Больцмана система, определение

Итак, мы коротко обсудили, каким образом основные параметры состояния в классической термодинамике Т п 5 связаны с соответствующими параметрами 0 и И в статистической механике. Важная роль постоянной Больцмана к очевидна она обеспечивает связь между численными значениями механических (в классической или квантовой механике) и термодинамических величин. Здесь следует отметить еще одно уточнение величины температуры, вытекающее из уравнения (1.16). Температура является параметром состояния, обратно пропорциональным скорости изменения логарифма числа состояний как функции энергии для системы, находящейся в тепловом равновесии. Поскольку число состояний возрастает пропорционально очень высокой степени энергии, то определенная таким образом температура всегда будет положительной величиной. [c.22]

Чтобы объяснить различие между первичной и вторичной термометрией, прежде всего укажем, в чем смысл первичной термометрии. Под первичной термометрией принято понимать термометрию, осуществляемую с помощью термометра, уравнение состояния для которого можно выписать в явном виде без привлечения неизвестных постоянных, зависящих от температуры. Выше было показано, каким образом постоянная Больцмана обеспечивает необходимое соответствие между численными значениями механических и тепловых величин и каким образом ее численное значение определяется фиксированием температуры 273,16 К для тройной точки воды. Таким же способом было найдено численное значение газовой постоянной. Таким образом, имеются три взаимосвязанные постоянные Т (тройная точка воды) или То (температура таяния льда), к и R. В принципе теперь можно записать уравнение состояния для любой системы и использовать ее в качестве термометра, смело полагая, что полученная таким способом температура окажется в термодинамическом и численном согласии с температурой, полученной при использовании любой другой системы и другого уравнения состояния. Примерами таких систем, пригодных для термометрии, могут служить упомянутые выше при обсуждении определения к н Я газовые, акустические, шумовые термометры и термометры полного излучения. Наличие не зависящих от температуры постоянных, таких, как геометрический фактор в термометре полного излучения, можно учесть, выполнив одно измерение при То Последующее измерение Е(Т) [c.33]

Вероятностная трактовка энтропии. Вершиной творчества Больцмана является полученная им в 1877 г. вероятностная интерпретация энтропии. Генеральная идея решения — определение наиболее вероятного с термодинамической точки зрения состояния системы материальных точек. Больцман вводит в рассмотрение новую для физики величину — термодинамическую вероятность состояния системы. Для этого он располагает все частицы по группам, внутри которых они имеют одинаковую энергию. Перестановки частиц внутри группы не меняют термо- [c.85]

Необратимое возрастание энтропии в замкнутых системах по второму началу термодинамики обусловливает отличие будущих событий от прошедших. Это привело Больцмана к мысли об использовании второго начала для определения роста времени. Наше время, по Больцману, растет в том направлении, в котором возрастает энтропия в обитаемой нами части Вселенной в той части Вселенной, в которой протекают отклонения от равновесия (флуктуации), время течет в обратную сторону. [c.84]

Необратимое возрастание энтропии в замкнутых системах по второму началу термодинамики обусловливает отличие будущих событий от прошедших. Это привело Больцмана к мысли об использовании второго начала для определения роста времени. [c.73]

Формула Больцмана. Между значением энтропии 3 системы в данном равновесном состоянии и максимальной термодинамической вероятностью которая, как было показано выше, характеризует равновесное состояние системы, существует вполне определенное соотношение. Чтобы Установить это соотношение, рассмотрим равновесный изотермический процесс изменения состояния системы. В результате этого процесса произойдет, во-первых, увеличение объема системы от Е до Е + (IV, что приведет к изменению внутренней энергии системы на величину произведенной при этом работы йВ = рдУ, взятой с обратным знаком во-вторых, изменится распределение молекул по энергиям, что вызовет некоторое дополнительное изменение внутренней энергии системы. [c.89]

