Макроскопические уравнения

В соответствии с результата [п 3 гл. 1 и о гл. 2 макроскопические уравнения притока тепла фаз имеют вид [c.238]

Методом Боголюбова в курсе устанавливаются кинетическое уравнение Больцмана для газа, кинетическое уравнение Власова для плазмы и некоторые их приложения. На основе кинетического уравнения Больцмана выводятся макроскопические уравнения переноса и следующие из них уравнения гидродинамики и вычисляются коэффициенты переноса. Явления переноса рассматриваются также методом функций Грина. [c.37]

Как уже отмечалось ранее, согласно принципу Онзагера (см. с. 186), временная эволюция флуктуационных процессов в равновесной системе в среднем описывается макроскопическими уравнениями вида (7.199). Следовательно, для усредненных флуктуационных переменных ( ) (7.186) справедливы уравнения [c.189]

Принцип Онзагера является основополагающим в термодинамике неравновесных процессов (гл. 8). Доказательство соотношений Онзагера (7.207) основано на отмеченном выше предположении о том, что макроскопическим уравнениям вида (7.199), [c.191]

Эти эффекты можно рассматривать как нелинейные, поскольку они нарушают линейные феноменологические уравнения и превращают макроскопические уравнения процессов, (например, уравнение Фурье для температуры) в нелинейные уравнения. Лишь недавно были опубликованы некоторые результаты, относящиеся к интерпретации таких эффектов, и многое еще остается сделать в этом направлении. Тем не менее представляется целесообразным дать здесь предварительную сводку полученных результатов, так как они указывают направления, в которых возможно достижение дальнейших успехов. [c.108]

Макроскопические уравнения. Флуктуации обычно отходят на второй план при наличии достаточно большого кол-ва однотипных частиц на масштабе изменения поля. Тогда без существенных потерь информации об эл.-магн. процессах можно провести квантово-статистич. усреднение ур-ний (6), (7) (без магн. зарядов) и материальных соотношений, записав их как ур-ния макроскопич. электродинамики для средних полей и токов [c.528]

Обратим теперь внимание читателя на фундаментальный недостаток системы макроскопических уравнений (94.14) — (94.16), заключающийся в том, что эта система незамкнута — число уравнений этой системы меньше числа неизвестных. Действительно, уже первое уравнение этой системы содержит четыре неизвестных — плотность р и три проекции скорости щ. Добавление второго векторного уравнения (94.15) только ухудшает ситуацию, так как число уравнений возрастает до четырех, а к числу неизвестных добавляются шесть независимых компонент тензора П/а и равновесное давление Р, и мы получаем четыре уравнения с одиннадцатью неизвестными. Очевидно, что добавление к системе скалярного уравнения (94.16) ведет к тем же последствиям, так как к числу неизвестных добавляются три проекции вектора теплопроводности /. Мы могли бы составить уравнения типа (94.14) — (94.16) и для более высоких моментов скорости, выбрав в качестве функции хр г,ь,1) в (94.6) или (94.20) произведение трех. [c.525]

Уравнение (94.24) — уравнение диффузии — содержит уже только одну неизвестную функцию р(г, I). Таким образом, уравнение (94.14) может быть сделано замкнутым, если постулировать закон Фика и ввести феноменологический коэффициент диффузии. Ниже мы покажем, что и система уравнений (94.15) и (94.16) может быть сделана замкнутой, если постулировать феноменологические законы для вязкости и теплопроводности и ввести соответствующие коэффициенты. Важно, однако, подчеркнуть, что такой метод замыкания системы макроскопических уравнений представляет собой лишь кажущееся решение задачи. По существу, пользуясь этим приемом, мы лишь переносим трудность в другое место, так как возникает проблема доказательства уравнений переноса и нахождения коэффициентов переноса. [c.526]

Это условие гарантирует, что средняя скорость броуновской частицы в точности подчиняется макроскопическому уравнению (11.2.1), т. е. что в среднем флуктуации компенсируют друг друга. [c.12]

Это — всего лишь решение макроскопического уравнения (11.2.1), т. е. результат, который ни в коей мере не может вызвать удивления. Более интересен средний квадрат скорости. Возводя правую часть (11.2.7) в квадрат и усредняя результат, получим [c.13]

Применим теперь этот формализм для вывода наиболее важных макроскопических уравнений. [c.54]

