Условия в для функции Эри

Уравнение (1.30) называется бигармоническим. Таким образом, проблема интегрирования в плоской задаче теории упругости сводится к интегрированию бигармонического уравнения (1.30) при соответствующих граничных условиях и условиях однозначности для функции Эри V х, у). [c.492]

В этом случае граничные условия (9.21) для функции Эри принимают вид [c.326]

Тогда T)(s2) l. -Т)(5 ) 1 и при подстановке решений (2) в граничные условия можно воспользоваться асимптотическими формулами для функций Эри при Т)- (см. [133, с. 65]) [c.230]

Итак, мы имеем два пути для исследования плоского деформированного состояния решение уравнений в перемещениях (9) с условиями (10) или (11), либо решение уравнений в напряжениях, которые сводятся к бигармоническому уравнению для функции Эри. Первый путь удобен, когда граничные условия заданы в перемещениях, второй — когда они заданы в напряжениях. [c.308]

Напряжения в плоской задаче, когда на контуре L заданы внешние силы, определяются формулами (9.16) в зависимости от функции Эри, которая должна удовлетворять бигармоническому уравнению (9.20) и граничным условиям (9.77) и (9.78). Во все эти уравнения не входят упругие постоянные материала. Это обстоятельство позволило Морису Леви (1838—1910) сформулировать следующую теорему распре Мление напряжений в плоской задаче при данном нагружении на контуре является одинаковым для всех изотропных материалов. [c.238]

Распределению сил == —О21 на торце == О отвечает функция Эри Фа = Ъ х х (см. рис. 9.6, б). Однако этой функции соответствуют -постоянные касательные силы ti и на продольных сторонах консоли, которые в рассматриваемой задаче должны быть свободны от поверхностных сил. Для устранения сил на сторонах х == /г/2 добавим функцию Ф4 = d x xl т. рис. 9.9), которой на этих сторонах соответствуют также постоянные силы Путем надлежащего выбора коэффициентов 2 и < 4 можно достигнуть освобождения сторон Хг = = h 2 от поверхностных сил и удовлетворить условиям нагружения консоли. Поэтому функцию Эри примем в следующем виде [c.246]

Принимая функцию Эри в таком же виде, как-в предыдущей аналогичной задаче, и удовлетворяя граничным условиям (а), получим для напряжений, как и в случае двухопорной балки, формулы (д). Постоянная < з, входящая в выражение для Стц, определяется из третьего условия (б) (первые два условия (б) удовлетворяются при любом значении ds) [c.252]

Читатель уже убедился в 1.7, что использование функции напряжений Эри в принципе дополнительной виртуальной работы приводит к условию совместности для двумерной задачи. [c.40]

В третьей главе исследовано разрушение армированных пластин с отверстиями при нагружении в плоскости. Для прямолинейно-анизотропных пластин, ослабленных одним или несколькими различными вырезами, получены соотношения для расчета напряжений в элементах композиции, выраженные через функцию Эри и необходимые для последующего исследования прочности. Рассмотрена задача о разрушении пластин с эллиптическим отверстием при растяжении па бесконечности равномерно распределенным усилием. Исследована зависимость разрушающей нагрузки от расположения вытянутости отверстия относительно направления действия нагрузки и характера армирования. Определены параметры структуры армирования, соответствующие рациональным проектам по условиям прочности. Проанализировано также разрушение пластин с цилиндрической анизотропией, имеющих форму полного кругового концентрического кольца и нагруженных на внешнем и внутреннем контурах равномерно распределенными нормальными усилиями. [c.5]

Функция Эри - произвольная бигармоническая функция. Для того, чтобы решить задачу в терминах напряжений необходимо сформулировать граничные условия в терминах напряжений, т.е. на границе должны быть заданы внешние усилия. Для плоской задачи достаточно рассмотреть условия на боковой поверхности. [c.277]

Избранные решения бигармонического дифференциального уравнения. Определение компонент напряжений при плоской деформации в упругом или чисто вязком материалах, компонент скоростей в вязком веществе и прогибов плоской слабо изогнутой упругой или вязкой пластинки (см. гл. 9) приводит к нахождению интегралов бигармонического дифференциального уравнения АА/ = 0 при заданных граничных условиях. Функция f может представлять функцию напряжений, или функцию Эри Р, функцию тока ар или функцию прогибов ш плоской пластинки. Естественно, что в этой книге нельзя дать подробное перечисление и обзор большого числа существующих точных решений, полученных в этой области за последние 50—60 лет. Данная глава посвящена краткому ознакомлению читателя с теорией получения некоторых интегралов уравнения АА/=0 для избранной группы двумерных задач, имеющих отношение к задачам о действии сосредоточенного давления в упругом и вязком телах и к некоторым геофизическим приложениям. [c.237]

