Интегральное многообразие

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

И всеми остальными движениями, асимптотически приближающиеся к ним, как при возрастании, так и убывании времени. Этот класс систем был выделен Смейлом [50—52] и получил название систем Морса—Смейла [271. Важность и распространенность таких систем позволяют рассмотреть их несколько подробнее. Кроме сформулированных условий, предполагается, что все состояния равновесия и периодические движения общего типа и что их интегральные многообразия пересекаются только oбa им образом. Фазовое пространство будем предполагать компактным. [c.274]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Вернемся к доказательству утверждения, на котором основаны изложенные выше общие соображения. Прежде всего введем некоторые определения. Совокупность состояний равновесия и периодических движений и их интегральных многообразий назовем скелетом динамической системы. Замкнутый контур, составленный из фазовых траекторий, конец каждой из которых соединен с началом следующей, назовем циклом. На рис. 7,27 приведен пример цикла, составленного из трех фазовых траекторий. [c.279]

Теорема 7.1 [40J. Динамическая система с простейшими установившимися движениями, имеющая конечное число простых состояний равновесия и периодических движений и пересечения интегральных многообразий только общего типа, не имеет циклов. [c.279]

Рассмотрим произвольный цикл, составленный нз фазовых траекторий Yi, 72,. .., у,, проходимый при возрастании времени в порядке их написания. Тогда фазовая траектория 7 является пересечением интегральных многообразий S . и S . размерностей и р . [c.279]

В силу предполагаемой общности пересечений интегральных многообразий [c.279]

Выбранный выше специальный способ возмущений показывает возможность перехода от тороидального интегрального многообразия с каким-то синхронизмом на нем к движению, названному стохастическим синхронизмом. [c.356]

Для простого синхронизма соответствующие фрагменты разбиения плоскости на инвариантные кривые изображены на рис. 7.113 и 7.114. Рис. 7.113 соответствует случаю, когда слияние седел и узлов происходит у обычного синхронизма с гладким тороидальным интегральным многообразием, а на рис. 7.114 — с негладким. [c.366]

Как следует из всего сказанного, общий переход от обычного синхронизма к стохастическому может происходить двумя способами. Первый происходит в результате изменения хода сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек и происходит через нх касание (см. рис. 7.110). Второй в результате нарушения гладкости тороидального интегрального многообразия синхронизма и последующего слияния седел и узлов (рис. 7.111 и 7.114). [c.368]

Для наглядного представления интегральных многообразий 8, 8 ш I рассмотрим их сначала в случае, когда нет чисто мнимых и нулевых корней и нелинейные члены отсутствуют. В этом случае поверхности 5 и / имеют соответственно уравнения [c.97]

При появлении нелинейных членов интегральные многообразия >5+, 5" п / деформируются и имеют соответственно с поверхностями у = 0, и = 0 и и = у = 0 соприкосновения порядка не меньше N— 1. Фазовые траектории на многообразии подчиняются, согласно последнему из уравнений (1.24) и уравнением (1.25) интегрального многообразия /, дифференциальному уравнению вида [c.98]

При всех ц, достаточно близких к ц, состояние равновесия не меняет своего типа, т. е. не меняет размерностей своих интегральных многообразий 5 и и чисел и 5, и поэтому все время остается типа 0 . [c.102]

Пусть ц е В этом случае, в противоположность предыдущему, при изменении ц состояния равновесия сохраняется и единственно в своей малой окрестности при всех ц, близких к ц (нет нулевого корня и якобиан отличен от нуля). Это позволяет последнее из уравнений (1.28) рассматривать на интегральном многообразии и = V = 0. При этом оно превращается в уравнение [c.104]

Особый интерес представляет частный случай теоремы 5.5, когда р + 1 = п, д = О, периодическое движение Г" теряет устойчивость и при этом одновременно рождается устойчивое двумерное интегральное многообразие Г"- Это происходит при Веа(0)<0. При обратном неравенстве Неа(0)>0 периодическое движение Г теряет устойчивость из-за слияния с неустойчивым интегральным двумерным тором В отношении того, что из [c.114]

Тороидальные интегральные многообразия [c.119]

Вместе с тем, несмотря на все эти усложнения, основную роль по-прежнему играют бифуркации состояний равновесия, периодических движений и их интегральных многообразий 5 и >5 . В дополнение к четким законам бифуркаций состояний равповесия и периодических движений обнаружились новые законы серий бифуркаций и их связи с так называемыми вложенными структурами, с касаниями инвариантных многообразий и 8 , с особым характером зависимости числа вращения Пуанкаре от параметров. [c.163]

Рассмотрим фазовые портреты на секущей плоскости Е (2 = г—1), изображенные на рис. 7.19, 7.21 и фазовый портрет рис. 7.22, соответствующий граничному бифуркационному случаю. На всех этих портретах имеются две седловых неподвижных точки и соответствующие им интегральные многообразия 1 + и [c.189]

