Преобразование касательное

В уравнении Гамильтона переменными, которые определяют движение механической системы, являются обобщенные координаты q и обобщенные моменты р. Гамильтонова функция W(p, q), которая входит в гамильтоновы уравнения, обычно является функцией обеих этих переменных. Если мы преобразуем переменные q и р в новые переменные q и р посредством какого-либо произвольного преобразования, общая форма гамильтоновых уравнений изменится. Однако Якоби показал, что существует некоторое преобразование, отличающееся тем свойством, что оно оставляет форму этих уравнений неизменной. Так как уравнения Гамильтона часто называются каноническими уравнениями динамики, то указанным преобразованиям было дано наименование канонических преобразований. Канонические преобразования представляют собой специальный случай касательного преобразования. Касательное преобразование в трехмерном пространстве определяется так [c.915]

Свойство 3. Угол между кривыми линиями (угол между касательными к кривым в точке их пересечения) на поверхности торса равен углу между преобразованиями этих кривых линий на развертке. [c.286]

Для построения вспомогательных графиков можно, очевидно, вместо касательной и нормали в начальной точке кривой выбрать два любых взаимно перпендикулярных направления. За такие направления выберем прямые линии /—I и II—II, из которых прямая линия II—//совпадает по направлению с преобразованием начальной образующей направляющего конуса. [c.292]

Если точки А и В кривой неограниченно сближать с точкой С, то в пределе описанная около треугольника AB окружность представится кругом кривизны кривой в точке С, а направления сторон треугольника преобразуются в направление касательной к кривой в точке С. Такие же преобразования происходят в проекции. [c.322]

Если за ось родства взять большую ось эллипса, то эллипс можно рассматривать как преобразование окружности диаметром А В. Точка К окружности преобразуется в точку All эллипса, а касательная в точке К к окружности преобразуется в касательную в точке К1 эллипса. Эту касательную можно легко построить. [c.323]

На рис. 471 показаны развертки касательного и полярного торсов-геликоидов. Преобразованиями их ребер возврата является окружность радиусом R, а нреобразования- [c.349]

Какая-либо точка нормальной плоскости, например, точка С, лежащая при данном положении нормальной плоскости на одной главной нормали с точкой С, описывает пространственную кривую линию, радиусы кривизны К1 которой определяются расстояниями от точки l до преобразований соответствующих образующих полярного торса. Главные нормали, бинормали и касательные [c.350]

Преобразованием ребра возврата касательного торса строящейся кривой линии является (так как кривизна ребра возврата торса при его развертке не изменяется) окружность радиусом R, касательные которой являются преобразованиями образующих касательного торса. Расстояния от точки, описывающей кривую линию, до преобра- [c.351]

Таким образом, преобразованиями образующих полярного торса являются касательные прямые к окружности указанным радиусом R, которая служит преобразованием ребра возврата полярного торса. [c.352]

Движение производящей линии называют ротативным, если ее бесконечно малые последовательные перемещения являются вращательными вокруг осей, пересекающихся под бесконечно малыми углами. Пространственные кривые линии как ребра возврата торсов в преобразовании (при развертке их касательных торсов) являются плоскими кривыми. Если кривые равны, то касательный торс первой кривой линии можно обкатывать без скольжения по касательному торсу второй кривой. Очевидно, ребро [c.361]

Представим две пространственные кривые линии и их касательные торсы. Такие кривые, как ребра возврата торсов, в преобразовании (при развертке их касательных торсов) являются плоскими кривыми. [c.366]

Угол поворота касательной плоскости вокруг образующих цилиндра проецируется на плоскость Q без искажения. На эту же плоскость ходы точек производящей линии проецируются в виде эквидистантных кривых. Их общей эволютой является кривая линия — преобразованная проекция цилиндра на плоскости Q. [c.367]

Заметим, что если длина дуги кривой линии преобразования ребра возврата торса-аксоида S, то длина дуги ребра возврата касательной плоскости аксоида si = s — h. [c.370]

