Пуанкаре теорема о возврате

На первый взгляд задача представляется неразрешимой >. Действительно, по законам термодинамики замкнутая макроскопическая система всегда стремится прийти в состояние равновесия с максимальной энтропией и остаться в этом состоянии при неизменных ее макроскопических характеристиках. Законы же механики инвариантны по отношению к обращению знака времени, так что, если изменить направление скоростей на обратные, механическая система пройдет свой путь в обратном направь лении и по теореме возврата Пуанкаре сколь угодно близко вернется к начальному состоянию. [c.125]

Если рассматриваемая гамильтонова система совершает финитное движение, то по теореме Пуанкаре о возвратах (см. 1.1) система всегда будет возвращаться в любую окрестность точки А. Более того, если процесс блуждания частицы аналогичен диффузионному, то распределение времени возврата имеет характерный параметр То такой, что вероятность возврата за время 4>Го экспоненциально убывает [180]. Этот вывод является следствием существования двух масштабов универсальности, или, иначе, существованием по крайней мере двух переменных (/, д), по одной из которых ( ) случайный процесс носит характер быстрого перемешивания, а по другой (/) — медленной диффузии. [c.223]

Приближение хаотических фаз 112 Пуанкаре теорема о возврате 10, 40 [c.271]

Таким образом, телесный угол, задающий неопределенность ЪМ-мерного импульса, растет со временем по экспоненциальному закону. Фазовые траектории, исходившие первоначально из малой области фазового пространства, точнее говоря, из малой площадки гиперповерхности постоянной энергии, очень быстро удаляются друг от друга и заполняют приблизительно равномерно всю эту гиперповерхность. Согласно теореме Лиувилля при этом сохраняется первоначальный фазовый объем. При этом гиперповерхность постоянной энергии окажется сначала грубо, а затем все более мелко изрезанной фазовыми траекториями. За некоторое характерное для релаксации время, весьма малое по сравнению с временем возврата по Пуанкаре (см. ниже), вероятности нахождения изображающей точки в равных участках этой гиперповерхности станут одинаковыми. [c.549]

То обстоятельство, что система никогда в действительности не является изолированной, не следует забывать также и в связи с другим парадоксальным возражением относительно любой механической интерпретации необратимости. Это возражение много тоньше, чем доводы, основанные на обращении скоростей молекул. Оно основано на теореме Пуанкаре, которая утверждает, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, возвратится сколь угодно близко к своему начальному состоянию при почти любом выборе последнего, если подождать достаточно долго. Для состоящего из взаимно отталкивающихся молекул газа, заключенного в ящик с зеркально отражающими стенками, это следует из закона сохранения энергии, в силу которого изображающая точка в фазовом пространстве движется по ограниченной поверхности 5 (поверхности постоянной энергии). Эти факты означают, что мера х(Л) ( площадь А) связана с каждым подмножеством А поверхности 5 так, что если Л/ есть множество точек, в которые точки А трансформируются вследствие движения к моменту времени (, то х(Л ) = (Д) и и(5)<оо. [c.162]

Из теоремы Пуанкаре следует, что система будет бесконечное число раз возвращаться в область А (ком. 2). Можно ввести понятие среднего времени возврата, или времени цикла Пуанкаре. [c.10]

Из теоремы Пуанкаре не следует, как система будет возвращаться в исходную область. Времена последовательных возвратов могут подчиняться любому закону, в том числе и случайному. Тем не менее в ряде работ и книг по статистической механике теорема о возвратах воспринимается как доказательство почти периодического движения системы. [c.40]

Возникает вопрос каким образом статистическая физика, основанная на обратимых во времени законах микропроцессов, может приводить к необратимым законам макроскопических процессов, в частности, к описанию процессов релаксации и к закону возрастания энтропии в замкнутых системах. В особенно отчетливой форме этот вопрос был поставлен в связи с так называемой теоремой возврата (Пуанкаре, Цермело), согласно которой за достаточно большое время фазовая траектория в Г -пространстве, изображающая поведение системы, вернется в область, сколь угодно близкую к некоторой начальной точке этой траектории. [c.544]