Это уравнение представляет собой микроскопическое уравнение сохранения массы, соответствующее макроскопическому уравнению неразрывности (12.4.3). Оно выражает локальное сохранение массы. [c.328]

Сразу видно, что уравнения (5.3.41) и (5.3.49) имеют совершенно одинаковую структуру. Эта аналогия между уравнениями для средних значений базисных переменных и уравнениями для корреляционных функций бывает весьма полезной в конкретных задачах. В самом деле, решая приближенно цепочку уравнений для корреляционных функций, можно явно вычислить элементы матриц П и И( ). Тем самым мы получим явные выражения для коэффициентов в уравнениях (5.3.18) или (5.3.21), которые описывают макроскопическую эволюцию системы. С другой стороны, иногда макроскопические уравнения переноса (например, уравнения гидродинамики) могут быть выведены методами феноменологической неравновесной термодинамики. Тогда отмеченная выше аналогия позволяет получить асимптотические выражения для корреляционных функций через равновесные термодинамические величины и коэффициенты переноса. [c.381]

При сильном изменении плотности в потоке эта аппроксимация должна, по-видимому, давать лучшие результаты. Однако неясно, окупается ли получаемым уточнением значительное усложнение соответствующих макроскопических уравнений. [c.122]

Рассмотрим еще одну сторону вопроса о равновероятности микросостояний выделенной опытом области AFq. Пусть проведенный микроскопический опыт установил наличие состояния В соответствии с классической теорией 8, предположим, что все микросостояния области одинаково вероятны. Если, в соответствии с макроскопическими уравнениями, через время макроскопическое состояние Л перешло в состояние А , то в состоянии А2 предположение равновероятности, очевидно, уже не может выполняться вероятность отлична от нуля в тех частях А2, которые произошли из А , и равна нулю в остальных частях (как обычно, мы предполагаем, что подавляющая часть области перешла в область А яо составляет ничтожно [c.80]

Отметим возможность некоторого расширения основного результата этого параграфа. Мы доказали, что в реальном ансамбле нет равномерного закона распределения. Покажем, что в реальном ансамбле не может быть распределений, близких к равномерному. Под распределениями, близкими к равномерному , будем понимать следующие области, соответствующие последовательным, переходящим друг в друга по макроскопическим уравнениям состояниям, изменяются по величине [c.83]

Воспользуемся общими макроскопическими уравнениями Максвелла для переменного электромагнитного поля E,D,H,B), записанными в дифференциальном (локальном) виде [c.270]

Приводимые в 9.1 уравнения Максвелла электромагнитного ноля представляют собой в действительности макроскопические уравнения для описания поля и вещества с медленноменяющимися (во времени и пространстве) физическими переменными. Поэтому их использование для описания поведения микроскопических объектов с быстроменяющимися физическими переменными не может быть признано вполне адекватным и теоретически корректным. [c.289]

Макроскопические уравнения оперируют не с отдельной частицей, а с целой группой частиц (средой). Очевидно с этой точки зрения, что для получения ядерных электромагнитных макроскопических законов следует провести усреднение по осколкам деления и воспользоваться принципами статистической механики, где физические переменные, описываемые с помощью функций распределения, рассматриваются уже как непрерывные функции пространственно-временных координат. [c.289]

Продолжая вывод макроскопических уравнений на основе усреднения микроскопических уравнений, можно аналогично посредством усреднения уравнения (9.41) получить макроскопическое уравнение сохранения заряда [c.291]

Запишем решения макроскопических уравнений (9.62) с точностью до членов порядка 1/с [c.291]

Уравнение (3.12) называют уравнением состояния газа оно позволяет выразить любую из трех величин р, р, е через две другие. Поскольку макроскопическое уравнение состояния — это уравнение Клапейрона [c.60]

Существуют, однако, такие степени разрежения, при которых общие макроскопические модели в обычном смысле неприменимы в этом случае нужно решать уравнение Больцмана, а не использовать его лишь для обоснования макроскопических уравнений (и для выражения значения величин [х, Я и/с через молекулярные константы). [c.63]

Основной результат разложения Чепмена — Энскога состоит в том, что М-е приближение для макроскопических уравнений можно записать в виде [c.124]

Интегрируя уравнение (2.1) по всему пространству скоростей, получаем следуюш ёе уравнение (макроскопическое уравнение неразрывности) [c.173]

