Хаос динамический

Итак, выводы об относит, степени упорядоченности определяются двумя результатами (3), (4). Во многих случаях вместо временных реализаций удобно использовать соответствующие временные спектры. По ним можно найти ф-ции распределения значений интенсивности или частоты. Для характеристики динамической неустойчивости движения, приводящей к хаосу динамическому, полезно использовать временные зависимости расстояний между траекториями D = Dtj,a) при разных значениях управляющего параметра. По ним строятся соответствующие ф-ции распределения/(Z), а), и далее используется описанный выше У. о. к. [c.229]

Понятие Э. используется также в классич. механике ка характеристика хаоса динамического в системах с неустойчивостью движения—экспоненциальной расходимостью близких в нач. момент траекторий. Количественной мерой неустойчивости таких систем служит энтропия Крылова— Колмогорова — Синая, или АГ-энтропия. Для широкого класса систем АГ-энтропия выражается через положительные показатели Ляпунова по формуле [c.618]

Слабый крупномасштабный или широкополосный хаос динамические процессы можно охарактеризовать с помощью орбит в фазовом пространстве малого числа измерений 3 < п < 1 (от 1 до 3 мод в механических системах) и обычно удается измерить фрактальную размерность, которая оказывается меньшей 7 хаотические орбиты охватывают обширные области фазового пространства спектры состоят из широкого набора частот, особенно меньших частоты возбуждения (если последнее присутствует) [c.46]

Сильный крупномасштабный хаос динамические свойства можно описать только в фазовом пространстве очень большого числа измерений присутствует большое число существенных степеней свободы трудно получить надежную оценку фрактальной размерности до сих пор не существует динамической теории явления [c.46]

Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров. Так, при потере устойчивости особой точкой может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом — хаос. Такого рода изменения называются бифуркациями. [c.12]

Сложное поведение, обладающее основными свойствами случайного процесса, обнаруживается у мн. нелинейных динамических систем (т. н. хаос дина.мический). Качественно происхождение X. в таких системах связывают С тем, что нелинейные системы можно рассматривать как совокупность неск. взаимодействующих подсистем, обладающих разл. динамическими свойствами, Хаотическая динамика возникает в результате разл, рода процессов синхронизации колебаний указанных подсистем. [c.397]

Последняя строка в сценарии формирования структуры в неравновесных термодинамических системах (состояние динамического хаоса) является, скорее, теоретическим прогнозом, чем реально наблюдаемым состоянием. Возможность его существования еще должна быть подтверждена экспериментально. [c.26]

Одним из типичных примеров самоорганизации диссипативных структур является переход ламинарного течения жидкости в турбулентное. До недавнего времени он отождествлялся с переходом к хаосу. В действительности же обнаружено, что в точке перехода путем самоорганизации диссипативных структур происходит упорядочение, при котором часть энергии системы переходит в макроскопически организованное вихревое движение, схематически представленное на рис. 3. Таким образом, гидродинамическая неустойчивость при переходе ламинарного течения в турбулентное связана с образованием динамических диссипативных структур в виде вихрей. [c.23]

В литературе неоднократно указывалось на существование аналогии формального характера между неравновесными фазовыми переходами порядок—порядок, порядок—хаос, хаос—хаос в динамических системах и фазовыми переходами II рода в равновесных системах [186, 187]. Так, и в том, и другом случаях обнаруживаются степенные зависимости параметров порядка от разности между соответствующими бифуркационными параметрами и их критическими значениями. При этом показатели степени (критические индексы) универсальны для целого класса систем, совершающих фазовый переход [186]. [c.106]

Так как при строгом динамическом рассмотрении гипотеза молекулярного хаоса не может быть справедливой, ограничимся простейшим предположением, а именно будем считать, что вектор распределения можно представить в виде суммы двух членов [c.163]

Динамический детерминированный хаос [c.20]

Принципы синергетики позволили выделить для динамических систем, находящихся вдали от термодинамического равновесия, фундаментальную меру информации, отвечающую неустойчивому равновесному состоянию системы в критической точке, и переходу от упорядочения (динамический хаос) к хаосу. Этот переход связывают со сверх-критическим явлением, называемым самоорганизующейся критичностью, характерным для природных систем и в первую очередь биологических. Оно характеризуется спонтанным возникновением порядка из хаоса за счет неограниченного роста флуктуаций. При поглощении энергии из среды система достигает некоторого критического состояния [c.46]