В этой книге неоднократно указывалось, что между числом основных единиц и числом универсальных постоянных существует однозначная связь чем больше основных единиц, тем больше постоянных в формулах физических законов и определений. Приравняв гравитационную постоянную единице с сохранением одновременно равенства единице инерционной постоянной, мы уменьшили число основных единиц в системах геометрических и механических единиц с трех до двух. Приравняв единице постоянную Больцмана, мы делаем производной единицу температуры. В системах злектрических и магнитных единиц можно произвести дальнейшее сокращение числа основных единиц, если приравнять единице электрическую и магнитную постоянные в системе, построенной по принципу Международной системы, или скорость света в системе, построенной по принципу СГС. Мы остаемся, таким образом, с двумя единицами, из которых одна — единица силы света — отражает физическую специфику восприятия света, а в качестве второй может быть по нашему выбору принята либо единица длины, либо единица времени. [c.335]

Немецкий физик Л. Больцман определил положения второго закона термодинамики следующим образом все естественные процессы являются переходом от менее вероятных к более вероятным состояниям. Формулировка эта вытекает из особенности теплоты как энергии неупорядоченного движения частиц тела—движения, являющегося наиболее вероятным. В связи с этим все виды энергии легко переходят в тепло. Обратный переход от более вероятного состояния к менее вероятному ограничен определенными условиями, уже отмеченными ранее. К работам Больцмана в области второго закона термодинамики вернемся при рассмотрении вопроса об энтропии изолированной системы ( 45). [c.91]

Сравнение одной и той же системы в двух состояниях с неравной энергией. Вот еще одно следствие из нечувствительности формулы Больцмана по отношению к точному определению вероятности. Предположим, что дело идет о сравнении энтропий одной и той же системы в двух состояниях, в которых она обладает различными энергиями Е и Е. Для этого следует сравнить объемы двух областей протяженности моментов, задаваемые двумя слоями dE и dE. Если положить d,E = dE то наше определение сводит вычисление разности энтропий S и S к сравнению объемов двух слоев. Часто можно заменить это сравнением площадей и iV поверхностей Е и Е, составляющих многообразия низшего порядка отношение площадей будет равно отношению вероятностей. Действительно, пусть е и г] — минимальное и максимальное значения толщины слоя dE, е и г/ — соответственные величины для слоя dE. Отношение объемов слоев будет всегда заключаться между [c.37]

Определение этой функции, как решения известного уравнения Больцмана в кинетической теории газов, в рассматриваемом сейчас случае системы [c.67]

Исходным определением энтропии в статистической физике служит формула Больцмана (6.10) она позволяет вычислить энтропию замкнутой системы, состояние которой задается совокупностью внешних параметров X и энергией [c.66]

Заменяя в (1.3.32) д микроканоническим распределением (1.3.34) и учитывая определение статистического веса (1.3.35), мы получаем знаменитую формулу Больцмана для равновесной энтропии изолированной системы О [c.55]

Ясно, что кинетическая теория, основанная на релятивистском (классическом или квантовом) уравнении Больцмана, непригодна для описания неравновесных процессов в произвольных квантово-полевых системах, поэтому естественно обратиться к более общим методам статистических ансамблей и попытаться вывести уравнения переноса для таких систем, исходя из релятивистского уравнения Лиувилля. На этом пути уже достигнут определенный прогресс. Метод неравновесного статистического оператора, изложенный в настоящей книге, применялся в некоторых задачах [13-15, 34, 88]). От- [c.282]

В этой книге неоднократно указывалось, что между числом основных единиц и числом универсальных постоянных существует однозначная связь чем больше основных единиц, тем больше постоянных в формулах физических законов и определений. Приравняв гравитационную постоянную единице с сохранением одновременно равенства единице инерционной постоянной, мы уменьшили число основных единиц в системах геометрических и механических единиц с трех до двух. Приравняв единице постоянную Больцмана, мы делаем производной единицу температуры. В системах электрических и магнитных единиц мы можем произвести дальнейшее сокращение числа основных единиц, если приравняем единице электрическую и магнитную постоянные в системе, построенной по принципу Международной си- [c.270]

Таким образом, когда мы имеем дело со статистической механикой, речь идет о вероятностях вместо достоверностей, т. е. в нашем описании нельзя говорить об определенных положении и скорости данной частицы, а только о вероятностях реализации ее различных положений и скоростей. В частности, это справедливо для кинетической теории газов, т. е. для статистической механики молекул газа, и для теории переноса частиц (нейтронов, электронов, фотонов и т. д.). При надлежащих предположениях информацию, требуемую для расчета средних в этих системах, можно свести к решению одного уравнения, так называемого уравнения Больцмана. В случае нейтронов оно часто называется транспортным, в то время как для фотонов обычно используется название уравнение переноса (перенос излучения). [c.11]

