Радиус сходимости

На основе полученных численных оценок можно установить радиусы сходимости ряда (6. 8. 77) по параметрам 8 и X [1011 [c.288]

Функция f (х) называется аналитической, если в окрестности каждой точки она может быть разложена в степенной ряд с отличным от нуля радиусом сходимости. [c.20]

Если ряд (с1), сходится при достаточно малых по абсолютным величинам значениях р, то ряд (Ь) также сходится на некотором интервале действительных значений С. Определить радиус сходимости ряда вида (Ь) можно на основании теории аналитических функций. Следует заметить, что коэффициенты ряда (Ь) — периодические функции переменных с периодом 2п. [c.222]

В теории дифференциальных уравнении доказывается сходимость рядов, расположенных по степеням параметров, определяемых начальными условиями. Сходимость эта, вообще говоря, не является равномерной относительно независимой переменной (в механике — времени), т. е. радиус сходимости степенного ряда убывает с ростом интервала, в котором рассматривается изменение независимого переменного. Если известно заранее, что искомое решение является периодическим и тем самым интервал изменения независимой переменной фиксируется величиной периода, то, согласно сказанному, всегда может быть указано такое достаточно малое значение параметра, чтобы ряд, представляющий решение, был равномерно сходящимся относительно независимой переменной. [c.505]

По определению этот ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости г. Функция ) К ) оператора Вольтерра определяется следующим образам [c.585]

Вольтерра доказал следующую теорему. Если степенной ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости, то операторный ряд, получающийся из него заменой переменной оператором с ограниченным ядром К, сходится всюду. Операторный ряд мы будем называть сходящимся, если ряд для его ядра сходится абсолютно. Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы, которое можно найти, например, в книге Работнова [И]. Заметим, что условие ограниченности ядра можно заменить условием ограниченности его итераций, начиная с некоторого номера. Поэтому теорема справедлива для слабо сингулярных ядер типа дробно-экспоненциальных. Будем называть ограниченными такие операторы, которые удовлетворяют условию [c.585]

Очевидно, что этот ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд для функции f(x). В частности, из формулы (17.4.6) следует, что из интегрального уравнения (17.1.5) при условии, что ueG, вытекает такая величина предельного значения переменной v [c.586]

Внутри сферы радиуса сходимости ряда (12.32) на плоскости = о функция ф обращается в нуль. Однако это не означает, что ф = о во всех точках плоскости = 0. Если возможно аналитическое продолжение функции ф, то при достаточно больших 5, ц на плоскости = 0 могут появиться части плоскости = о, на которых ф =/= 0 при подходе к этой части плоскости = о с разных сторон значения ф будут отличаться знаком. Область 3) может быть многолистной, на плоскости С = 0 могут появиться особые точки и т. п. [c.175]

В более общем случае начальная точка может не быть фиксирована, а лежать в некоторой области Rq. Тогда радиус сходимости f не должен превышать наименьшего значения р (а) для а в области Rq. [c.407]

Степенной ряд сходится абсолютно для всех значений х, удовлетворяющих неравенству ) л — 1 < р, где р —радиус сходимости степенного ряда, который определяется по формулам [c.151]

На границах промежутка сходимости (а — р, а 4- р) ряд может сходиться или расходиться. Всякий степенной ряд с радиусом сходимости р > О есть равномерно сходящийся на любом отрезке, принадлежащем промежутку его сходимости. [c.151]

Иногда внутренний радиус сходимости ряда Лорана бывает равен нулю, т. е. областью сходимости является круг с выброшенной центральной точкой. [c.198]

Если в ряде Лорана имеется лишь конечное число членов с отрицательными степенями г — а, то внутренний радиус сходимости ряда Лорана обязательно равен нулю. [c.198]

Радиус сходимости степенного ряда [c.195]

Эти уравнения решаются с помощью ряда, коэффициенты которого представляют собой функции от параметра теплоотдачи Sq. Методы численного интегрирования решения могут быть распространены за область радиуса сходимости ряда. Детально рассмотрены два частных случая случай малой интенсивности теплоотдачи, когда температура поверхности тела весьма незначительно отличается от температуры изолированного тела (So O), и случай интенсивного теплообмена, когда температура поверхности тела имеет тот же порядок величин, что и температура внешней границы пограничного слоя (So l). [c.101]

Если совокупность точек сходимости (область сходимости) не совпадает со всей осью X, то найдется число R (радиус сходимости), обладающее тем свойством, что ряд расходится в любой точке вне отрезка [c.36]

S (j ) и тот же самый радиус сходимости. [c.36]

Если один из рядов имеет сумму 5i(j ) и радиус сходимости а другой имеет сумму Si (л ) и радиус сходимости R2, то в результате получим ряд, имеющий сумму < (дг) = = Sj (х) S2 (j ), и радиус сходимости Л, равный наименьшему из чисел Ri и Ri, т. е. [c.37]

Построенные формально ряды (2.21) будут представлять решение задачи лишь в том случае, когда эти степенные ряды будут сходящимися с бесконечными для первых двух рядов радиусами сходимости и, кроме того, последний ряд для (И) будет представлять аналитическую функцию переменного 8. [c.110]