Согласно второму закону термодинамики в изолированной системе энтропия, являющаяся показателем состояния системы и критерием эволюции системы, всегда возрастает. Однако, в природе в большинстве своем системы являются открытыми. В открытых системах может устанавливаться стационарное состояние, при котором необходимо учитывать не только общий статистический баланс энергии, но и скорости трансформации энергии. Это в полной мере относится и к автоколебательным процессам, являющимся самоорганизующимися. Для неустойчивых систем характерна необратимость, повышающая энтропию. В равновесных условиях производство энтропии минимально. Нестабильность возникает из нестабильной динамики. С точки зрения И. Приго-жина [15, 16] нестабильность и хаос позволяют сформулировать законы природы без противоречий между динамическим описанием и термодинамическим, так как энтропия выражает фундаментальное свойство физического мира, существование симметрии неустойчивого времени. [c.107]

ПОРЯДОК и ХАОС -ДВЕ ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ТЕНДЕНЦИИ В ЭВОЛЮЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.41]

В предыдущей главе мы познакомились с простейшими типовыми моделями детерминированных динамических систем и описываемыми ими движениями состояниями равновесия, автоколебаниями, вынужденными колебаниями, различными типами волновых движений, диффузионными процессами и хаотическими движениями. Все это необычайное разнообразие движений может быть разделено на два основных типа, которые можно трактовать как порядок и хаос, регулярность и нерегулярность. [c.41]

Если временное поведение динамической системы давно находилось в центре внимания и представления о временном порядке и хаосе обрели четкую математическую формализацию в явлениях синхронизации и стохастичности, то различия между пространственным порядком и хаосом, по существу, ранее не анализировались. [c.41]

Адекватным математическим образом временного порядка и хаоса стали аттракторы, т. е. устойчивые состояния равновесия, устойчивые периодические движения или автоколебания и, наконец, странные аттракторы. Адекватным математическим образом пространственного порядка и хаоса в двойственном представлении распределенной динамической системы оказались седловые состояния равновесия, седловые периодические движения и более сложные седловые инвариантные множества. [c.41]

Далеко не все воспринимают теорию колебаний как науку переднего края. Ее огромные успехи и влияние на формирование принципа суперпозиции, спектрального подхода и линейно теории, открытие и изучение автоколебаний, а сейчас — стохастических колебаний нередко обезличиваются , утрачивают непосредственную связь с теорией колебаний, быстро становясь общим достоянием. Наша книга — прежде всего о последних достижениях теории колебаний, меняющих наши фундаментальные естественно-научные представления, об открытии и исследовании хаотических движений детерминированных автономных динамических систем, о возможности генерации такими системами стохастических колебаний, о новом, более широком взгляде на возможные движения динамической системы, о наличии двух противоположных тенденций в эволюционировании динамической системы — стремлении к порядку и стремлении к хаосу. [c.43]

Выполнение условия (1) строго доказано лишь длн век-рых динаыич, систем с малым числом степенен свободы. Предполагается, что Р. характерно для ми. систем и отражает общее свойство неустойчивости (раа-беганвя) фазовых траекторий по отношению к малым возмущениям нач. условий. Р. обусловливает непредсказуемость и необратимость поведения динамич. системы хаос динамический). Р. соответствует представлению о характере движений в сложной динаыич. системе, требующем перехода к статистич. описанию, но не даёт строгого обоснования применимости методов статистич, механики. [c.248]

Слабая Т. J)T. волновых полей, когда из-за сильной дисперсии волновые пакеты перекрываются на. малое время и взаимодействие между волнами оказывается достаточно слабым—справедливо приближение (гипотеза) случайных фаз волн. Пример слабой Т. (в таком понимании)—волнение на поверхности моря без образования барашков. 2) Движение среды (или поля), соответствующее хаосу динамическому. При этом размерность фазового пространства динамической системы, описывающей Т. (или число независимых возбуждённых мод колебаний), прибл. glO. В простейшем случае — это низкоразмерный временной хаос (примером является Лоренца систсма). В более общем случае — низкоразмерный пространственно-временной хаос (пример—динамика дефектов в жидких кристаллах). [c.178]

