Микроканоническое распределение

С помощью б-функции микроканоническое распределение [c.196]

Согласно микроканоническому распределению, справедливому для объединенной системы, [c.198]

Большое каноническое распределение получим аналогично выводу канонического, исходя из микроканонического распределения для изолированной объединенной (термостат и изучаемая малая система) системы с энергией Ео и числом частиц No. Отличие в рассматриваемом случае системы состоит в том, что теперь следует в явном виде указывать число частиц в ней. [c.205]

Как следует из уравнения Неймана (11.36), равновесный статистический оператор коммутирует с гамильтонианом Й и для покоящейся системы является его функцией р=р[Я]. Поэтому необходимо задать зависимость коэффициентов Wu от энергии Если число квантовых состояний изолированной системы, имеющей энергию Е с определенным отклонением А <- , равно ЛГ( ), то в соответствии с постулатом равной априорной вероятности состояний таких систем имеем квантовое микроканоническое распределение [c.216]

Исходя из микроканонического распределения (13.1), найдем каноническое распределение закрытой квантовой системы в тер- [c.216]

Отсюда, используя микроканоническое распределение для объединенной системы, находим большое каноническое распределение по состояниям i, J квантовой открытой системы в термостате [c.219]

Микроканонический ансамбль 196 Микроканоническое распределение квантовое 216 [c.309]

Статистическая закономерность (закономерность поведения ансамбля), хотя и является уже иным типом каузальной связи, чем динамическая, но в то же время является ближайшей к ней по своему характеру, поскольку в основе ее лежит наложение реальных движений огромного количества дискретных частиц, входящих в статистический ансамбль. То, что это—иной тип каузальной связи для ансамбля, видно уже из необходимости ввести понятие о микроканоническом распределении и вероятности. То, что этот тип близок к динамическому, видно, во-первых, из того, что возможность рассмотрения такого ансамбля основана на экспериментально подтвержденном представлении о механическом однородном и независимом (на длине свободного пробега) движении каждой из частиц, входящих в ансамбль, и, во-вторых, из того, что описание поведения физических классических ансамблей осуществляется в статистической механике гамильтоновыми уравнениями с помощью тех же по форме и существу функций, которые применяются в классической механике. [c.873]

Перейдем к выводу большого канонического распределения Гиббса. Будем так же, как и в предыдущем параграфе, считать, что термостат представляет собой идеальный газ с числом частиц N, большим по сравнению с числом частиц системы. Термостат отделен от системы неподвижной, но проницаемой для частиц перегородкой. Для объединенной системы справедливо микроканоническое распределение [c.309]

Выведем, наконец, Г-Р-Л -распределение для случая, когда число частиц в системе фиксировано, но помимо энергии может флуктуировать объем системы. Имеем для функции распределения объединенной системы микроканоническое распределение [c.311]

Далее, мы будем считать, что для газа экземпляров имеет место микроканоническое распределение Гиббса (так же как в предыдущем параграфе мы считали, что термостат и среда вместе образуют замкнутую систему). Поэтому помимо полного числа экземпляров Ь мы будем считать фиксированными полное число частиц во всех экземплярах М, политый объем всех экземпляров V и полную энергию всех экземпляров Е. Имеем тогда [c.313]

В задачах статистической физики распределение р (х , Xg /), по существу, постулируется в зависимости от особенностей термодинамической системы. Так, для адиабатических процессов принимают микроканоническое распределение Гиббса, для изотермических систем вводят каноническое распределение. Особенность задач статистической динамики заключается в том, что фазовая плотность вероятности априори не известна, р (х, /) является искомой функцией. При этом энтропия S приобретает смысл функционала. [c.41]

Микроканоническое распределение, так же как и каноническое, можно записать в любом представлении, а именно в виде [c.140]

Постулат о микроканоническом распределении гласит все микро состояния равновесной замкнутой системы являются равновероятными. Согласно микроканоническому распределению система за большой промежуток времени пройдет все доступные для нее микросостояния. В среднем время пребывания системы в любом микросостоянии одно и то же. Эта новая формулировка микроканонического распределения эквивалентна ранее приведенной в силу эргодической гипотезы. [c.41]