Вокруг Я-теоремы разгорелась оживленная дискуссия. Указывалось, что монотонное изменение величины Я противоречит полной обратимости механики (Лошмидт) и общим ее положениям (теорема возврата Пуанкаре-Цермело). Более внимательное исследование предпосылок Я-теоремы привело Больцмана к ясной формулировке статистического характера второго начала термодинамики. Согласно Больцману, возрастан1 е является лишь наиболее вероятным изменением энтропии при определенных условиях, налагаемых на начальное состояние рассматриваемой молекулярной системы. Именно, рассматривается система, состояние которой в какой-то начальный момент времени являлось маловероятным и которая с течением времени с подавляющей вероятностью переходит к более вероятным состояниям, что и приводит к подавляюще вероятному возрастанию энтропии, хотя возможно и ее убывание (флуктуации). [c.13]

Из теоремы Лнувилля следует теорема Пуанкаре о возврате, состоящая в следующем. Пусть консервативная система (Я не зависит явно от времени) совершает финитное (т. е. в ограниченной области фазового пространства) движение. Рассмотрим некоторую область А фазового пространства и выберем в нем точку [c.10]

Парадокс возвращаемости (Цермело). Согласно теореме Пуанкаре о возвратах любое состояние системы, рассматриваемое как начальное, должно через некоторое время (время возврата) почти повториться с любой заданной точностью. Эктроппя в момент возврата должна почти совпасть с начальной энтропией, что противоречит следствию Я-теоремы Больцмана о возрастании энтропии. [c.36]

Прежде всего заметим еще раз, что теорема Пуанкаре в возвратах не имеет никакого отношения к появлению статистических свойств в системе. Возвраты существуют как при условнопериодическом движении, так и при стохастическом движении. В последнем случае времена последовательных возвратов (циклов) являются случайной последовательностью, а величина их для систем из малого числа частиц также мала. Необратимость проявляется не в том, что система не может вернуться близко к исходному состоянию, а совсем в ином ее свойстве. Рассмотрим фазовую каплю правильной формы и будем следить за изменением формы ее границ со временелг. В устойчивом случав (в отсутствие перемешивания) поверхность капли пзд1еняется не очень сильно, в то время как в случае локальной неустойчивости поверхность капли очень быстро приобретает необычайно сложную и запутанную форму (сл1. рис. 1.15). Необратимость связана именно с этой формой. Никто еще не подсчитывал вероятность возврата фазовой капли после перемешивания обратно в старую оболочку . Однако интуитивно ясно, что эта вероятность должна быть столь же мала, как и вероятность возврата для большого чпсла частиц. Пренебрежение этой вероятностью, эквивалентное также некоторому огрублению, и приводит к необратимости. [c.39]

Рассмотрим систему с фиксированной энергией Е. Будем предполагать, что энергетическая поверхность Е (р, q) = = onst является инвариантной неразложимой областью Q в Г-пространстве. Это означает, во-первых, что для любой точки Р вся траектория, проходящая через Р, целиком лежит в Q и, во-вторых, что данная область не может быть разделена на две части Q и Q", каждая из которых является инвариантной. Без доказательства отметим тот факт, что неразложимость Q эквивалентна транзитивности движения это означает, что траектория, проходящая через любую точку Р в будет проходить сколь угодно близко к любой другой точке Р в Q. Более того, если предположить, что полный объем Q конечен, то траектория, проходящая через точку Р, будет пересекать ячейку 6Q в Г-пространстве снова и снова теорема возврата Пуанкаре). [c.610]

С точки зрения микроскопического подхода все по-другому. Уже сами аксиомы групп а) и б) не согласуются друг с другом, причем с самого начала рассмотрения в механике нет равновесного состояния, к которому система самопроизвольно бы стремилась (нулевое начало термодинамики) и которое сейчас находится в фокусе нашего рассмотрения. Даже наоборот, в механике существует теорема возврата Пуанкаре (см. том 3, гл. 5), согласно которой любое механическое состояние системы с заданной наперед точностью само воспроизводится по прошествии какого-то времени Т. И таких проблем несоответствия можно привести множество. Наше обсуждение, конечно, нацелено не на то, чтобы примирить механическую и термодинамическую точки зрения (постановка такого вопроса была бы просто нелогичной), а чтобы согласовать эти подходы, выяснить их взаимоотносительность и соответствующие области соприкосновения. [c.38]