Динамические структуры могут возникать в различных средах. Из гидродинамики хорошо известно, что при определенной скорости движения жидкости ламинарное течение сменяется турбулентным. До недавнего времени этот переход отождествляли с переходом к хаосу. В действительности же обнаружено, что в точке перехода путем самоорганизации диссипативных сфуктур происходит упорядочение, при котором часть энергии системы переходит в макроскопически организованное вихревое движение. Переход от ламинарного течения к турбулентности является примером реализации гидродинамической [c.62]

Второй период можно назвать периодом динамического хаоса. В эту эпоху удивлялись тому, что простые системы могут вести себя сложно. Исходя из анализа простейших динамических систем с несколькими степенями свободы, были поняты принципиальные ограничения на получение динамического прогноза. Символы эпохи - система Лоренца, логистическое отобра- жения, канторово множество, теория универсальности [12]. [c.29]

ХА6С динамический (хаос детерминированный) — нерегулярное, апериодическое изменение состояния (движение) динамич. системы, обладающее осн. свойствами случайного процесса. [c.397]

На рис. 75 изображена бифуркационная диаграмма, характеризующая переход динамической системы от порядка к хаосу, который сопровождается бесконечной последовательностью бифуркаций удвоения периода в соответствии с законом Фейгенбаума [188]. В общем случае движение такой системы описывается одномерным точечным отображением с гладким максимумом, для которого функция последования записывается в виде [186] [c.106]

Следовательно, мы должны были привнести их в окончательный результат, используя соотношение (11.2.14). Напротив, исходя из уравнения Больцмана, мы использовали для описания процесса столкновения точную динамическую модель. Наш расчет [равноценен явному вычислению функций памяти ф (Q) и а (Т) в рамках предложенной модели. Наградой служит тот факт, что теперь равновесное распределение следует из модели, а не привно- сится в нее. Поэтому уравнения Больцмана и Ландау представляют значительный шаг вперед на пути к разработке микроскопической теории неравновесных процессов. Однако не следует забывать о том, что уравнение Больцмана было выведено отнюдь не безупречным способом и что важная гипотеза молекулярного хаоса (Stosszahlansatz) находится в очевидном противоречии с механи- кой. Невозможно утверждать, что мы обладаем строгой микроскопической теорией необратимости до тех пор, пока не выясним этот важный вопрос. Указанная проблема рассматривается в общей теории, которая ввиду ее более абстрактного характера будет изложена в заключительной части книги. [c.48]

В последние годы поведение решений гамильтоновых уравнений (1.1.1) было изучено для различных систем методами нелинейной механики. Важной особенностью этих решений является динамическая неустойчивость траекторий в фазовом пространстве. Это означает, что если q to),p to)) и [q to)- -Aq to),p to)- -Ap to)) — две близкие фазовые точки в момент времени то расстояние [Aq t), Ap t)) между этими точками может расти экпоненциально со временем. Таким образом, при сколь угодно малой вариации [Aq to), Ap to)) начальных условий расстояние между фазовыми траекториями превысит любую наперед заданную величину, если взять достаточно большой интервал времени t — to т. е. динамическое состояние системы становится непредсказуемым. Это свойство траекторий называется динамическим хаосом ). [c.13]

Напомним, что основы классической кинетической теории были заложены Максвеллом [123] и Больцманом [60] более 100 лет назад. Нри выводе своего знаменитого кинетического уравнения для разреженного газа Больцман выделил два механизма изменения одночастичной функции распределения со временем динамический процесс инерционного движения молекул и стохастический процесс парных столкновений. Больцман привлек гипотезу молекулярного хаоса (Stofizahlansatz), согласно которой перед каждым столкновением между молекулами, участвующими в столкновении, отсутствуют корреляции. Если плотность газа мала, то это интуитивное допущение Больцмана кажется вполне разумным, но оно явно не выполняется для более плотных систем, когда необходимо учитывать многочастичные столкновения. Более общий метод вывода кинетических уравнений был разработан Боголюбовым в его монографии [7], существенно повлиявшей на все последующее развитие кинетической теории. В методе Боголюбова кинетическое уравнение выводится из уравнения Лиу-вилля с граничным условием ослабления начальных корреляций между частицами. Это условие, налагаемое лишь один раз в отдаленном прошлом, заменяет больцманов-ский Stofizahlansatz. Главным достоинством метода Боголюбова является то, что он указал путь к выводу более общих кинетических уравнений, чем уравнение Больцмана или его простейшие модификации. [c.163]