Наша первая цель состоит в том, чтобы вывести уравнение Больцмана для системы твердых сфер, не находящихся в статистическом равновесии. Это означает, что мы возвращаемся к началу разд. 6 предыдущей главы, где доказано, что среднее по времени Р от плотности вероятности в фазовом пространстве Р удовлетворяет уравнению Лиувилля. Временной интервал т не будет строго определенным, но должен быть соизмерим со временем, которое требуется молекуле для прохождения расстояния порядка ее собственного диаметра (или — для материальных точек, взаимодействующих на расстоянии, — радиуса [c.52]

При отсутствии термодинамического равновесия распределение частиц по энергетическим уровням может быть произвольным , поэтому, если в основу определения температуры положить распределение Больцмана, то состояние системы, когда на нижнем уровне находится больше частиц, чем на верхнем, будет описываться положительной, а в противном случае — отрицательной температурой. В соответствии с таким определением температуры, если, например, в двухуровневой системе все частицы находятся на нижнем энергетическом уровне, то ей соответствует температура перехода, равная = + О К если же все частицы находятся на верхнем энергетическом уровне (полная инверсия системы), то —О К состоянию системы, когда верхний и нижний уровни населены одинаково (насыщение системы), соответствует сх)К. Схематически это показано на рис. 3.1. [c.17]

Таким образом, при отсутствии термодинамического равновесия распределение частиц между двумя уровнями может быть произвольным . Поэтому, если в основу определения температуры положить распределение Больцмана, то состояние системы, когда на более низком энергетическом уровне находится больше частиц, чем на более высоком, будет описываться положительной температурой перехода, в противном случае — отрицательной температурой перехода, а при насыщении — равной бесконечности. [c.22]

С именем Больцмана связана знаменитая Я-теорема, определяющая направление макроскопической эволюции системы. Больцман ввел также определение энтропии через функцию распределения системы Р р, д) [c.31]

Отметим еще раз, что мы используем здесь энергетические единицы для измерения температуры, и поэтому в приведенной формуле отсутствует постоянная Больцмана. Г — это число возможных микроскопических состояний, которые отвечают одному и тому же макроскопическому состоянию. Предполагается, что при тепловом движении система пробегает все возможные состояния с примерно одинаковой вероятностью. Соответственно, вероятность отдельного состояния приблизительно равна и 1 /Г. Если вероятности отдельных состояний различаются, то более точное определение для энтропии выглядит следующим образом [c.31]

Как было показано в гл. 8, 1, канонический ансамбль может быть выведен из микроканонического ансамбля, однако его можно получить и непосредственно. Если не стремиться к большой строгости, то вывод оказывается очень простым. Рассмотрим ансамбль М систем такой, что средняя по всем системам энергия равна данному числу 1У. Найдем наиболее вероятное распределение систем по энергиям в предельном случае Ж->-оо. По определению ансамбля, системы не взаимодействуют друг с другом, могут рассматриваться раздельно и являются, следовательно, вполне различимыми. Таким образом, наша задача математически тождественна задаче о наиболее вероятном распределении в классическом идеальном газе. Как мы знаем, решением является распределение Максвелла — Больцмана значение энергии Е встречается среди систем с относительной вероятностью где р определяется средней энергией С/. Такой ансамбль является каноническим ансамблем. Очевидно, что эти рассуждения в равной мере справедливы и в классической, и в квантовой статистической механике. [c.229]

В общем случае для физической системы мера информации - энтропия определена только в том слу 1ае, когда определен адиабатический инвариант системы, то есть множитель К в определении энтропии-информации (1.1). Для разных систем он может иметь разную величину (не обязательно К = к - постоянной Больцмана). Адиабатический инвариант всегда имеет конечную величину. Предельный переход А -> О при строгой постановке задач невозможен. [c.16]