Выразим микроканоническое распределение в классической статистической физике математической формулой. Геометрическое место точек, соответствующих всем возможным состояниям системы с фиксированной энергией Eq, определяется уравнением Е( = Е (q, р). Точки заполняют некоторую поверхность в фазовом про странстве. Плотность вероятности должна быть отлична от нуля на этой фазовой поверхности и равна нулю в остальных точках фазового пространства. Учтем, кроме этого, что функция статистического распределения представляет собой плотность вероятности, отнесенную к объему фазового пространства. Тогда становится ясным, что микроканоническое распределение следует записать так [c.41]

Может показаться, что распределение Гиббса (6.7) выведено из механики без дополнительных принципиальных предположений. Однако это не так распределение (6.7) опирается на те же аксиоматические положения, что и микроканоническое распределение вероятность состояния подсистемы определяется энергией только при условии равновероятности всех микросостояний с одной и той же энергией. [c.42]

Остановимся еще на качественном сходстве обоих типов распределений. Если каноническое распределение описывает макроскопическую систему, то для него характерна острота пика, означающая концентрацию наиболее часто реализующихся микросостояний около некоторого значения энергии (Е в на рис. 6). Ширина пика обычно настолько мала по сравнению с высотой, что его можно сравнивать с б-функцией микроканонического распределения (см. рис. 7). [c.42]

Оба распределения на практике дают совпадающие результаты. Различие между ними проявляется только в вопросе о флуктуациях энергии. Для микроканонического распределения = О, для канонического — малая, но конечная величина. [c.42]

Согласно микроканоническому распределению вероятность осуществления состояний, при которых энергия системы равна е, а термостата — (f 8), пропорциональна Е г). Следовательно, вероятность обнаружения системы в состоянии с энергией е, согласно (6.9), оказывается равной [c.46]

Основным положением статистической физики является постулат микроканонического распределения. Из него следует каноническое распределение, которое обычно и применяется в теоретических и практических исследованиях. [c.54]

Вероятность макроскопического состояния замкнутой системы согласно микроканоническому распределению равна числу микросостояний, с ним совместных [c.68]

Получить закон микроканонического распределения с помощью принципа детального равновесия. [c.239]

Мы можем иногда избежать затруднений, представляемых микроканоническим распределением, рассматривая его как результат следующего процесса, требующего привлечения понятий менее простых, но более поддающихся аналитической трактовке. Представим себе ансамбль, распределенный с плотностью пропорциональной [c.120]

Пример несостоятельности микроканонического распределения дается материальной точкой, подверженной действию тяжести и вынужденной оставаться на вертикальном круге. Случай нарушения получается, когда энергия как раз достаточна для того, чтобы материальная точка достигла наивысшей точки круга. Заметим, что трудность обусловлена самой природой случая и совершенно не зависима от математических формул. Природа рассматриваемой трудности станет сразу ясной, если мы попытаемся распределить конечное число материальных точек с этим частным значением энергии сколь возможно близко к статистическому равновесию или если мы зададимся вопросом, какова вероятность того, что выбранная наудачу из ансамбля точка с таким значением энергии найдется в какой-либо заданной части круга [c.122]

Последовательность фаз, которую пробегает полная система с течением времени, может и не определяться полностью энергией, а зависеть, кроме того, от начальной фазы. В подобных случаях ансамбль, полученный микроканоническим распределением полной системы, включающей также все возможные временные ансамбли, комбинированные в пропорции, представляющейся наименее произвольной, лучше представляет влияние ванны, нежели любой отдельный временной ансамбль. В самом деле, отдельный временной ансамбль, если он не является, кроме того, микроканоническим ансамблем, представляет собой слишком плохо определенное понятие, чтобы им можно было пользоваться в общих рассуждениях. [c.179]

Традиционный способ вывода равновесных распределений основан на постулате Гиббса о равновероятности всех доступных динамических состояний изолированной системы [39]. Этот постулат определяет так называемый микроканонический ансамбль и соответствующее микроканоническое распределение. Распределения Гиббса, описывающие статистическое равновесие при других внешних условиях, выводится затем из микроканонического распределения. Эта схема изложена во многих книгах по равновесной статистической механике, но, к сожалению, ее невозможно обобщить на неравновесные состояния. По этой причине мы рассмотрим другой способ построения равновесных распределений Гиббса, основанный на теории информации. Все эти распределения будут выведены из условия максимума информационной энтропии при дополнительных условиях, определяющих равновесный ансамбль. Мы покажем, что в равновесном случае максимум информационной энтропии совпадает с энтропией Гиббса и может быть отождествлен с термодинамической энтропией. Преимущество такого подхода перед традиционным заключается прежде всего в том, что он допускает интересные обобщения на неравновесные системы, и мы будем часто им пользоваться. [c.53]