Углом между двумя кривыми называется угол между их касательными. Геометрическое преобразование, в котором сохраняются углы, называется конформным. [c.200]

Пусть плоскости симметрии совпадают или параллельны координатным плоскостям. Если в такой системе координат изменить направление какой-либо оси, например х, на обратное, то упругие постоянные не должны измениться. При таком преобразовании нормальные напряжения в , нормальные деформации сохраняют свои знаки (так как каждый индекс у ац, гц входит дважды). Сдвиги ei2, eia и касательные напряжения 012, Oia изменяют свои знаки. Сдвиг еаз и касательное напряжение 023 сохраняют знаки. Аналогичные следствия получим, если изменим направление осей Хч и Хг на обратные. [c.115]

Векторы е, (/ = 1, 2) определяют плоскость, касательную к поверхности в точке приложения этих векторов. Преобразуем систему векторов е - в иную систему координатных вектор.ов Сд (а = 1,2), применив формулы преобразования [c.152]

Последнее свойство позволяет отнести канонические преобразования к так называемым контактным (или касательным) преобразованиям. [c.361]

Отметим два примера линейных преобразований вектора в вектор, совокупности коэффициентов которых образуют тензоры. Это, как уже упоминалось, равенства Коши (12) гл. VII, в которых коэффициенты представляют собой нормальные и касательные напряжения. Эта совокупность образует тензор напряжений Р с компонентами pki [k, / = 1, 2, 3). [c.117]

Сравнение (70) и (72) приводит к совершенно другим выводам. Как показывается в дифференциальной геометрии, не существует такого преобразования координат, которое привело бы (72) к (70) на всей поверхности сферы. Внутренняя геометрия сферы отличается от внутренней геометрии плоскости в частности, кусок сферической поверхности нельзя разгладить , превратив его в кусок плоскости. Это можно сделать только локально, в малой окрестности некоторой заданной точки сферы, заменяя малую площадку на сфере малым участком касательной плоскости. [c.476]

ТО после подстановки значений Я, и и в (3) выводим, что переменные X, у, Z, I, Т1, С и х, у, ъ I, п, S l связанные между собой формулами (1) и (2), удовлетворяют условию канонического, или касательного, преобразования ), справедливому для произвольных dx, dy, dz, dx, dy, dz, [c.277]

Моменты ta и t мы вольны выбирать произвольно поэтому на движение голономной, консервативной механической системы можно смотреть как на цепочку последовательных касательных, или канонических, преобразований. [c.277]

Касательные, или канонические, преобразования обладают одним весьма полезным свойством, облегчающим интегрирование уравнений динамики. Вместо прежних переменных р.- введем новые переменные i, Pi, удовлетворяющие условию касательного преобразования [c.278]

Приближенное решение будем предполагать определенным через формулы касательного преобразования [c.280]

Переходим к новым переменным j, по формулам касательного преобразования (10) [c.281]

Теперь вспомним, что же мы делали ранее с выражением нормального напряжения а . Мы с его помощью построили некоторую искусственную поверхность второго порядка. Для этого было сделано следующее. По нормали к секущей площадке откладывался некоторый отрезок г, обратно пропорциональный корню квадратному из модуля а . Координаты конца этого отрезка описывают поверхность второго порядка, уравнение которой, как известно, угловым преобразованием координат приводится к такому виду, что коэффициенты при попарных произведениях координат обращаются в нуль. Отсюда мы сделали вывод, что в любой точке напряженного тела всегда можно найти такие три взаимно перпендикулярные площадки, в которых касательные напряжения равны нулю. Эти площадки мы [c.37]

Выражение эквивалентного напряжения (4) существенно отличается по форме от выражения (1). Разные критерии — разные формулы. В количественном отношении, однако, различие не столь уж и велико. В частности, для напряженных состояний, где два главных напряжения равны друг другу (см. рис. 53 и hi), эквивалентные напряжения, подсчитанные по теории максимальных касательных и октаэдрических касательных напряжений, оказываются одинаковыми. Несколько иначе обстоит дело в напряженном состоянии а, т), которое было рассмотрено нами ранее. Если мы подставим главные напряжения (2) в выражение (4), то после несложных преобразований вместо знакомого нам выражения (3) получим [c.86]

