа предельного поглощения для Яо. Отметим, что описанная в предыдущем разделе стационарная схема построения теории рассеяния для оператора Шредингера основана на использовании гладкого подхода. [c.18]

Различие в результатах гладкой и ядерной теории отчетливо проявляется уже в случае оператора Шредингера. Пусть сейчас Яо = —А + o, Н = Яо -f в пространстве 7I = L2(M ). Предполагается, что функция qo x) ограничена, а [c.19]

Из полноты волновых операторов вытекает, что матрица рассеяния 5 (А) является унитарной функцией спектрального параметра А. Кроме того, в теории относительно компактных возмущений 5 (А) отличается от единичного оператора на компактный. Например, для оператора Шредингера 5 (А)— унитарный оператор в 2( - ) при всех А > О, а 5(А) — I— [c.20]

Различные спектральные свойства матрицы рассеяния подробно обсуждаются в гл. 7. Исходным здесь является стационарное представление для 5(Л). С его помощью получаются, например, оценки для нормы 5(Л) — / в симметрично-нормированных идеалах компактных операторов. Отметим, что для оператора Шредингера величина [c.21]

Оказывается, при небольших уточняющих предположениях теорема 10 сохраняет силу и для произвольного а > 0. Этот результа-т будет изложен в т. 2 в применении к оператору Шредингера. [c.191]

ДЛЯ МР 5(Л) = 5(Л Я, Яо) и получим эффективные оценки соответствующих (квази)норм 5(А) —/ р. Такие оценки представляют интерес прежде всего потому, что в конкретных задачах 5(Л) — 1 1—основная величина, наблюдаемая в экспериментах по рассеянию. Она называется сечением рассеяния. В действительности в определение сечения рассеяния вводится множитель, зависящий с г энергии Л и размерности задачи (для оператора Шредингера точное определение см. в п. 4 Введения). [c.322]

Подчеркнем, что независимо от величины У эффективное возмущение ограничено по норме единицей. Лля трехмерного оператора Шредингера с неотрицательным финитным потенциалом из теоремы 8 можно извлечь (см. [137]) оценку сечения рассеяния, равномерную по константе связи у. [c.326]

При одном условии (7.1) понятие знакоопределенности возмущения V = Н — Но смысла не имеет. Поэтому сама постановка задачи о знаке ФСС требует дополнительных предположений. Мы рассмотрим два варианта понимания знакоопределенности V. В п. 1 предполагается некоторая подчиненность V оператору Но- В п. 2 и 3 обсуждается полуограниченный случай, когда гамильтонианы сравниваются в терминах их квадратичных форм. Результаты о полуограниченном случае непосредственно применимы к многомерному (в любой размерности) оператору Шредингера. [c.383]

Условие существования ВО из 5 получено Лж.Куком [91], рассматривавшим ВО для оператора Шредингера. Предположения о потенциале уточнялись в [100, 105. [c.403]

Буслаев B. . Формулы следов и некоторые асимптотические оценки ядра резольвенты для оператора Шредингера в трехмерном пространстве // Проблемы матем. физики.—Л. Изд-во ЛГУ.—1966.—Вып. 1.—С.82-101. [c.417]

Квантовая статистическая сумма (13.11), представляющая собой шпур статистического оператора = Sp (Р= 1/0), как было отмечено, не зависит от квантового представления и поэтому может быть вычислена в произвольном представлении. Таким образом, нам не обязательно решать уравнение Шредингера и определять энергетический спектр системы. В рассматриваемом случае расчет производится в общем виде для произвольного гамильтониана вида [c.222]

С учетом вида оператора Гамильтона уравнение Шредингера примет вид [c.45]

Взяв в качестве оператора А гамильтониан Я, получим собственные функции уравнения Шредингера Й = Е Ч> , (20.10) [c.129]

Картина динамики Шредингера. Эволюция системы во времени описывается уравнением Шредингера (23.3), в котором операторы ШI dr, и Р от времени явно не зависят. Оператор Й для консервативной системы также не зависит явно от времени. Но в принципе уравнение (23.3) справедливо и при явной зависимости Й от времени. Вся эволюция системы описывается изменением вектора состояния Т ( ) > во времени, в то время как операторы динамических переменных от времени не зависят. Следовательно, вся квантовая динамика системы представлена изменением во времени вектора состояния, Такая картина квантовой динамики системы называется картиной Шредингера. Уравнением, описывающим квантовую динамику системы в этой картине, является уравнение Шредингера (23.3). [c.153]

