Инвариантность уравнений Лагранжа

Разумеется, как в том случае, когда время не преобразуется и L может быть вычислен по формуле (65), так и в том случае, когда время преобразуется и L вычисляется по формуле (64), новый лагранжиан (как функция новых переменных), вообще говоря, отличается от старого лагранжиана (как функции старых переменных). Именно поэтому мы говорим о ковариантности (а не об инвариантности) уравнений Лагранжа по отношению к любым преобразованиям вида (62). Но, разумеется, среди преобразований (62) содержатся и преобразования специального вида, такие, что для них L как функция новых переменных имеет совершенно такой же вид, что и L как функция старых переменных, т. е. [c.282]

Подробнее об инвариантности уравнений Лагранжа можно прочесть в книге И. М. Беленького, Введение в аналитическую механику, Высшая школа , 1964. [c.95]

Инвариантность уравнений Лагранжа относительно произвольных точечных преобразований обусловила выдающуюся роль этих уравнений в развитии математической мысли. Эти уравнения оказались первым примером того принципа инвариантности , который являлся одной из ведущих идей математики XIX столетия и который приобрел значение первостепенной важности в современной физике. [c.143]

Инвариантность уравнений Лагранжа 141, 142, 143 [c.401]

ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА [c.103]

Инвариантность уравнений Лагранжа. Тот факт, что уравнения Лагранжа для голономной системы имеют одну и ту же форму, каковы бы ни были описывающие систему лагранжевы координаты, является очевидным, поскольку эти уравнения выводятся из основного уравнения 6 2) или ип принципа Гамильтона ( 6.3). Тем не менее представляет интерес непосредственное доказательство инвариантности уравнений Лагранжа. [c.103]

Рассмотрим вначале случай, когда все силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, потенциальные. При решении поставленной задачи естественнее всего исходить из инвариантности уравнений Лагранжа относительно точечных преобразований обобщенных координат механической системы, вытекающей из вариационного принципа Гамильтона—Остроградского (см. 29,32). [c.253]

Эта инвариантность уравнений Лагранжа представляет большое преимущество, так как она дает возможность сразу написать уравнения [c.141]

Об инвариантности уравнений Лагранжа по отношению к преобразованиям координат уже говорилось в 21. Сейчас рассмотрим вопрос с иной точки зрения. Если действие является инвариантом некоторых преобразований, то получаемые из соответствующей функции Ь уравнения движения (24.5) будут инвариантны по отношению к этим преобразованиям. По этой причине составление лагранжианов широко применяется для получения инвариантных уравнений. [c.209]

Из структуры уравнений (4.4) видно, что если вместо функции L выбрать другую функцию Li — L+ /(/), где f t)—любая функция времени, то функция Li тоже будет удовлетворять уравнениям (4.4). То же самое будет, если вместо L взять Li = L, где с — любое постоянное число, кроме нуля. Существуют и другие преобразования, относительно которых уравнения Лагранжа инвариантны ). [c.95]

Возможны, однако, и другие обобщения классической механики, порождаемые более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона дает возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения механического движения. Подобная возможность имеется, однако, не только в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, позволяющие получить уравнения движения , будь то уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шредингера. Если подобные вариационные принципы положить в основу соответствующих областей физики, то все такие области будут обладать в известной степени структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на необходимость изменения физического содержания той или иной теории, то эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале этого века, указали на то, что как электромагнитное излучение, так и элементарные частицы обладают квантовой природой. Однако методы квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц, описываемой классическими уравнениями Лагранжа. Если электромагнитное поле описывать с помощью лагранжиана и вариационного принципа Гамильтона, то методами квантования элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой электродинамики (см. 11.5). [c.60]

Теоремы о сохранении и физический смысл гамильтониана. Мы видели, что циклическая координата отсутствует не только в L, но и в Я. Поэтому теоремы о сохранении обобщенных импульсов, полученные нами в 2.6, можно было бы вывести не из уравнений Лагранжа, а из уравнений Гамильтона. Это относится и к тем соображениям о симметрии системы, которые были высказаны нами в главе 2. Пусть, например, некоторая система будет симметрична относительно фиксированной оси. Тогда можно будет сказать, что функция Н инвариантна относительно вращения вокруг этой оси и поэтому не может содержать угла поворота. Следовательно, этот угол является циклической координатой, и поэтому соответствующий ему кинетический момент будет оставаться постоянным. [c.245]