Очевидно, что уравнение Лиувилля (32) Lt-инвариантно. Действительно, если знак оператора Лиувилля L изменить на обратный (в классической механике это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный знак t, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее столкновения (правая часть в (29)), нарушает Lt-симметрию, так как оно четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать следующим образом как можно нарушить Li-симметрию, свойственную явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и термодинамическое описания систем в определенном смысле являются эквивалентными описаниями эволюции системы, связанными друг с другом пеупитарпым преобразованием. Разрешите мне вкратце показать, как мы можем приступить к решению этой задачи. Метод, которым я буду пользоваться, был разработан в тесном сотрудничестве с моими коллегами, работаюп1ими в Брюсселе и Остине [20-22]. [c.147]

В данной работе для исследования неравновесных эффектов и определения переносных свойств в многоатомных газах типа СОа использовался аппарат кинетической теории многотемпературной релаксации на основе обобщенного уравнения Больцмана с учетом поступательных, вращательных и колебательных степеней свободы, развитый ранее для двухатомных газов Ц]. Преимуществом такого подхода является то, что релаксационные уравнения для заселенностей колебательных уровней во всех приближениях получаются вместе с гидродинамической системой, структура которой зависит только от принятых предположений о расположении по порядку величины соответствующих времен или длин релаксации. Предполагалось, что поступательные и вращательные степени свободы релаксируют быстро, а колебательные — медленно, но с различными скоростями для разных мод колебаний, причем передача колебательной энергии в процессе соударений происходила по законам гармонического осциллятора. [c.105]

Это уравнение, иногда назьгааемое уравнением Пуассона — Больцмана, представляет собой центральный пункт теории Дебая — Хюккеля. С его помощью осуществляется программа самосогласованного определения эффективного потенциала и парной функции распределения. В нем же сосредоточена и слабость теории с фундаментальной точки зрения. Действительно, уравнение Пуассона справедливо в электростатике макроскопической непрерывной среды. Применение его к системе частиц фактически означает, что мы сглаживаем дискретное распределение частиц и заменяем их непрерывным распределением заряда. Такая процедура требует теоретического обоснования. Однако она позволяет успешно предсказывать результаты эксперимента, откуда следует, что подобные представления имеют глубокие основания. Мы можем качественно понять это, если представим себе, что внутри эффективного радиуса взаимодействия имеется очень большое число частиц. В таком случае (см. фиг. 6.5.4) на полевую частицу Q действует так много других частиц, что суммарный эффект может быть таким же, как и в случае непрерывного распределения заряда. Эти соображения будут уточнены ниже. [c.247]

Моментные уравнения, получаемые с помощью аппроксимирующих функций (2.7) или (4.4), являются в общем случае неоднородными квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Зависящая от интеграла столкновений неоднородная часть уравнений представляет собой алгебраическую функцию искомых моментов. Тип системы уравнений, а следовательно, и характер соответствующей этой системе граничной задачи, очевидно, определяются дифференциальными частями моментных уравнений, получающихся из дифференциального оператора уравнения Больцмана. Очевидно, что дифференциальная часть моментных уравнений одинакова при любых числах Кнудсена. По предположению аппроксимирующая функция при определенном выборе ВХ0ДЯИ1ИХ в нее моментов дает точное решение уравнения Больцмана при Кп = оо. т. е. когда правая часть равна нулю. Следовательно, входящие в нее моменты должны точно удовлетворять любой системе однородных (без интегральной части) моментных дифференциальных уравнений, полученных с помощью этой аппроксимирующей функции. При этом граничные значения моментов выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция точно удовлетворяла микроскопическим граничным условиям. Но так как при Кп = со однородная система моментных уравнений при этих граничных условиях имеет решение, то и для неоднородной системы (т. е. при произвольном числе Кнудсена) справедлива та же постановка граничной задачи, что обосновывает сделанные выше утверждения. [c.125]

В 2 и 4 говорилось о тех вероятностных предположениях, которые необходимо сделать, если основывать физическую статистику на представлениях классической механики. Эти предположения были сделаны Больцманом. В настоящем параграфе речь будет итти о необходимости дополнить схему Больцмана некоторым общим утверждением, относящимся ко всем системам, которые подчиняются физической статистике. Это утверждение заключается в следующем все системы, подчиняющиеся общим законам физической статистики, являются системами размешивающегося типа. Об этом условии еще много будет говориться (гл. V и VI). Пока приведем здесь не претендующее на полную точность определение введенного понятия и краткое доказательство сделанного сейчас утверждения. [c.25]