Детерминированный хаос характеризуется наличием периодического процесса, траектория которого воспроизводится, т.е. после повторения начального состояния вновь воспроизводится одна и Та же траектория, независимо от ее сложности. Это позволяет по параметрам одного из периодов повторения траектории прогнозировать будущее. Однако при этом необходимо учитывать свойства равновесных и неравновес-ных систем. Неравновесные открытые системы допускают новые структурные состояния. Диссипативные системы независимо от вида устойчивости вызывают уменьшение фазового объема во времени до нуля. Так что диссипативная система может переходить в упорядоченное состояние в результате неустойчивости предыдущего неупорядоченного состояния. Первоначально устойчивая диссипативная структура в процессе своей эволюции достигает критического состояния, отвечающего порогу устойчивости структуры, начинает осцилировать, а возникающие в ней флуктуации приводят к самоорганизации новой, более устойчивой структуры на данном иерархическом уровне эволюции. При этом важным является тот факт, что как и в биологических системах, переходы устойчивость - неустойчивость - устойчивость контролируются кумулятивной обратной связью. Она отличается от регулируемой извне обратной связью тем, что позволяет самоорганизовывать такую внутреннюю структуру, которая повышает степень ее организации. Таким образом, кумулятивная обратная связь за счет накопленной внутренней энергии позволяет системе осуществлять не просто обратное взаимодействие, учитывающее полученную информацию о предыдущем критическом состоянии, но и обеспечивать сохранение или повышение организованности структуры. Такой характер эволюции динамической [c.21]

И. Пригожий показал, что в открытых системах может устанавливаться стационарное состояние, при котором необ>еодимо учитывать не только общий статический баланс энергии, но и скорости трансформации энергии (это в полной мере относится и к автоколебательным процессам, являющимся самоорганизующимися). Для неустойчивых систем характерна необратимость, повышающая энтропию. Нестабильность возникает из нестабильной динамики. С точки зрения И. Пригожина [4] понятия нестабильность и хаос позволяют сформулировать законы природы без противоречий между динамическим описанием и термодинамическим, так как энтропия выражает фундаментальное свойство физического мира, существование симметрии неустойчивого времени. [c.22]

Междисциплинарный подход И. Пригожина к анализу слоисных систем, получивший материализацию в различных науках, продемонстрировавший нам, что рождается наука, не ограничиваемая более идеализированными и упрошенными ситуациями, а отражающая всю сложность реального мира, наука, рассматривающая нас и нашу деятельность как неотъемлемую часть фундаментального тренда на всех уровнях природы [5]. Основой междисциплинарности в исследованиях явилась революционная идея - искать каждым исследователем проявления законов природы в результатах своих разработок. Введение И. При-гожиным необратимости времени позволило не только вскрыть множество новых явлений, таких как образование вихрей, химических колебательных реакций, ячеек Бенара, динамического хаоса и др., но и показать конструктивнук роль стрелы времени [5]. Это явилось основой для развития в физике двух новых направлений ФИЗИКИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ и ФИЗИКИ НЕУСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ. [c.65]

Появление резонанса в динамических макросистемах означает, что в фазовом пространстве возникают точки, в которых невозможно вычислить траектории, так как они отвечают одной из форм детерминированного хаоса, связанного с неустойчивостью системы. В случае квантовых систем это условие отвечает коллапсу волновой функции, а классических " разбеганию траекторий. Таким образом, И. Пригожин показал, что хотя основной объект квантовой механики волновая функция удовлетворяет обратимости во времени, без учета точек бифуркаций, отвечающих переходам порядок-хаос-порядок как в макро-, так и в системах наномира нельзя описать физические процессы в неравновесных системах на пути к равновесию. [c.67]

В настоящее время анализ эволюции систем базируется на следующих парадигмах синергетики динамическая самоорганизация диссипативных структур динамический хаос (периодически повто1 яющие-ся события) самоорганизованная критичность системы с нелинейной обратной связью самоуправляемый синтез наноструктур. [c.108]