Из доказательства теоремы о существовании интегрального многообразия, на которую мы ссылались (см. опять [3] ), следует, что дуга аЯ непрерывно зависит от е. Рассмотрим открытую дугу [c.225]

При этом точка принадлежит либо одной из поверхностей о[, либо одному из интегральных многообразий Sg. Аналогично точка х принадлежит либо одной из говерх-ностей at, либо одному из интегральных многообразий Оказывается, что при достаточно малых окрестностях, выделяющих состояния равновесия и периодические движения, ни одна фазовая траектория не пересекает одну и ту же поверхность ш дважды. Поэтому в любой последовательности (7.37) общее число точек s -f / + 1 не более некоторого конечного N. Это означает, что всевозможным фазовым траекториям рассматриваемой динамической системы соответствует конечное число различных конечных последовательностей точечных отображений Т (а" си ), Т (сй ш ) и 7 (со -> СТ+). Все эти последовательности могут быть в принципе найдены следующим образом. Точки каждой из поверхностей oj преобразуются в какие-то поверхности af и со. В свою очередь каждая из поверхностей i),i преобразуется в какие-то области wj П Os и й Г wf [c.277]

Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной. Рассмотрим точку, где наше поле плоскостей невырождено (задает контактную структуру) . Слои нашего расслоения касаются плоскостей поля. Значит, расслоение ле-жандрово (состоит из интегральных многообразий максимальной размерности). Все лежандровы расслоения в контактном пространстве фиксированной размерности локально контактно-морфны (переводятся друг в друга вместе с контактной структурой диффеоморфизмом в окрестности каждой точки пространства расслоения). Следовательно, наше трехмерное пространство быстрых и медленных переменных с введенной контактной структурой расслоенным (над плоскостью медленных переменных) локальным диффеоморфизмом переводится в трехмерное пространство 1-струй функций одного переменного, расслоенного над пространством 0-струй, с его естественной контактной структурой. [c.179]

М и т р о н о л ь с к и й Ю. А., Л ы к о н ц О. Б, Лекций по методу интегральных многообразий,— Киев Ип-т мат, АН УССР, 1988, [c.249]

Дискретные модели распределенных динамических систем как па уровне уравнений (4.10), (4.11), так и на последующей стадии выделения временного генератора и пространственного формирователя могут быть частными и общими. Частная модель — это модель, допускающая рассмотрение не всех движений данной распределенной системы, а только некоторых из них, определенного класса движений. Вопрос о том, для каких классов движений допустимо построение дискретных частных моделей, весьма непрост. При попытке ответить на него необходимо иметь в виду естественное требование устойчивости (в том или ином смысле) выделенного класса движений по отношению ко всем другим близким к нему движениям. Это требование можно трактовать как "условие того, что выделяемый класс движений образует устойчивое интегральное многообразие. Существует довольно развитая теория интегральных многообразий, однако она не позволяет реально выяснить устойчивость выделяемого частного класса движений распределенпой системы, описываемой уравнениями в частных производных. [c.38]

Следующими полезными соображениями, которые могут быть использованы для придания удобного вида дифференциальным уравнениям (1.24) в окрестности состояния равновесия, являются теоремы о существовании, гладкости и гладкой зависимости от параметра интегральных многообразий дифференциальных уравнений [264, 265, 269, 285]. Эти теоремы свое начало ведут от работ Адамара и Перона. Согласно им дифференциальные уравнения (1.24) в окрестности равновесия допускают два интегральных многообразия 5+(v = / (w, и)) и 5"(и = Г ( , V)), пересечение которых образует интегральное многообразие [c.97]

Пусть нелинейные члены отсутствуют, а корни на мнимой оси есть. В этом -случае интегральные многообразия 5 , и / имеют соответственно уравнения у==0, и = 0 и и = у = 0. Но теперь многообразие / — не точка равновесия, а интегральное многооб- [c.97]

Тем самым полностью описано поведение фазовых траекторий на многообразиях 5 и /. Вне этих многообразий фазовые точки приближаются к / вдоль 5+ и затем удаляются от / вдоль >5". Это в случае, когда рФО и дФО. В случае р = 0 или д = О все фазовые траектории уходят от многообразия / либо, напротив, к нему приближаются. Особый интерес представляет случай д = О, когда многообразие 8 отсутствует, а многообразие совпадает со всем фазовым пространством (некоторой окрестностью точки равновесия О °) и фазовые траектории экспоненциально приближаются к интегральному многообразию /. Если из этой малой окрестности при возрастании времени фазовые траектории не выходят, то каждая из них экспоненциально приближается к некоторой фазовой траектории на интегральном многообразии /. Следовательно, асимптотическое поведение фазовых траекторий вблизи равновесия 0 определяется асимптотическим поведением фазовых траекторий только многообразия и в этом смысле фазовый портрет окрестности равновесия О определяется фазовым портретом окрестности 0 на многообразии /. При р + д = пт1р =6т1дФ0 состояние равновесия седлового типа. При д = 0 оно устойчивое, а при р = 0 неустойчивое. Поведение фазовых траекторий во всех этих случаях было описано выше, соответствующие фазовые портреты при одинаковых р ш д будем считать одинаковыми. Установлено, что такие фазовые портреты топологически изоморфны, т. е. могут быть преобразованы друг в друга с помощью взаимно однозначного и взаимно непрерывного преобразования. [c.98]

