Микроканонический ансамбль

Микроканонический ансамбль 196 Микроканоническое распределение квантовое 216 [c.309]

Совместная вероятность найти систему первоначально в области 7,° , / , , а по истечении времени t — в области д, , р, , для микроканонического ансамбля (7.1) равна [c.183]

Таким образом, безусловная f(y, у, t) (7.146) и условная if(t/ i/, t) (7.151) — плотности вероятности распределения флуктуаций для микроканонического ансамбля определяются соотношением [c.183]

Следовательно, выбирая плотность D как функцию одного из интегралов движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как скобка Пуассона [D, Н] будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для консервативных систем плотность D может быть любой функцией энергии, так как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем. В случае, например, известного микроканонического ансамбля плотность D постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для других систем. [c.296]

Канонический и микроканонический ансамбли 49 [c.49]

Канонический и микроканонический ансамбли 51 [c.51]

Микроканонический ансамбль представляет собой фундаментальное понятие, поскольку он дает удобный способ построения равновесного ансамбля путем непосредственного применения принципа одинаковых априорных вероятностей. Однако в большинстве нетривиальных проблем использование такого ансамбля приводит к недостаточно гибкому и математически сложному описанию. [c.133]

С другой стороны, исходя из микроканонического ансамбля, можно разработать методы исследования, которые находят более непосредственные применения и которые могут быть четко связаны с макроскопической физикой. Поэтому мы перейдем теперь к рассмотрению таких методов, не развивая далее теорию микро-канонических ансамблей. [c.133]

С практической точки зрения весьма важно то обстоятельство, что мы можем записать каноническую матрицу плотности в произвольном представлении (для микроканонического ансамбля это невозможно в силу его сингулярной природы). В самом деле, чтобы выч слить рт В виде (4.3.17) либо Z в виде (4.3.16), необходимо знать собственные значения гамильтониана, т. е. решить уравнение Шредингера для S, что практически неосуществимо для нетривиальных систем. Напротив, если исходить из выражений (4.3.18) и (4.3.19), то можно выбрать в качестве базиса любой подходящий набор ортонормированных функций, вычислить матричные элементы гамильтониана Й для зтого базиса (что всегда осуществимо), а затем воспользоваться каким-либо удобным методом приближенных вычислений. Одно это уже дает представление [c.140]

Причину такого сходства результатов можно качественно объяснить следующим образом. Микроканонический ансамбль описывает систему, энергия которой Н фиксирована (в пределах, которые в классической физике могут быть сколь угодно узкими). Б системе, описываемой каноническим ансамблем, энергия может [c.154]

Это равенство говорит о том, что безразлично, какой параметр брать в более поздний момент. (Усреднение в (3) и в (4) производится по микроканоническому ансамблю. Однако в соответствии с эргодической гипотезой его можно понимать и как усреднение по времени, если следить за изменениями состояния одной системы.) Поскольку при малых т [c.242]

В микроканоническом ансамбле систем энергия s постоянна, тогда как потенциальная энергия и кинетическая энергия варьируют для различных систем, будучи, конечно, подчинены условию [c.120]

Предметом нашего первого исследования является разделение энергии на эти две части и средние значения функций и, Мы будем пользоваться обозначением Для среднего значения по микроканоническому ансамблю с энергией е. Сред- [c.120]

Соответствующие уравнения для микроканонического ансамбля дают при и > 2 [c.124]

Поэтому представляется желательным найти определения и предложения, относящиеся к этим микроканоническим ансамблям и соответствующие опытным данным термодинамики. Дифференциальное уравнение (418) [c.169]

Точно так же для микроканонических ансамблей [c.172]

Последовательность фаз, которую пробегает полная система с течением времени, может и не определяться полностью энергией, а зависеть, кроме того, от начальной фазы. В подобных случаях ансамбль, полученный микроканоническим распределением полной системы, включающей также все возможные временные ансамбли, комбинированные в пропорции, представляющейся наименее произвольной, лучше представляет влияние ванны, нежели любой отдельный временной ансамбль. В самом деле, отдельный временной ансамбль, если он не является, кроме того, микроканоническим ансамблем, представляет собой слишком плохо определенное понятие, чтобы им можно было пользоваться в общих рассуждениях. [c.179]