В случае ограниченного тела к полю и следует добавить поле м", удовлетворяющее системе уравнений (10). Система уравнений (10) относится к изотермическому состоянию тела перемещения зависят от граничных условий задачи. Для решения этой системы уравнений мы применим методы теории упругости, подробно обсужденные в гл. 6. Мы можем применить здесь функции Папковича — Нейбера, Галеркина либо функцию Эри. Дадим еще другой подход. Выразим напряжения через производные некоторой функции х(хь Хг) [c.501]

Краевые условия в напряжениях для первой граничной задачи теперь можно выразить через функцию напряжений Эри. Напряжения на границе px s) и py s) задаются как функции координаты контура s (рис. 8.4). Для компонент нормального единичного вектора (направляющих косинусов), как видно из рис. 8.4, запишем [c.198]

Соответствующий вид граничных условий уже был выписан ранее граничные условия для напряжений представлены в (4.5), а для перемещений — в (4.9). Определяющие дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях задаются соотношениями (4.17). Определяющее дифференциальное уравнение совместности представлено в (4.18) в терминах напряжений, а в терминах функции напряжений Эри — в (4.19). [c.268]

ТО можно в качестве мембранных напряжений принять равномерно распределенные касательные напряжения о ут = ч/, соответствующие функции напряжения Эри ф = — s, , zy. Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, зададим прогиб ы -в виде (4.72), для начального отклонения Wo зададим аналогичное [c.273]

Чтобы удовлетворить указанному выше требованию, можно зафиксировать достаточное число узловых силовых параметров, чтобы получить статически определимые неподвижные условия закрепления. К примеру, было замечено, что функция напряжений Эри для плоского напряженного состояния двойственна поперечным смещениям в теории изгиба тонких пластин, в которой для реализации требуемых условий закрепления следует фиксировать три соответствующим образом выбранные степени свободы. Отсюда следует, что аналогичным образом в случае плоского напряженного состояния достаточно зафиксировать три силовых параметра. [c.221]

Рассмотрим вначале граничные условия на поверхностях г — и г = г . Решение предыдущей задачи для полного кольца показывает, что в этом случае частные решения (1.20) следует конкретизировать так, чтобы получить полную и ортогональную систему функций в отрезке О 0 Эр. Такое требование позволяет определить область допустимых значений а. Этому требованию, очевидно, удовлетворяют а, " = - (п = О, 1, 2,. ..), af = (n = О, [c.16]

Для исюшчеиия жесткого перемеш,ения пластинки примем условия (1.18), тогда в (4.4), (4.5) будет С1 — Са = Сз = 0. Далее, следуя [8], будем искать решение уравнения (4.1) для функции Эри в виде степенного разложения по малому параметру 8 . Ограничиваясь первым членом этого разложения (первое приближение), получим [c.36]

Как указывалось выше (см. стр. 493), Условия для определения формулы, выражающие перемещения че-[остоянных интегрирования рез функцию Эри, в частности, необходи-I граничных з овиях случае, когда область, занятая [c.497]

Изменение амплитуды по диаметру картины Эри показано сплошной линией на рис. 2.5, б. Хотя она и напоминает картину в случае однощелевой апертуры (показана пунктиром), характер ее описывается не sin -функцией, а функцией Бесселя. Для нас существенной разницей между ними является то, что первый нуль интенсивности после максимума в центре картины Эри достигается не раньше, чем будет выполнено условие [c.32]

Г. Хорвей построил ряд, куда входили функции напрянгений Эри ф (3.16а), каждая из которых бралась в форме произведения функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от Z, и которые удовлетворяют всем указанным выше условиям, за исключением условия совместности (3.16в), которое удовлетворяется приближенно с помощью энергетических принципов путем подбора соответствующих форм и коэффициентов для функций от X. Сопоставление с более точными решениями показывает, что при этом получается весьма близкая аппроксимация. Для облегчения использования таких решений следует составить таблицы значений этих функций. [c.180]

Работу можно в дальнейшем еще более упростить, используя в выражениях (3.16а) для мембранных напряжений функцию Эри ф. Она тождественно удовлетворяет уравнениям равновесия в направлении осей X ш у, аналогичным уравнениям двумерной теории упругости, и поэтому не учитывающем влияние начальной кривизны и конечных перемещений на условия равновесия в направлении осей X ш у. Приравнивая мембранные (не зависящие от координаты z) напряжения (6.15) мембранным деформациям, выраженным через функцию ф с помохцью закона Гука, из [c.410]

Для того чтобы замкнуть математическую краевую задачу по определению функции Эри, необходимо выразить через нее граничные условия и перемегцения. Соответствующие выкладки приведены в 14.2. [c.115]

Краевые условия в паиряжепиях для первой грапичпой задачи выразим через функцию напряжений Эри. Напряжения па границе Рх з) и задаются как функции координаты конту- [c.354]