Нетрудно доказать, что микроканоническое распределение не только является экстремальным распределением, но действительно соответствует максимуму информационной энтропии. Для этого достаточно повторить рассуждения, приведенные в разделе 1.3.2. [c.55]

Заменяя в (1.3.32) д микроканоническим распределением (1.3.34) и учитывая определение статистического веса (1.3.35), мы получаем знаменитую формулу Больцмана для равновесной энтропии изолированной системы О [c.55]

Квантовый микроканонический ансамбль и соответствующее микроканоническое распределение вводятся аналогичным путем. Пусть — пробное распределение вероятностей для квантовых состояний системы, причем все w l отличны от нуля только в слое Е [c.55]

Равновероятностное распределение микросостояний изолированной системы называется микроканоническим распределением, а соответствующий ансамбль — микроканоническим ансамблем. [c.196]

Можно показать, что микроканоническое распределение (12.10) обеспечивает равенство (12.4) среднего по макроканоническому ансамблю (12.2) среднему по времени (12.1) функции координат и импульсов b(q, р) систем, для которых b q, р))< (в соответствии с известным положением термодинамики — см. 2) зависит только от интеграла энергии. Такие системы называются эргоди-ческими. Обоснование (исходя из механики) эргодичности многочастичных систем и возможности замены средних по времени средними по микроканоническому ансамблю носит название эрго-дической проблемы. Эта проблема несмотря на ряд полученных важных результатов еще ждет своего решения. [c.196]

При мономолекулярном распаде кластера происходит уменьшение числа колебаний на величину Дх = Хп — In-i- Это уменьшение числа вибрационных степеней свободы связывают с удалением поверхностного атома кластера в пар, причем энергию испарения е грубо оценивают по разрыву связей данного атома с ближайшими соседями. Записывая гамильтониан для кластера в виде суммы вращательной и колебательной частей и предполагая отсутствие взаимодействий между ними, Бакл использовал микроканоническое распределение энергии и вычислил вероятность того, что на Дх степенях свободы сосредоточится энергия > е , т. е. получил выражение для вероятности мономолекулярного распада комплекса. [c.125]

Если это условие строго выполнено, обе части не будут влиять друг на друга, и ансамбль, образованный микроканоническим распределением целого, является слишком произвольным понятием для того, чтобы представлять действительный интерес. Основной интерес уравнений, которые мы должны получить, относится к случаям, в которых условие выполнено приближенно. Однако, для целей теоретического исследования з добпее, разумеется, считать эти условия абсолютными. Ср. главу IV, стр. 44 и дальше, где сходное условие рассматривается в связи с каноническими ансамблями. [c.124]

Чтобы получить среднее значение и для микроканонического распределения, мы должны взять в качестве пределов s и e-j-ds. Знаменателем в этомслучае будем s ds, и мы получим [c.126]

Следует также заметить, что если система, микроканонически распределенная по фазам, имеет три части с отдельными энергиями и более чем с двумя степенями свободы каждая, то наиболее вероятное разделение энергии ме кду этими частями удовлетворяет уравнению [c.174]

Весьма естественно принять за независимую переменную-скорее энергию, чем температуру, поскольку обычная механика дает нам вполне определенное понятие энергии, в то время как идея чего-то, относящегося к механической системе и соответствующего температуре, представляет собой лишь неясно определенное представление. Но если состояние системы задано ее энергией и внешними координатами, то оно определено лишь неполно, хотя его частичное определение, в пределах его содержания, совершенно ясно. Микроканоническю распределенный фазовый ансамбль с заданными значениями энергии и внешних координат будет лучше представлять несовершенно определенную систему, чем любой другой ансамбль, или отдельная фаза. Если мы подходим к предмету с этой стороны, то наши теоремы будут естественно относигься к средним значениям или наиболее вероятным значениям в подобных ансамблях. [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...