Как и в случае тензора напряжений, такое отождествление оправдывается тем, что, как будет показано в дальнейшем, п играет ту же роль, что и вектор теплового потока в макроскопических уравнениях. Однако термин тепловой поток отчасти вводит в заблуждение, так как встречаются ситуации, когда [c.99]

Замыкание макроскопических уравнений дисперсных смесей связано с анализом процессов, происходящих около отдельных частиц, ц сводится к нахождению распределений перемещений, скоростей, температур, напряжений, концентраций и т. д. около дисперсных частиц. Этот анализ проводится независимо, и мето-дическп отличным образом от того, что было представлено в пре дыдущпх главах, он связан с решением краевых задач однофазной сплошной среды. [c.113]

Примем во внимание, что j — средняя скорость несущей фазы в ячейке, которая малыми скачками изменяется от я чейки к ячейке, а в макроскопических уравнениях за счет>размазывания [c.113]

Согласно принципу Онзагера временная эволюция флуктуа-ционных процессов в равновесной системе в среднем также описывается макроскопическими уравнениями вида (7.177). Действительно, если рассматривать у как флуктуацию, то для значений [c.186]

Важность полученного результата заключается в том, что скорость изменения макроскопической величины В (х t) выражается только через макроскопическую величину С (х t). Таким образом, нам удалось перейти от микроскопического уравнения (12.1.6) к макроскопическому уравнению (12.1.10). Иныгли словами, из кинетического уравнения (12.1.6) логически вытекают уравнения эволюции средних значений (12.1.10). Уравнения такого вида иногда называются уравнениями моментов кинетического уравнения. [c.52]

Свое исследование макроскопических уравнений мы начнем отнюдь не с самого простого случая. Именно, прежде всего изучим эволюцию той величины, которая составляет основу неравновесной термодинаьшки. Свойство, которое мы собираемся установить здесь, действительно является краеугольным камнем любой макроскопической теории речь идет о выводе второго закона термодинамики. Как известно, второй закон термодинамики непосредственно связан с понятием необратимости. Этот закон гласит, что существует такая функция состояния — энтропия, которая не сохраняется. Более того, в ходе спонтанной эволюции изолированной системы эта фзщкпдя может лишь возрастать во времени в результате необратимых процессов, идущих в системе. Возрастание прекращается только тогда, когда система приходит в равновесное состояние при этом энтропия достигает максимума. При локальной формулировке скорость изменения плотности энтропии S (х t) выражается уравнением баланса типа (12.1.19) [c.55]

Пять инвариантов столкновений связаны с механическими инвариантами системы. Следовательно, соответствуюпще макроскопические уравнения баланса представляют собой не что иное, как пять гидродинамических уравнений сохранения для плотности массы, 1Ш0ТН0СТИ импульса (векторное уравнение) и плотности внзггренней энергии. Дадим теперь подробный вывод этих уравне ний из кинетической теории. [c.66]

Вообще говоря, главная задача неравновесной статистической механики состоит в том, чтобы вывести кинетические уравнения или уравнения неравновесной термодинамики, исходя из уравнения Лиувилля. Наиболее впечатляющей и даже парадоксальной особенностью этой задачи является то, что мы хотим вывести необратимые во времени макроскопические уравнения из обратимого уравнения Лиувилля. Парадоксальность ситуации в теории неравновесных процессов была замечена очень давно. В качестве примеров напомним известный парадокс обратимости Лошмидта [119] и парадокс возврата Цермело [168], которые были выдвинуты против Я-теоремы Больцмана в кинетической теории газов. Проблему необратимости хорошо понимал Гиббс [13], когда обсуждал возрастание энтропии вследствие перемешивания в фазовом пространстве. [c.80]

Наиболее универсальным методом, позволяющим в принципе замкнуть систему макроскопических уравнений при произвольных числах Кнудсена, является метол моментов. [c.97]

В общем слун.ае получающиеся макроскопические уравнения весьма сложны. Однако некоторое представление о даваемой ими точности можно получить, даже не выписывая их. Рассмотрим, например, структуру ударной волны. Так как в этом случае граничные условия ставятся на бесконечности, то экспоненциальные члены равны нулю, и при аппроксимации (4.9) приходим к навье-стоксовскому описанию волны. Как было показано в 2.8, величина ЦАп пропорциональна длине пробега. Поэтому экспоненциальные члены существенны лишь на расстояниях порядка нескольких длин пробега от границ. При малых длинах пробега подавляющая часть течения описывается при такой аппроксимации уравнениями Навье—Стокса. В частности, в задаче об обтекании тела в этом случае уравнениями Навье — Стокса описывается и структура ударной волны. Однако уравнения Навье— Стокса удовлетворительно описывают структуру ударной волны лишь при числах Маха, близких к единице (см. 4.4). [c.122]