Докажем, что если с — собственная скорость решения уравнения КдФ (не обязательно безотражательного), то является собственным значением оператора Шредингера d /dx + Ve - [c.111]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Временные асимптотики нестационарного уравнения Шредингера тесно связаны с поведением решений соответствующей стационарной задачи на больших расстояниях от рассеивателя (координатные асимптотики). Поясним это на примере оператора Шредингера Н = -А + д(х) в пространстве И — [c.15]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

Ядерный подход к теории возмущений непрерывного спектра возник в рамках абстрактной теории операторов. Первоначально он развивался независимо от гладких методов и от потребностей приложений. Теорема о существовании (и полноте) ВО при ядерном возмущении была получена в работах Т.Като и М.Розенблюма [106, 107, 136]. Разработка ядерного метода до уровня, на котором оказались возможны применения к теории дифференциальных операторов, осуществлялась в работах С. Куроды, М.Ш.Бирмана, самого Като и многих других. Прежде всего отметим работы М.Ш.Бирмана, где был найден принцип инвариантности [38, 39] и развита локальная техника [40]. Первым ядерную теорию к дифференциальным операторам—к оператору Шредингера—применял, по-видимому, С.Курода [118, 119]. Очень широкий класс дифференциальных операторов рассмотрен М.Ш.Бирманом в [41 на основе аппарата, разработанного им в [39, 40]. [c.402]

Включение 5(Л) — 1 Е 61, справедливое в теории ядерных возмущений, было обнаружено в работе М. Ш. Бирмана и М. Г. Крейна [43]. Там же получена оценка вида (6.6) для интеграла от 5(Л) — / 1. В применении к оператору Шредингера (и вне ядерных предположений) похожие оценки были установлены в работах В. Амрейна и О. Пирсона [85] и В. Энсса и Б. Саймона [95]. Эффективные поточечные оценки 9 для 5(Л) — 1 р получены в статьях [76, 77, 137], где можно найти также их реализацию для оператора Шредингера, [c.408]

В случае сил Бартлета оператор Р действует только на спиновую часть волновой функции. Для квантовомеханической системы, состоящей из двух частиц, спиновая волновая функция симметрична относительно спиновых переменных, если полный спин системы s равен единице, и асимметрична при s == 0. Уравнение Шредингера при наличии сил Бартлета запишется [c.161]

Оператор V позволяет записать уравнение Шредингера для псевдоволновой функции ф таким образом, что V играет роль потенциала. Этот оператор V и называют псевдопотенциалом. Из (П 1.18) очевиден его физический смысл из потенциала взаимодействия электрона с ядром и остальными электронами (t/(r)<0) вычитают потенциал его взаимодействия с электронами остова (еа<0). Итак, с помощью процедуры ортогонализации, нами введен псевдопотенциал более слабый, чем истинный потенциал. Таким образом, исходное уравнение Шредингера сведено к уравнению (П1.19), в котором роль потенциала U играет псевдопотенциал V, а роль истинной волновой функции г з играет псев-доволновая функция ф. Эта функция, несомненно, удовлетворяет теореме Блоха и может быть представлена в виде, аналогичном (4.25), (4.26). Более того, все выкладки, приводящие к (4.23) или (4.42), логично провести и исходя из (П 1.19). Поэтому далее вместо f/gMbi будем использовать Vg. [c.69]

Стационарные состояния. Пропага-тор 0 t) в картине Шредингера наиболее естественно выразить в энергетическом представлении. В качестве ортонормированного базиса в этом случае берутся собственные векторы I ) не зависящего от времени оператора Гамильтона Я, принадлежащие собственным значениям энергии Е. Векторы IЕ) удовлетворяют не зависящему от времени уравнению Шредингера [c.157]

Волновые функции. В случае свободного движения внешние силы отсутствуют. Ограьсичимся рассмотрением движения в одном из ерении. Оператор Гамильтона Я и уравнение Шредингера можно записать следующим образом [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...