О 1900 г. Планк получил формулу для спектральной плотности i)ш(Г) равновесного излучения, хорошо согласующуюся с опытом при всех частотах. Оказалось, что для теоретического вывода этой формулы необходима гипотеза, коренным образом противоречащая представлениям классической физики. Планк предположил, что энергия осциллятора может принимать не любые, а только вполне определенные дискретные значения е , отделенные друг от друга конечными интервалами. Переход осциллятора из одного состояния в другое сопровождется поглощением или испусканием конечной порции (кванта) энергии излучения. В такой системе с дискретным энергетическим спектром среднюю энергию <е> в тепловом равновесии при температуре Т уже нельзя находить по формуле (9.15). Вероятность р того, что осциллятор находится в состоянии с энергией Еп, в соответствии с распределением Больцмана пропорциональна ехр [ —е /(/г7 )], но при вычислении средних значений интегралы заменяются суммами [c.429]

Динамическая природа турбулентности. Сделаем несколько общих замечаний о динамической природе турбулентности в нелинейной диссипативной газожидкой системе, которая может обмениваться с окружающими телами как энергией, так и веществом (в силу чего возможно образование различных пространственно-временных структур, последовательности которых и составляют процесс самоорганизации). При наличии турбулентности каждая индивидуальная частица такой среды движется случайно, так что ее координаты и направление движения изменяются со временем по закону марковского случайного процесса. Полное статистическое описание турбулентного течения сводится к определению вероятностной меры на его фазовом пространстве (г,/ ), состоящем из всевозможных индивидуальных реализаций характеризующих его случайных термогидродинамических полей. Поэтому турбулентность можно рассматривать на основе статистической механики многих частиц (см., напр., (Обухов, 1962)), или для ее описания использовать кинетическое уравнение, являющееся аналогом уравнения Больцмана в фазовом пространстве для некоторой условной функции плотности распределения вероятностей /турб Р О служащей основной статистической характеристикой пульсирующего движения (Клгшонтович, [c.20]

Теоретический анализ взаимосвязанных физико-химических, динамических и радиационных процессов и явлений в средней и верхней атмосфере представляет чрезвычайно сложную задачу. Наиболее полное и строгое исследование подобной среды может быть проведено в рамках кинетической теории многокомпонентных смесей многоатомных ионизованных газов, исходя из системы обобщенных интегро-дифференциальных уравнений Больцмана для функций распределения частиц каждого сорта смеси (с правыми частями, содержащими интегралы столкновений и интегралы реакций), дополненной уравнением переноса радиации и уравнениями Максвелла для электромагнитного поля. Такой подход развит, в частности, в монографии авторов Маров, Колесниченко, 1987), где для решения системы газокинетических уравнений реагирующей смеси применен обобщенный метод Чепмена-Энскога. Однако ряд упрощений, часто вводимых при решении сложных аэрономических задач (например, учет только парных столкновений взаимодействующих молекул, предположение об отсутствии внутренней структуры сталкивающихся частиц вещества при определении коэффициентов молекулярного обмена и т.п.), существенно уменьшает преимущества, заложенные изначально в кинетических уравнениях. [c.68]

Вокруг Я-теоремы разгорелась оживленная дискуссия. Указывалось, что монотонное изменение величины Я противоречит полной обратимости механики (Лошмидт) и общим ее положениям (теорема возврата Пуанкаре-Цермело). Более внимательное исследование предпосылок Я-теоремы привело Больцмана к ясной формулировке статистического характера второго начала термодинамики. Согласно Больцману, возрастан1 е является лишь наиболее вероятным изменением энтропии при определенных условиях, налагаемых на начальное состояние рассматриваемой молекулярной системы. Именно, рассматривается система, состояние которой в какой-то начальный момент времени являлось маловероятным и которая с течением времени с подавляющей вероятностью переходит к более вероятным состояниям, что и приводит к подавляюще вероятному возрастанию энтропии, хотя возможно и ее убывание (флуктуации). [c.13]