Мы знаем, что уравнения Лагранжа инвариантны относительно любых точечных преобразований т. е. они сохраняют свою форму, если мы вместо qk вводим любые другие координаты Q/., связанные с q соотношениями [c.291]

Инвариантность уравнений движения Лагранжа является одним из наиболее важных их свойств. Она позволяет использовать координаты, соответствующие особенностям задачи. Поскольку не существует общего метода решения уравнений Лагранжа, то лучшее, что можно сделать, это выбрать такую систему координат, в которой эти уравнения были бы, хотя бы частично, интегрируемы. [c.143]

В примере 17.30 (17.31) при использовании первого варианта обобщенных координат находятся дифференциальные уравнения колебаний прямым (обратным) способом и дается сопоставление их с уравнениями, полученными на основе уравнений Лагранжа второго рода. Здесь же показывается инвариантность частотного уравнения по отношению к способу вывода уравнений. [c.150]

Это утверждение связано с общей теоремой, принадлежащей Э. Нетер любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором функция действия S (см. гл. С) данной гамильтоновой системы остается инвариантной, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы. Функция действия S = j L-di отражает, естественно, инвариантные свойства лагранжиана. См. [c.62]

Рассмотрим, например, инвариантность уравнений Эйлера — Лагранжа для невязкой сжимаемой жидкости относительно группы [c.181]

Известно, что уравнения Гамильтона инвариантны относительно более общих по сравнению с уравнениями Лагранжа преобразований и что из уравнений Гамильтона вытекает закон сохранения энергии также 1В более общем виде. [c.36]

Мы видели, что дифференциальные уравнения движения Ньютона инвариантны только относительно преобразования Галилея в отличие от них система дифференциальных уравнений Лагранжа инвариантна относительно самого общего преобразования обобщенных координат ), [c.407]

В дальнейшем мы встретимся с ковариантностью дифференциальных уравнений, составленных в форме уравнений Лагранжа, по отношению к любым заменам обобщенных координат и с ковариантностью уравнений, составленных в форме Гамильтона по отношению к каноническим преобразованиям. И в этих случаях речь идет об инвариантности правила составления дифференциальных уравнений, а не об инвариантности самих составленных уравнений . [c.13]

Справедливость утверждения очевидна, поскольку переменные д, также являются локальными координатами конфигурационного многообразия системы. Напомним ( 2), что ковариантность уравнений движения означает инвариантность правила их составления (уравнения Лагранжа), а не инвариантность самих, полученных в результате применения этого правила уравнений. [c.115]

Калибровочная инвариантность. Если к кинетической энергии системы добавить полную производную по времени от произвольной гладкой функции времени и обобщенных координат, то уравнения Лагранжа не изменяется [c.115]

Поскольку при записи уравнений Лагранжа в новых переменных (<, X, у, г) —) х, у, г ) происходит также и перепроектирование их на новые оси, то закон преобразования левых частей написанных уравнений навязывает тот же закон и для преобразования правых частей. В трехмерном случае при переходе от одной инерциальной системы к другой стоящие в правых частях силы изменяются. Для одномерного случая это не так сила Р одна и та же во всех системах координат и представляет собой обычную ньютонову силу. В одномерном случае уравнение механики инвариантно по отношению к лоренцевой группе, в трехмерном оно ковариантно. [c.277]

Теорема Нетер в наиболее простом случае сводится к утверждению о том, что любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором функция действия данной гамильтоновой системы остается инвариантной, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы [31]. [c.456]

Сопоставляя уравнения (28.11) и (28.19), можно сделать вывод форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат механической системы другими словами, уравнения Лагранжа инвариантны относительно точечных преобразований (28.17). [c.164]