B. Приведенные результаты выясняют причины справедливости сформулированной Шредингером [39] в его работе <(0б обращении законов природы (1931) теоремы об обратимости макроскопических уравнений. В теореме Шредингера утверя -дается, что, подобно тому, как рассасывание флюктуаций — температуры или плотности — с подавляющей вероятностью происходит в направлении, обратном направлению градиентов, возникновение флюктуаций с подавляющей вероятностью происходит в точно противоположном направлении—направлении самих градиентов. Сформулировав эту теорему, Шредингер пишет, что она настолько противоречит некоторым нашим представлениям о вероятности макроскопических процессов, что несмотря на свою большую правдоподобность не может казаться [c.200]

Совсем иначе обстоит дело с проблемами гидродинамической и плазменной турбулентности. Во-первых, теория турбулентности, казалось бы, должна полностью основываться на классических макроскопических уравнениях уравнениях Навье — Стокса, газодинамики, уравнениях магнитной гидродинамики, плазмы и других, однако вывести основные характеристики турбулентного движения из макроскопических уравнений пока не представляется возможным и приходится прибегать к дополнительным соображениям. Теория турбулентности необычайно разрослась, но путь ее тернист и труден. Она вынуждена прибегать к полуэмпирическим и весьма сомнительным соображениям и до сих пор не может разобраться даже в простейших типах течений, довольствуясь весьма скудными теоретическими результатами о потере устойчивости и численными расчетами, не подкрепленнымн хорошей теорией. Такое неудовлетворительное положение сложилось не только потому, что механика жидкостей и газов и ее уравнения оказались очень сложными, а число степеней свободы удручающе велико, но и потому, что было совершенно пе ясно, в каком направлении надлежит двигаться, как, хотя бы в принципе, может быть построена такая теория. [c.90]

Как и для тензора напряжений, такое отождествление оправдывается тем, что, как будет видно далее, входит в макроскопические уравнения так же, как и вектор потока тепла. Однако термин поток тепла отчасти вводит в заблуждение, поскольку существуют условия, когда О, а температура везде практически постоянна в этом случае приходится говорить о потоке тепла при постоянной температуре, что звучит несколько парадоксально. Термин неконвективный поток энергии для был бы более точен, но он не употребляется. [c.61]

Рассматривая другую молекулу с массой гп2 = [Х2гп, мы получили бы аналогичное распределение с Х2 вместо ц. Параметр е, энергия на единицу массы, входит во все распределения по скоростям независимо от массы выбранной молекулы это означает, что е представляет собой величину, которая принимает одно и то же значение для каждого из нескольких газов, находящихся в контакте друг с другом при тепловом равновесии. Иначе говоря, е должна быть функцией температуры смеси и может зависегь от средней массы т, но не от масс отдельных молекул. Из макроскопического уравнения состояния совершенного газа, которое будет рассмотрено ниже (разд. 8 гл. II), следует, что [c.44]

Существуют, аднако лрежимы с таким разрежением, что никакая общая макроскопическая теория в обычном смысле не-возможна (определяющие уравнения типа (8.26) и (8.27) теряют силу) в этом случае нужно решить уравнение Больцмана, а не только использовать его для обоснования макроскопических уравнений. [c.101]

Новый способ термодинамического описания малых объектов предложил Хилл [36]. Исходные макроскопические уравнения термодинамики применяются к ансамблю из п независимых, эквивалентных по природе, но, вообще говоря, различных малых систем. Их различие обусловлено флуктуациями свободных параметров, таких как число частиц в системе, объем, энергия (при постоянстве Т, р, р,). Может меняться и число систем ансамбля. Каждая система включает в себя пузырек (капельку) вместе с окружающей его фазой. Поверхностное натяжение не вводится в рассмотрение. Приращение внутренней энергии ансамбля содержит член, обусловленный изменением п. В теории делается переход к уравнению для отдельного пузырька, определяется работа его образования. Трудность состоит в установлении связи между теорией и экспериментом. Для конкретных приложений метода Хилла требуется привлечение модельных представлений [36, 37], [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...