Проще всего подойти к понятию отрицательных температур, приняв равенство (Г.З) как определение температуры. Тогда мы можем сказать, что если внутренняя энергия может быть где-либо такой функцией энтропии, что частная производная (Г.З) оказывается отрицательной, то соответствующее состояние будет состоянием с отрицательной температурой. Чтобы система могла находиться в состоянии с отрицательной температурой, энергия системы должна быть ограничена сверху. Состояния как с наименьшей энергией так и с наибольшей энергией могут быть реализованы единственным механическим состоянием, и, следовательно, согласно принципу Больцмана (см. ГЛ. 2, 5), этим состояниям должна соответствовать нулевая энтропия. При промежуточных значениях внутренней энергии < макс энтропия 5 ( 7) ДОЛЖ а быть величиной положительной и конечной. Типичная кривая (У (8) для системы, которая может находиться в состоянии с отрицательной температурой, показана на фиг. 26. [c.210]

Перейдем Тейерь К непосредственному описанию и te Мы фотонов, находящихся в неравновесном состоянии. Согласно принципам изложения в настоящем курсе мы собираемся сформулировать и рассмотреть некоторые уравнения для определения неравновесной функции распределения фотонов. В этой части курса в качестве такого исходного уравнения мы будем использовать кинетическое уравнение Больцмана. Вопрос об определении условий, при которых для описания данной системы применимо уравнение Больцмана, очень сложен и на сегодня до конца не исследован. Качественно ясно, что строго уравнение Больцмана применимо лишь в случае, когда время пробега между столкновениями (время свободного пробега) много больше продолжительности столкновений. Отсюда следует, что описание с помощью уравнения Больцмана становится неверным в случае высокой плотности вещества или при наличии дальних взаимодействий (когда частицы как бы все время находятся в столкновении ). Однако количественная оценка этих качественных рассуждений чрезвычайно сложна. [c.60]

По ходу вывода макроскопических уравнений сохранения из кинетического уравнения Больцмана сделаем два замечания во-первых, при применении стандартной процедуры вывода макроскопических уравнений сохранения методом моментов (умножение исходного кинетического уравнения на определенную величину и последующее интегрирование) мы, естественно, должны получить в качестве первого уравнения уравнение сохранения массы. Для этого уравнение (1.183) следует умножить на массу фотона и проинтегрировать по всем ш и Й. Поскольку масса фотона равна нулю, в уравнения сохранения для излучения не входит уравнение сохранения массы. Второе заключение сводится к следующему. Метод моментов, вообще говоря, позволяет получить бесконечный ряд уравнений типа законов сохранения. Первые три уравнения, получаемые таким образом, т., е. умножением исходного кинетического уравнения соответственно на массу, импульс и энергию частиц и последующим интегрированием по всем частицам (в нашем случае фотонов по частоте и направлению), отождествляются с микроскопическими уравнениями сохранения массы, импульса и энергии. Система этих уравнений сохранения является неполной, т. е. число неизвестных макроскопических параметров в этих уравнениях превышает число уравнений. Конкретно в случае фотонного газа неизвестными являются величины плотности энергии излучения, потоки излучения и тензора давления излучения, т. е. десять скалярных величин (тензор давления излучения — симметричный тензор), тогда как набор уравнений сохранения ограничивается четырьмя уравнениями. Можно было бы пытаться получить недостающие соотношения тем же методом, рассматривая более высокие моменты. Например, умножая исходное уравнение на поток энергии частицы и интегрируя по частицам, мы получим уравнение типа уравнения сохранения для потока тепла и т. п. JMoжнo показать, что система получающихся таким образом уравнений никогда не будет замкнутой в новые уравнения войдут новые переменные и т. д. В этом смысле задача интегрирования бесконечной системы моментов полностью эквивалентна задаче интегрирования исходного кинетического уравнения. Именно этой задаче посвящена третья глава настоящей книги. [c.74]