Равномерно распределенные касательные силы на полуплоскости. При действии на полуплоскость касательных сил т на участке длиной с1 после сравнительно простых преобразований найдем (рис. 74) [c.156]

Принимая Х (у) = 1,0 и суммируя последние соотношения, опять получим уравнение (3.18). Из этого преобразования следует, что сокращение на Х (у) не нарушает турбулентной части уравнения (3.12). Однако при этом член уравнения, учитывающий вязкое движение, претерпевает некоторое изменение. В основном уравнении касательное напряжение, зависящее от этого члена, является функцией координат, а здесь касательное напряжение от координат не зависит. Так как турбулентное движение имеет место при больших числах Рейнольдса, то значительное влияние вязкого движения проявляется около вязкого подслоя. Кроме этого по современным представлениям /135, 261/ в вязком подслое имеет место ламинарное движение Куэтта (из-за малой толщины слоя), где касательное напряжение не зависит от координат и равняется касательному напряжению на стенке трубы. Таким образом, упрощенное уравнение (3.18) турбулентного движения не противоречит физике такого движения. [c.66]

Из формул тензорного преобразования вытекает, что в любом случае напряженного состояния в точке можно указать три взаимно перпендикулярные площадки, по которым отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными, а соответствующие нормальные напряжения — главными нормальными напряжениями, которые обозначаются С1, 2, Сз. Обычно принимается, что 01>02 <5з- Напряжение является алгебраическим наибольшим, а Стд — наименьшим из всех возможных нормальных напряжений, действующих на площадках, проходящих через точку В. [c.110]

Из пропорциональности деформаций сдвига и касательных напряжений следует совпадение главных осей тензоров напряжений Та и деформаций Т . Поскольку при преобразовании осей координат как для тензора напряжений, так и для тензора деформаций матрица перехода одна и та же, то уравнения (3.30) оказываются инвариантными относительно выбора направления осей. [c.224]

Функция V определяет, следовательно, такое преобразование пространства, которое переводит одну произвольную поверхность в другую. Если две первоначальные поверхности касаются в какой-либо точке, то полученные из них преобразованием две поверхности также будут касаться в некоторой точке, сопоставленной первой точке. Поэтому Софус Ли и назвал это преобразование касательным ). [c.814]

Плоскости, касающиеся торса и вспомогательного конуса вдоль параллельных образующих, взаимно параллельны и, следовательно, пересекают плоскость по параллельным прямым линиям. Эти прямые линии являются касательными в соответствующих точках к линиям d, d и idi, ld i пересечения торса и его вспомогательного (направляющего) конуса плоскостью Qy. Кривые линии d, d и idi, ld i конформны между-собой. Такие кривые и в преобразовании являются также конформными. Эю следует из подобия треугольников, основаниями которых являются параллельные между собой бесконечно малые хорды кривых, а сторонами — парные образующие торса и его направляющего конуса. [c.292]

По графику зависимости h = и длинам дуг S ребра возврата торса в преобразовании можно построить и гpiaфик si = Рф) зависимости длины дуги si ребра возврата касательной плоскости аксоида от угла р поворота касательной плоскости. Такой график можно перестроить в график зависимости S1 =Да). Он дает возможность построить ребро возврата касательной плоскости-аксоида. [c.370]

Геометрически преобразования Лежандра объясняются возможностью двойственного олисания. поверхности в многомерном пространстве с одной стороны, такая (rf-f-1)-мерная поверхность может быть задана в виде зависимости (d-f-l)-ft координаты от остальных d координат, U=U tji,. .., да), т, е. набором точек в пространстве (U, qu. .., Qd), с другой стороны, в виде набора координат касательных плоскостей к поверхности lJ(qu qa) в каждой ее точке (сама поверхность является тогда огибающей семейства плоскостей), Если функция Ь ци. .., Qd) всюду строго"выпуклая (см. с. 185), то никакие две ее точки не могут иметь касательных плоскостей с одинаковыми координатами и оба способа представления являются однозначными и взаимообратимыми. [c.80]