Качественное поведение отображения (3.1) в окрестности неподвижной точки О определяет поведение фазовых траекторий вблизи замкнутой кривой Г, отвечающей периодическому движению. При этом точке О отвечает замкнутая фазовая траектория Г, инвариантным многообразиям S" " и S размерностей р vi q неподвижной точки — интегральные многообразия S и S размерностей р + и q+i периодического движения Г. В соответствии с этим числа р -1- 1 и q + i определяют тип периодического движепия Г, что будет отмечаться записью вида По ин- [c.109]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Аналогичные рассуждения применимы и к трехмерному интегральному тору и приводят к его бифуркациям как целого типов Л +1 и ]У 1. Однако теперь уже с ростом размерности все большую роль могут приобрести изменения на самом торе. Эти изменения уже сами по себе могут вызывать хаотизацию и стохастизацию движений при сохранении тора как устойчивого многообразия. В случае двумерного тора они не могут хаотизи-ровать движения на торе, но могут привести к его разрушению. К таким бифуркациям следует отнести слияние и последующее исчезновение устойчивого и неустойчивого периодических движений на торе (Л +1). Эта бифуркация будет рассмотрена в следующей гл. 6. Следует иметь в виду, что она не всегда ведет к разрушению тора все может ограничиться изменением числа вращения Пуанкаре фазовых траекторий на торе. Разрушение тора могут быть следствием бифуркации отдельных периодических движений на нем типов N-1 и Это Относится прежде всего к случаям, когда испытывающее бифуркацию периодическое движение не покрывает тор достаточно густо. Бифуркация типа может привести к последующему образованию гомоклинической структуры через касание интегральных многообразий 5 и 8 седловых движений, ранее лежавших на торе. [c.123]

Из предыдущего ясно, что в окрестности неподвижных точек Ои Ог,. .., Ор и их инвариантных кривых в случае точечного отображения могут существовать сложные седловые инвариантные множества. В случае дифференциальных уравнепий аналогом такого множества могут быть только совпадающие попарно кривые 5+ и 8 . При разрушении этого слияния могут возникнуть либо внутри петель, либо вне их устойчивые периодические движения. Такой же фазовый портрет для точечного отображения на секущей поверхности отвечал бы появлению тороидальных интегральных многообразий у исходной системы, в которой взята эта секущая. Вносит ли что-нибудь новое в эту картину возможность возникновения сложного седлового инвариантного множества Оказывается, вносит. Чтобы придать конкретный смысд этому различию, будем рассматривать переменные на секущей плоскости как разность фаз с неким внешним периодическим воздействием и результирующую амплитуду колебаний, возникающих в результате зтого внешнего воздействия. При этом переход к дифференциальному уравнению можно трактовать, например, как результат использования метода усреднения. Если речь идет о фазовом портрете дифференциального уравнения, то возможные общие случаи — это либо синхронизм фаз и постоянство амплитуды (устойчивые состояпия равновесия), либо периодическое изменение разности фаз и величины амплитуды. [c.157]

Дерево бифуркаций (рис. 7.1) описывает только бифуркации состояний равновесия, периодических движений и двумерных торов. Помимо этих относительно хорошо изученных бифуркаций, к появлению хаотических и стохастических движений могут привести измепения относительно расположения интегральных многообразий 5+ и S . седловых равновесий и периодических [c.167]

Серии бифуркаций при касании инвариантных многообразий 5+ и 8 . Описываемые в этом разделе серии бифуркаций были обнаружены в работах [117—119, 137, 262]. Они возникают в нроцессо сближения и касания интегральных многообразий седловых равновесий или седловых периодических движений. Касания инвариантных многообразий и 8 приводят к возникновению гомоклинических структур или их изменениям как на уровне исходных инвариантных многообразий, так и новых, возникающих в гомоклинической структуре. Эти серии бифуркаций состоят в попарном рождении периодических движений разных типов, например и Г , и последующем трансформировании периодического движения Г по типу серии бифуркаций удвоения периода. В результате возникает как бы двойная серия бифуркаций рождения пар и последующих удвоений одного из движений в каждой паре. Рождение из ничего пар периодических движений, по существу, уже было описано в главе 6 в ситуациях 2, 3 и 6. Проводимое там рассмотрение следует лишь несколько нрод(1Л-жить с точки зрения происходящих в этих ситуациях бифуркаций. [c.178]

Глобальный первый интеграил, даже один, существует лишь в исключительных случаях и представляет собой интерес в механике. Он позволяет полностью расслоить фазовое пространство на интегральные многообразия меньшей размерности. [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...