Два обстоятельства позволяют разобраться в парадоксах возврата и обратимости статистический характер описания протекающих процессов и их огрубленное описание. Если рассматривать очень большое число частиц (например, 10 ), то время возврата (см. 1.1) чудовищно велико. Или, ипаче, вероятность возврата необычайно мала. Операция огрубления, или введения крупнозернистой функции распределения, является определенным приближением, которое содержит пренебрежение маловероятными событиями. К таким событиям относятся и приближенные возвраты системы. Поэтому кинетическое уравнение, получаемое для огрубленной функции распределения, возвратов не содержит. По той же причине микроскопическая обратимость уравнений движения частиц исчезает при переходе к их описанию с помощью огрубленной функции распределения, так как при этом происходит пренебрежение флуктуациями, которые могли бы выровнять вероятности переходов в обе стороны между какими-либо двумя макросостояниями. По существу, в этол1 и состояла интуитивная позиция Больцмана по отношению к критике со стороны Цермело и Лошмидта. В книге Каца [9] приводятся следующие ответы Больцмана. На возражение Цермело о том, что система должна вернуться в исходное состояние, Больцман сказал Долго же вам придется ждать . А на замечание [c.37]

Многочисленные приложения хаотической динамики в самых разных областях физики и техники, а также других наук обязаны тому существенно новому и принципиально важному обстоятельству, что статистические законы, а вместе с ними простое статистическое описание более не ограничены (нашим незнанием ) только очень сложныки системами с большим числом степеней свободы. Напротив, при определенных условиях, которые сводятся в основном к сильной (экспоненциальной) локальной неустойчивости движения в некоторой области фазового пространства, динамический хаос возможен, например, всего при двух степенях свободы консервативной гамильтоновой системы. Источник чрезвычайной сложности, характерной для индивидуальной реализации случайного процесса, оказался совсем не там, где его искали со времен Больцмана Дело вовсе не в сложном устройстве конкретной динамической системы (и ж тем более не в числе ее степеней свободы) и даже не во внешнем шуме (что есть только иное выражение сложности другой снстелш — окружающей среды), а в точно заданных начальных условиях движения. В силу непрерывности фазового пространства в классической механике эти начальные условия содержат бесконечное количество информации, которое при наличии сильной неустойчивости и определяет предельно сложную, непредсказуемую и невоспроизводимую картину хаотического движения. Такая система не забывает свои начальные условия, а наоборот, следует им во всех мельчайших деталях и именно это и приводит к хаосу, который с самого начала заложен в этих деталях. Конечно, с точки зрения физики все это — весьма существенная идеализа- [c.5]

В качестве второго примера рассмотрим термически разновесное электромагнитное излучение внутри закрытой полости со стенками определенной температуры. Эту систему можно считать идеальной жидкостью с некоторым своеобразным уравнением состояния. В системе покоя стенок поток электромагнитного излучения равен нулю в каждой точке, и в соответствии с законом Сте- -)ана — Больцмана плотность энергии Л определяется формулой [c.175]

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория . Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны. Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает эргодическую гипотезу . [c.9]

Адиабатически инвариантная система нмеет адиабатический инвариант - характерную константу, которая остается неизменной в адиабатическом обратилюм процессе. Для примера маятника Эренфеста адиабатический инвариант И есть отношение энергии колебаний маятника Е к его частоте к Для каждого конкретного макроскопического маятника такой инвариант будет иметь свою численную величину. Например, для тепловых процессов это есть постоянная Больцмана А в. Адиабатическим инвариантом является также постоянная Планка И. Множитель К в определении энтропии (1.1) есть адиабатический инвариант системы в том смысле, в котором ввел это понятие Эренфест [27]. [c.16]

Кажется однозначным и очевидным условие, что в определении энтропии (1.1) величина адиабатического инварианта К = ка - постоянной Больцмана. Это не так. Вид и свойства элементов системы, законы их взаи. юдействий задают возможность разных постоянных К. Должен существовать процесс В, приводящий к однозначному определению адиабатического инварианта К в функции условий задачи. [c.22]

В частном случае системы в виде газа и К = к - постоян1Юй Больцмана это выражение станет больцмановским определением энтропии 5 единицы объёма газа, если определить то распределение чисел л, по ячейкам, которое обеспечивает максимум энтропии 5 при заданных в задаче условиях. [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...