Заметим, что этот ряд сходится при Я, < 1/)/ 2, тогда как разложения (II.3), (II.4) — при А,< 1. Последний пример показывает, что радиус сходимости ряда (II.9) может быть меньше радиусов сходимости разложений (II.3) — (II.5), на основе которых строится решение интегрального уравнения (П.1). [c.45]

Однако применение доказанной там теоремы к оценке области сходимости этого метода для задач нелинейной упругости при конечных деформациях и их наложении затруднительно, поскольку для этого необходимо получить оценку нормы оператора, обратного к оператору линейной упругости. В работе [90] с помощью разложения в ряд точного решения задачи Ламе для сферы из несжимаемого материала даны оценки радиуса сходимости метода малого параметра для этой задачи для двух различных определяющих соотношений. [c.51]

Из условия сходимости ряда (1.44) получаем, что решение интегрального уравнения (1.43) изложенным методом может быть получено при Л > 2/уо, где уо — радиус сходимости ряда в (1.44). [c.43]

Эти представления справедливы при условии, что ряды сходятся. Так как оба ряда состоят лишь из положительных членов, минимальное значение обеих монотонно возрастающих функций от j равно нулю [У (0) = О, у (0) = 0]. Критической точкой является значение J = 1, которое оказывается равным радиусу сходимости двух рядов (5.7.5). Чтобы понять, почему это так, рассмотрим уравнение [c.199]

Для исследования менее тривиальных случаев рассмотрим решения с разделенными переменными, которые обсуждались в разд. 8 гл. IV. Если такое решение записано в форме (IV. 8.1), то ясно, что ряд Чепмена — Энскога будет сходиться или нет в зависимости от того, сходится или нет разложение со = со (к) (о)(0)= 0) в ряд по степеням к . Согласно результатам разд. 8 гл. IV, можно утверждать, что сходимость имеет место для твердых сфер, если к достаточно мал, и предполагать, что сходимость отсутствует для потенциалов с обрезанием по углу. Можно также предполагать, что для твердых сфер радиус сходимости по к не бесконечен. Сходимость для к < во, очевидно, означает сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного типа зависимости от координат все производные от параметров течения должны быть равномерно ограничены по порядку величины, а это значит, что они являются не только аналитическими, но также и целыми функциями. [c.279]

Обратно, для данной функции (20) с радиусом сходимости, равным единице или больше единицы, уравнения (19) и [c.94]

Итак, предположим, что начало координат лелсит на поверхности, определенной уравнением (j). Уравнение (j) не налагает каких-либо ограничений на полярный радиус р. Следовательно, поверхность, определенная уравнением (j), может быть замкнутой и незамкнутой. При условии (j) нельзя обратить ряд (d) радиус сходимости ряда (li) при этом равен нулю, а функция V не будет знакоопределенной и даже может не быть знакопостоянной. Знак V в точках, лежащих на поверхности (j) достаточно близко от начала координат, зависит от знака Уз- Следовательно, в малой окрестности начала координат функция V может иметь как положительное, так и отрицательное значение. [c.223]

Как следует из рис. 6-6, линейная скорость роста капли в интервале радиусов Л от 5 до 50 мкм аппроксимируется уравнением (6-4-11). Разброс опытных точек относительно кривых a i )s= onst/ можно объяснить повышенной погрешностью определения малых радиусов и возможным изменением реальных начальных и граничных условий по сравнению с расчетными. Следует также учитывать, что слияния с наиболее мелкими каплями не могли быть зарегистрированы вследствие ограниченности разрешающей способности опытной установки. При увеличении радиуса сходимость опытных и расчетных значений скорости роста капли улучшается. [c.158]

Метод П. а. можно также применить для суммирования асимптотич. разложений, имеющих нулевой радиус сходимости. В этом случае П. а. следует использовать в комбинации с др. методами, улучшающими сходимость исходного ряда, напр. с методом преобразовааия Боре-ля. Разработана много алгоритмов для машинного вычисления П. а., что существенно для разл. приложений. Метод П. а. применяют к задачам статистич. механики, физики твёрдого тела, физики элементарных частиц, теории критич. явлений, квантовой механики — ко всем задачам, где имеется разложение по малому параметру. [c.520]

Радиационные пароперегреватели 453, 455 Радикал углеводородный 77 Радиус сходимости ряда 36 Размерности механических и тепловых величин 54 Растворимость газов, жигко-стей и твердых тел 239, 240, 241 Растворы бинарные идеальные 243 [c.725]

Интересно, сравнить это поведение с поведением соответствующих фервш-функций (j), (j). Они также могут быть представлены в виде рядов (5.4.22), (5.4.23), но теперь члены ряда знакопеременны. Радиус сходимости рядов также равен = 1, но эта точка не является критической. Функция, представленная рядом, может быть аналитически продолжена в область J > 1. Последнее ясно видно из того, что в интегралах типа (5.7.3), (5.7.4) теперь стоит знаменатель + 1), который не обращается в нуль для положительных значений j. Следовательно, функции существуют для всех J в области О < j < схз. [c.200]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

ЧТ0 и следовало доказать. Это локальный результат, так как радиус сходимости рядов для №> = Я(° )( ), по-виднмому, не превосходит величины Яо, определенной формулой (7.74). Действительно, для г вещественных, а не чисто мнимых - -г(5 е) имеет ненрерывныр спектр, который достигает нуля при 2 = = Яо. По этой же причине следует ожидать, что для ноте.н- [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...