Координаты точек нарезаемого профиля зуба колеса определим в системе координат Тк- В этой системе ось х совпадает с касательной к делительной окружности, а ось ук — с осью симметрии зуба. Согласно условиям станочного зацепления углу ф поворота этой системы соответствует перемещение рейки на величину лф. При Ф = о оси i/ и Ук пересекаются с осью вращения колеса и ось 1/к совпадает с осью симметрии впадины между зубьями, поэтому угол между осями у и ук равен у = ф -Ь л/г. Для этого необходимо определить координаты точек контакта зуба с образующей рейкой и, воспользовавшись формулами преобразования координат, записать их в системе координат колеса. Так как общие нормали к профилям, проведенные через точки контакта, должны проходить через полюс зацепления W, то параметр а, соответствующий точке К контакта на участке К1К2 профиля образующей рейки, определим из треугольника WAE [c.106]

В этих формулах, как и выше, векторы е и коэффициенты преобразований являются функциями координат < точки многомерного пространства. Векторы Сд находятся в плоскости , касательной к пространству, арифметизированиому координатами [c.153]

Как видно из предыдущего, каноническое преобразование переводит поверхность Р в поверхность Р причем устанавливается взаимное соответствие между точками этих поверхностей и между нормалями к ним. Этим канопи-ческое преобразование отличается от точечного. Из рассмотренных свойств канонических преобразований вытекает, что две поверхности Р и Р1, касательные к общему плоскостному элементу, переходят в результате канонического преобразования в поверхности Р п Р], которые также являются касательными к преобразованному плоскостному элементу. [c.361]

Преобразования, удовлетворяющие соотношению (7.23), носят названне канонических или касательных преобразований [c.231]

Соотношение это заставляет заключить, что преобразование между g-i. Pi и их начальными значениями р° составляет группу касательных, или канонических, преобразований роль характеристической функции играет при этом де11ствие. [c.277]

Чтобы исключить разность давлений, применим к отсеку жидкости, ограниченному сечениями 1—/ и 2—2 и боковой поверхностью трубы (контрольная поверхность на рис. 83 показана штриховой линией), уравнение количества движения в преобразованной форме (6-12). При этом учтем, что на цилиндрической части боковой поверхности os (пх) = О, а на площади кольца Sk = Sg — Si. os (пх) = —1 и давление на ней можно принять постоянным р = р — onst. Кроме того, будем пренебрегать касательными напряжениями на рассматриваемом участке. Тогда вместо (6-12) получим [c.185]

Подставим полученные выражения для главных напряжений в формулы (6.7) и (6.12). После элементарных преобразований пол щаем по критерию максимальных касательных напряжений [c.138]

Необходимое ограничение применения принципа Вольтерра, равно как и метода, основанного на преобразовании Лапласа, состоит в следующем. В каждой точке поверхности тела должно быть задано либо усилие, либо перемещение, либо какая-нибудь комбинация этих величин, но тип граничных условий не должен меняться. Так, например, принцип Вольтерра неприменим к задаче о движущемся штампе. Пусть штамп длиной L движется со скоростью V по границе полуплоскости. Если штамп гладкий, то касательное усилие Ti равно нулю всюду на поверхности, следовательно, Г, = 0. Но со вторым граничным условием дело обстоит сложнее. Перемещение U2 t) в фиксированной точке границы М известно только в течение конечного промежутка времени t [Q, 6 + L/y], если 0 —тот момент, когда конец штампа приходит в точку М. Для других значений времени U2(t) неизвестно, поэтому вычислить изображение по Лапласу Uiip) не представляется возможным. Такое же положение возникает и при прямом применении принципа Вольтерра. Действительно, при окончательной расшифровке полученных операторных соотношений неизбежным образом придется вычислять интеграл [c.599]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...