Для того, чтобы оценить вышеприведенные рассуждения, нужно понять, что различия энергии, встречающиеся в каноническом ансамбле фаз первого тела, не рассматриваются здесь как исчезающие величины. Для уточнения этих представлений мы должны вообразить,. что обладаем достаточной тонкостью восприятия, чтобы эти различия казались нам большими.При этом различие между той частью отих фаз, которая принадлежит одному микроканоническому ансамблю всей системы, и той частью, которая принадлежит другому ансамблю, все же окажется незаметным при достаточном возрастании величины ванны. [c.181]

Традиционный способ вывода равновесных распределений основан на постулате Гиббса о равновероятности всех доступных динамических состояний изолированной системы [39]. Этот постулат определяет так называемый микроканонический ансамбль и соответствующее микроканоническое распределение. Распределения Гиббса, описывающие статистическое равновесие при других внешних условиях, выводится затем из микроканонического распределения. Эта схема изложена во многих книгах по равновесной статистической механике, но, к сожалению, ее невозможно обобщить на неравновесные состояния. По этой причине мы рассмотрим другой способ построения равновесных распределений Гиббса, основанный на теории информации. Все эти распределения будут выведены из условия максимума информационной энтропии при дополнительных условиях, определяющих равновесный ансамбль. Мы покажем, что в равновесном случае максимум информационной энтропии совпадает с энтропией Гиббса и может быть отождествлен с термодинамической энтропией. Преимущество такого подхода перед традиционным заключается прежде всего в том, что он допускает интересные обобщения на неравновесные системы, и мы будем часто им пользоваться. [c.53]

Экстремальность микроканонического ансамбля. Рассмотрим статистический ансамбль замкнутых энергетически изолированных систем с постоянными объемом V и числом частиц N. Предполагается, что все системы имеют одинаковую энергию Е с точностью до АЕ Е. Такой ансамбль представляет макроскопическое состояние с заданными внешними параметрами Е, N иУ. [c.53]

Итак, мы ввели классический ансамбль, соответствующий экстремуму информационной энтропии для энергетически изолированных систем. Как мы видели, он совпадает с равновесным микроканоническим ансамблем, который был введен Гиббсом на основе постулата о равновероятности всех доступных динамических состояний изолированной системы. [c.55]

Квантовый микроканонический ансамбль и соответствующее микроканоническое распределение вводятся аналогичным путем. Пусть — пробное распределение вероятностей для квантовых состояний системы, причем все w l отличны от нуля только в слое Е [c.55]

Рассмотрим флуктуации в статистических ансамблях Гиббса. Наиболее просто вычислить флуктуации тех величин, от которых явно зависит функция распределения или статистический оператор. Начнем с флуктуаций энергии Е = H q p) в классическом каноническом ансамбле. Это позволит нам понять связь между каноническим и микроканоническим ансамблями. [c.68]

Так как средняя энергия U = (Н) и, соответственно, теплоемкость Су являются экстенсивными величинами, т. е. они пропорциональны числу частиц N, относительная флуктуация энергии л/ Н ) — (Н) /(Н) имеет порядок l/VTV. Таким образом, флуктуации энергии чрезвычайно малы для макроскопических систем с 1. В этом смысле канонический ансамбль практически не отличается от микроканонического ансамбля, в котором флуктуации энергии отсутствуют. [c.68]

В принципе, формула (1.3.111) применима к произвольным флуктуациям энергии. Однако в общем случае необходимо найти энтропию микроканонического ансамбля как функцию энергии Е. Как уже было сказано, это — очень сложная задача. Покажем, что для малых флуктуаций энергии Ч выражение для функции распределения (1.3.111) можно преобразовать к более простому виду. Разложим S E) по отклонениям энергии АЕ = Е — (Я) от равновесного среднего значения [c.70]