С.П.Курдюмов и его школа [17—19 и др.], развившие теорию диффузионного (динамического) хаоса, отмечали, что современная биология Д1ает достаточно полную картину того, как происходит передача генетической информации от одного поколения клеток к другому и как информация перекодируется в каждой клетке, обеспечивая синтез ферментов. Однако, как отмечено С.П.Курдюмовым и др., использование только этих представлений не дает ответа на вопросы 1) как регулируется количество того или иного фермента, синтезированного в данной клетке 2) почему тот или иной фермент появляется на определенной стадии развития организма 3) почему в клетках каждого типа образуются свои специфические комплексы белков, хотя все клетки многоклеточного организма содержат одну и ту же генетическую информацию [c.108]

Как уже говорилось, в настоящей главе речь пойдет об общих характеристиках движений дискретных и распределенных динамических систем, которые можно классифицировать как порядок и хаос. Порядок во временном изменении — это уравновешенность взаимодействия, приводящая к устойчивому равновесию, синхронность движений отдельных частей системы, влекущая за собой периодическое движение всей системы в целом. Хаос во временном изменении — это отсутствие регулярности, нерегулярность, непредсказуемость и случайность. Пространственные проявления порядка — это пространственная регуляр- ность и сог.г асованность. Пространственный хаос — это отсутствие пространственной регулярности и рассогласованность. [c.42]

Изложенное выше позволяет получить похожие и достаточно естественные трактовки явлений временного и пространственного порядка, а также противоположных им тенденций временного и пространственного хаоса. По-видимому, помимо этих двух типов эволюции динамических систем — синхронизации и стохастичности — можпо и целесообразно говорить и еще об одном типе эволюции — самоорганизации. Явления самоорганизации едва ли следует сводить к временному и пространственному порядку. По видимому, следует, напротив, подчеркнуть тот новый смысл, который она привносит,— возможность процессов, приводяпрх к возникновению структур, устойчивых по отношению к более или менее значительным и разнообразным изменениям внешних условий и, наконец, структур, способных к росту и распростра-пепию. Сводить самоорганизацию к той или иной временной и прострапственной упорядоченности, возможно, не следует еще и потому, что в их основе лежат качественно разные механизмы. Синхронизация — это проявление устойчивости во взаимодезг ствующих подсистемах, а самоорганизация — это проявление управляющих и организующих функций обратных связей, которые целесообразно рассматривать с информационной точки зрения. [c.56]

Что можно добавить ко всему этому Прежде всего то, что все приведенные выше высказывания исходят только от временной трактовки движений динамической системы, от ее фазового портрета, а жидкость — это распределенная в пространстве среда, и описание ее движения, помимо временной составляющей, вкл о-чает еще и пространственную. Турбулентность — не только временной хаос, -это еще и хаос пространственный. Конечно, временной и пространственный хаосы взаимосвязаны, но не сводятся один к другому вообще говоря, может быть временной хаос и пространственный порядок, может быть временной порядок и пространственный хаос. Турбулентность — это, вообще говоря, и временной и простралственный хаос. На эту двоякую природу хаоса при турбулентности обратил внимание в своем обзоре в УФН А. С. Монин [257]. [c.92]

В лекциях Р. Фейнмана [353] есть очень образное описание возникновения турбулентности с ростом числа Рейнольдса. Нарисованная там картина и ее возросшая сложность по сравнению с более ранними описаниями как нельзя лучше соответствует параллельно и независимо идущему процессу усложнения представлений теории бифуркаций. Последующее изложение имеет целью прояснить все возможные метаморфозы фазового портрета, которые могли бы отвечать переходу ламинарного течения в турбулентное и вообще устойчивого равновесного состояпия в хаос. Ото изложение не носит исчерпывающего характера, оно лишь в общих чертах описывает картину. После описания дерева возможных бифуркаций более подробно рассматриваются серии бифуркаций. Затем описываются бифуркации в двух конкретных и достаточно детально изученных динамических системах — системе Лоренца и нелинейном параметрически возбуждаемом осцилляторе и ротаторе. Эти примеры позволяют достаточно подробно проследить пути возникновения порядка и хаоса. [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...