Для решения двумерных задач довольно удобным в применениях оказывается некоторый вариант уравнений в напряжениях, предложенный Снеддоном ) и Радоком ). Он основан на таком использовании уравнений движения и условий совместности, что получаются волновые уравнения для трех неизвестных функций aib 022, 0]2. Часть этих уравнений удовлетворяется одной функцией напряжения, являющейся в некотором смысле обобщением функции Эри на динамические задачи. Ход рассуждений в этом варианте следующий. [c.578]

Другой метод для определения напряжений в теле развился на основе одной заметки Эри (Airy) °). Он заметил, что в случае системы двух измерений fi3 уравнений равновесия тела под действием поверхностных сил вытекает, что компоненты напряжения могут быть представлены как частные производные второго порядка одной единственной функции. Максвелл (Maxwell) ) обобщил этот результат на случай трех измерений, для которого пришлось ввести три функции напряжений . В дальнейшем было обнаружено, что эти функции связаны между собой довольно сложной системой диференциальных уравнений ). В самом деле компоненты напряжений могут быть выражены через компоненты деформации но эти последние,не неза-] висимы вторые производные от компонентов деформации по координатам связаны системой линейных уравнений, которые выражают условия, необходимые для того, чтобы компоненты деформации могли быть выражены, согласно обычным формулам, через производные от трех проекций смещения ), Принимая во внимание эти линейные соотношения, можно составить полную систему уравнений, которым должны удовлетворять компоненты напряжения, и таким образом получить возможность непосредственного определения напряжений без предварительного состааления и разрешения диференциальных уравнений для проекций смещения ). В случае системы двух измерений, получающиеся уравнения имеют довольно простой вид, и мы можем получить много интересных решений. [c.30]

Функции Фх, Фа и Фз по природе своей анаЛЬгичны функции Эри в плоской задаче теории упругости. Так же как и в случае плоской задачи, они находятся из условий совместности деформаций. Для этого уравнения (119) нужно выразить через Фх, Фг и Фз, что достигается следующим образом. [c.116]

Приведенное выражение для w удовлетворяет изгибным краевым условиям (5.1), заданным на краях х = 0, х а, у = 0 и у = Ъ пластины, показанной на рис. 4.13, а коэффициенты Ртп МОЖНО найти с помощью выражений (4.23) для произвольной поперечной нагрузки pix, у). Тогда функцию напряжений Эри ф можно ваять в виде суммы (р = фр + фл частного (parti ular) фр и общего решений однородного (homogeneous) уравнения фл, соответствующего уравнению (4.13). Для того чтобы удовлетворить уравнению (4.13), функция фр должна быть функцией типа произведения косинусов с четными значениями m и п, а в качестве фл можно использовать любое решение однородного уравнения ф = 0, удовлетворяющее мембранным краевым условиям. Для удовлетворения уравнений (4.11), когда учитываются перемещения и я V, функцию и можно взять в виде произведения синуса и косинуса, а у — произведения косинуса и синуса от а и г/ на соответствующие функции интегрирования. [c.292]

Решения задач со сцеплением для упругих тел конечных размеров содержатся в [7, 20]. Метод решения [7] плоской задачи со сцеплением для прямоугольника основывается на представлении функции напряжения Эри рядом Фурье и получении из граничных условий сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта. В результате задача сводится к бесконечной системе алгебраических уравнений. В задаче [20] о взаимодействии сцепленных по торцу цилиндра и слоя получено уравнение с положительным оператором относительно контактного напряжения, что позволяет затем с помощью метода Ритца свести задачу также к бесконечной системе алгебраических уравнений. [c.243]

Аналогичным образом получают решение с помощью функции напряжений Эри, рассмотренной в предыдущем пункте. Согласно (8.189), для полуплоскости О X, у) = 1С2у)е У. С учетом (8.191) из граничных условий (8.201) следует [c.260]

I ) (К стр. 197.) Работа Георга Бидделла Эри [20], как следует из заглавия, посвящена исследованию напряжений в прямоугольных тонких балках. К сожалению, эта знаменитая работа не корректна — автор выбрал для балки функцию напряжений, удовлетворяющую граничным условиям, но не удовлетворяющую уравнению совместности деформаций. [c.327]

Решение задачи строится с использованием функции напряжений Эри Ф(л , у), при этом Ф(л , у) представляется в форме бесконечных тригонометрических и гиперболических рядов. В результате удовлетворения граничных условий получены бесконечные системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ф(л , у). Показано, что эти системы квазивполнерегулярны. Получены выражения для напряжений при у—О с выделенрюй особенностью [248]. Рассмотрены некоторые частные случаи и видоизменения первоначальной задачи. Например, рассмотрены задачи о полосе с периодическими включениями, параллельными ее кромкам, случай, когда эти включения перпендикулярны кромкам, а также плоскость с двоякопериодическими включениями. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...