Теперь воспользуемся тем, что микроканонический и канонический ансамбли термодинамически эквивалентны друг другу. В данном случае это означает, что энтропия микроканонического ансамбля S H) N V) практически равна энтропии канонического ансамбля S T, N, V), если средняя энергия U = (Я) и температура связаны термодинамическим уравнением состояния U = U T N V). Тогда с учетом термодинамических соотношений [c.70]

В принципе, функция (1.3.125) определяет вероятности флуктуаций произвольных динамических переменных. Однако вычисление энтропии микроканонического ансамбля S a N V) как функции от переменных является еще более сложной задачей, чем вычисление энтропии S E, N,V), входящей в (1.3.111). [c.72]

Ясно, что это распределение описывает микроканонический ансамбль в котором базисные динамические переменные имеют фиксированные значения С помощью формулы (9.1.26) и очевидного соотношения [c.222]

Излагаемые ниже соображения основаны на том факте, что гидродинамические переменные а (г) соответствуют полу макроскопическим величинам, поскольку обрезающее волновое число Ajq было выбрано таким образом, чтобы пространственная ячейка с размерами / I/Ajq содержала большое число частиц. Тогда каждую из таких ячеек можно рассматривать как малую, но макроскопическую подсистему, взаимодействующую с другими ячейками через свои границы. Согласно общему принципу термодинамической эквивалентности статистических ансамблей (см. раздел 1.3.10 первого тома), можно считать, что энтропия S a) микроканонического ансамбля, определяемого условиями а г) = ft (r), является таким же функционалом от а (г) , как и энтропия Si a) локально-равновесного большого канонического ансамбля от (fl (r)) , если соответствующее фазовое распределение Qi q,p a) удовлетворяет условиям [c.229]

Равновероятностное распределение микросостояний изолированной системы называется микроканоническим распределением, а соответствующий ансамбль — микроканоническим ансамблем. [c.196]

Можно показать, что микроканоническое распределение (12.10) обеспечивает равенство (12.4) среднего по макроканоническому ансамблю (12.2) среднему по времени (12.1) функции координат и импульсов b(q, р) систем, для которых b q, р))< (в соответствии с известным положением термодинамики — см. 2) зависит только от интеграла энергии. Такие системы называются эргоди-ческими. Обоснование (исходя из механики) эргодичности многочастичных систем и возможности замены средних по времени средними по микроканоническому ансамблю носит название эрго-дической проблемы. Эта проблема несмотря на ряд полученных важных результатов еще ждет своего решения. [c.196]

Рассмотрим сначала весьма большую изолированную систему и (мы можем назвать ее вселенной ). Она статистически описывается микроканоническим ансамблем, соответствующим энергии Еи. Обратимся теперь к системе, являющейся малой подсистемой по отношению к U эта малая подсистема S взаимодействует с внешним лшром W, т. е. со своим дополнением (фиг. 4.3.1). [c.134]

Мера в фазовом гфостранстве] II 374 Метрическая неразложимость II 380 Микроканонический ансамбль I 131 Модель решеточного газа Г 361 [c.393]

Так как любой канонический ансамбль систем можно рассматривать как состоящий из микроканонических ансамблей, то если какие-либо величины миг имеют одни и те же средние значения в каждом микроканоническом ансамбле, то они будут иметь те же значения в каждом каноническом ансамбле. Чтобы подвести формально под это правило уравнение (380), мы можем заметить, что левая его сторона, являющаяся функцией з, имеет постоянное значение в микроканоническом ансамбле и, следовательно, тождественна со СВ01Ш средним значением. Мы получим таким образом общее уравнение [c.123]

Ансамбль систем, распределенный по фазам, является меиее простым и элементарным понятием, нежели отдельная система. Но, рассматривая вместо отдельных систем соответствующие ансамбли, мы можем избежать неудобств, связанных с необходимостью учета исключений, образуемых частными случаями интегральных уравнений движения, так как эти случаи просто исчезают, когда предметом изучения является вместо системы ансамбль. Это в особенности справедлино, когда ансамбль распределен, как в случае, который мы назвали каноническим, по некоторому фазовому объему. В меньшей степени это справедливо для микроканонического ансамбля, который не занимает никакого конечного фазового объема (в том смысле, в каком мы употребляем этот термин), хотя его удобно рассматривать как предельный случай ансамбля, занимающего конечный фазовый объем, так как мы таким образом выигрываем для предмета некоторую часть аналитической простоты, присущей теории ансамблей, занимающих истинный фазовый объем. [c.143]