В 28 показано, что уравнения Лагранжа (28.11) инвариантны относительно точечного преобразования (28.17), связывающего любые два набора обобщенных координат системы д, Q. Разумеется, что при любом преобразовании (28.17) сохраняют свою форму и канонические уравнения движения (33.4). Однако уравнения Гамильтона допускают более широкий класс преобразований. Это связано с тем, что в методе Гамильтона роль независимых переменных наряду с обобщенными координатами выполняют и обобщенные импульсы р . Поэтому преобразования, сохраняющие форму канонических уравнений движения (33.4), относятся к классу преобразований [c.198]

Кроме того, легко видеть, что для лагранжианов вида (5.3.3) уравнение Лагранжа инвариантно относительно замен координат. Пусть у — координата точки сс в новой системе координат, так что х = f y). Тогда в касательном пространстве V = х = О/у = В/ ш. Следовательно, поскольку = О, мы можем записать производные по у следующим образом [c.209]

Инвариантность действия по Гамильтону относительно групп преобразований конфигурационного пространства тесно связана с законами сохранения— интегралами уравнений Лагранжа. Пусть у х) — векторное поле на М. Ему можно сопоставить дифференциальное уравнение [c.56]

Второе слагаемое в этой формуле обращается в нуль, поскольку при а = О кривая ж ( ) будет решением уравнений Лагранжа. Предположим, что действие по Гамильтону инвариантно относительно действия группы g . Тогда левая часть (5.8) также равна нулю. Следовательно, согласно (5.8), значение функции [c.57]

Отметим, что теорема Нетер восходит к более ранним наблюдениям Лагранжа и Якоби о связи классических интегралов систем взаимодействующих частиц с инвариантностью уравнений динамики относительно группы преобразований Галилея. [c.58]

Из однородности, выражаемой соотношением (9), вытекает, что в то время как уравнения Лагранжа [Ы ч1 — О инвариантны (см. 95) по отношению к преобразованиям координат, лагранжевы уравнения инвариантны не только по [c.154]

Поскольку мы исходили из инвариантного действия и проводили вычисления ковариантно, уравнения Лагранжа являются ковариантными. Следовательно, они удовлетворяют специальному принципу теории относительности и поэтому записываются одинаково в любой инерциальной системе отсчета. [c.97]

Выясним теперь условия инвариантности уравнений движения физической системы относительно преобразований ее группы симметрии. В классической механике движение системы оггисывается уравнегшя-ми Лагранжа. Поэтому симметрия физической системы относительно определенной группы преобразований находит свое выражение в инвариантности уравнений Лагранжа (и дополнительных условий, если таковые имеются) относительно этих преобразований. Так как уравнения движения, записанные через функцию Лагранжа при любом выборе обобщенных координат ф имеют всегда один и тот же вид [c.12]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

Из того обстоятельства, что уравнения Лагранжа инвариантны относительно преобразований от одной совокуп-1ЮСТИ переменных <7 к другой q k [см. (2,309)], немедленно вытекает, что если определить p k согласно формуле [c.126]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Сравнение уравнений движения материальной точки (45.12) относительно произвольной НИСО с ее уравнениями движения в инерциальных системах отсчета показывает, что уравнения движения Ньютона в отличие от уравнений Лагранжа не ябляются инвариантными по отношению к преобразованию (45.1), связанному с переходом от инерциальной системы отсчета К. к произвольной НИСО /С. Из уравнений (45.12) видно также, что об неинерциаль-ности какой-либо системы отсчета можно судить по наличию в уравнениях движения дополнительных сил инерции, обращающихся в нуль только в инерциальных системах отсчета. [c.257]

В п. б мы показали, что уравнения Лагранжа инвариантны относительнс координатных преобразований в конфигурационном пространстве (продолженных естественным образом на фазовое пространство). Следовательно, уравнения Гамильтона также инвариантны относительно замен координат в конфигурационном пространстве (также продолженных на кокасательное расслоение). Точнее, если y = f x), то в касательном пространстве мы производим замену [c.212]

Опишем теперь вкратце предложенный Персивалем [328, 330, 331 ] метод нахождения инвариантного тора, когда он существует. Метод основан на некотором вариационном принципе, похожем на примененный в п. 2.66 в случае периодических траекторий. Здесь также удобно использовать уравнения Лагранжа [330, 331, 228]. [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...