Представим себе теперь, что модуль главного канониче--ского ансамбля увеличивается на 2Д0, а его средняя энергия — на 2Дг. Модуль канонического ансамбля фаз первого тела, рассматриваемый отдельно, возрастает на 2Дг, Мы можем считать, что энергия каждого из бесконечного числа микрот канонических ансамблей, на которое мы подразделили главг ный канонический ансамбль, увеличивается на 2Дг. Посмотрим теперь, как реагируют на это ансамбли фар первого тела, содержащиеся в этих микроканонических ансамблях. Мы можем допустить, что все они будут реагировать примерно одинаковым образом, поскольку все различия, которые должны быть приняты в расчет, могут считаться малыми. Следовательно, канонический ансамбль, созданный всеми ими, взятыми вместе, будет реагировать точно так же. Но мы знаем, как он реагирует, именно, увеличением модуля на 2Д0, величину, которая исчезает при неограниченном возрастании величины ванны. [c.181]

Поэтому, в случае бесконечно большой ванны увеличение энергии одного из микроканонических ансамблей на 2Д оказывает исчезающее воздействие на распределение энергии по фазам первого содержащегося в ней тела. Но 2Де больше средней разности энергии между микро аноническими ансамблями. Распределение по энергии этих фаз, следовательно, одинаково в различных микроканонических ансамблях и должно потому быть каноническим, так же как и распределение ансамбля, который они образуют, будучи взятыми вместе ). [c.181]

Рассмотрим теперь важный для приложений случай, когда динамические переменные соответствуют полу макроскопическим величинам ). Тогда можно воспользоваться термодинамической эквивалентностью ансамблей и считать, что энтропия S ai , N,V) микроканонического ансамбля является такой же функцией от а-, как энтропия 5( (аЛ, А , К) канонического ансамбля от а-) при условии, что а-) = а-. Это предположение фактически лежит в основе так называемой квазитермодинами-ческой теории флуктуаций впервые развитой Эйнштейном [76], который исходил из интуитивных соображений. [c.72]

Итак, в соответствии с термодинамической эквивалентностью статистических ансамблей, энтропию микроканонического ансамбля в (1.3.125) можно заменить энтропией обобщенного канонического распределения Гиббса (1.3.130), которое описывает состояние с заданными значениями флуктуаций Аа . Считая флуктуации малыми, мы можем разложить S a N V) по отклонениям Аа- = а- — (fljeq- С учетом равенств (1.3.132) запишем [c.73]

Выражения (8.2.80) - (8.2.82) и другие аналогичные выражения для коэффициентов переноса через корреляционные функции известны как формулы Грина-Кубо ). Впервые они были получены Грином [77], который использовал методы теории стохастических процессов. В работах Грина усреднение проводилось по микроканоническо-му ансамблю, где Н и N ие испытывают флуктуаций, поэтому члены с АН и AN в выражении (8.2.73) для потока П отсутствовали. Однако микроканонический ансамбль не удобен для расчетов, так как все равно приходится учитывать дополнительные условия постоянства Н и N. После Грина выражения для коэффициентов переноса через корреляционные функции были выведены многими авторами различными методами (см., например, [96, 119, 131]). [c.175]

Функционал энтропии. Папомним, что функционал энтропии S a) был определен через статистический вес W a) микроканонического ансамбля в котором базисные динамические переменные а г) имеют фиксированные значения а (г). Это определение неудобно для конкретных приложений теории, поскольку вычислить статистический вес W(а) из (9.1.14) очень трудно или вообще невозможно. Мы получим для функционала энтропии другое выражение, которое позволяет использовать в теории гидродинамических флуктуаций локальные уравнения состояния. [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...