В первом парафафе отметим обсуждение проблем, связанных с теоремой возврата Пуанкаре и общими вопросами эволюции системы, включая вопросы релаксации к равновесному состоянию. Два следующих парафафа посвящены оценкам характерных длин и времен свободного пробега, чисел столкновений, а также коэффициентов переноса с помощью достаточно элементарной теории. Эти оценки используются и в основном тексте, и в других задачах и определяют те масштабные величины,, достижение которых знаменует, переход от механического типа эволюции системы к кинетическому и затем к гидаодинамическому ее этапам. [c.358]

Н-теорел1а. Как уже упоминалось в отступлении 3, Больцман ввел некоторую if-функцию, которая, как было показано, не возрастает при соударениях молекул газа. Против этого утверждения были выдвинуты два серьезных возражения. Лошмпдт указывал, нто основное свойство if-функции находится в противоречии с обратимостью законов механики, т. е. их симметрией по отношению к прошлому и будуш ему. Цермело отмечал, что утверждение Больцмана противоречит известной теореме возврата Пуанкаре. Согласно этой теореме, траектория в фазовом пространстве по истечении достаточно дли- [c.236]

В макроскопической теории нулевое начало — это обобщение повседневного опыта и наблюдений за термодинамическими системами. В конце концов, системы, не удовлетворяющие этому началу, можно просто исключить из претендентов на звание термодинамических и этим закрыть вопрос. С микроскопической точки зрения это утверждение далеко не самоочевидно. Было даже доказано (Н. Poin are, 1890), что механическое состояние, например, изолированной системы вовсе не переходит с течением времени в некое устойчивое состояние, принимаемое за равновесное, а воспроизводится с заранее обусловленной точностью через конечный промежуток времени. Правда, этот промежуток для системы, состоящей из моля вещества, по самым грубым оценкам включает фактор порядка 10 , так что возраст Вселенной (10 —10 с) не составляет в этом масштабе даже и мига. Правда и то, что фиксируемые с помощью макроскопических приборов состояния уже не представляют собой чистых механических состояний. И несмотря на это, все же проблема, связанная с теоремой возврата, имеет несомненный теоретический и принципиальный интерес. Обсуждение этой проблемы (как и вывод теоремы Пуанкаре) —это достояние той части курса, которая посвящена неравновесной теории (см. ТД и СФ-П). [c.25]

В тех задачах, в которых имеется зависимость от времени, в термодинамическом пределе также исчезают некоторые эффекты, имеющие место в конечных системах. Самый знаменитый среди них связан с так называемыми возвратами Пуанкаре. Этот эффект выражается следующей точной теоремой классической динамики. Пусть имеется консервативная динамическая система N тел, помещенная в конечную область пространства. Тогда, начав движение из заданного состояния в нулевой момент времени, система по истечении промежутка времени Тр вернется сколь угодно близко к начальному состоянию. Поэтому движение любой конечной механической системы является квазиперио-дическим. Кроме того, при Т —оо период Тр стремится к бесконечности. Следовательно, результаты, получаемые из теории в термодинамическом пределе, могут быть справедливы лишь для времен, значительно меньших времени возврата Пуанкаре. Однако оказывается, что для всех систем представляющих интерес с точки зрения статистической механики, время Тр столь фантастически огромно, что фактически никакого ограничения не существует вообще (для 1 см газа Т,, имеет порядок биллиона биллионов лет). Поэтому с уверенностью можно утверждать, что эволю- [c.92]

Сначала доказанному Больцманом утверждению об убывании if-функции придавался смысл абсолютного закона,— вероятностные предпосылки вывода не были отмечены. Одним из возражений было приведенное Цермело [4] указание на применимость к вопросу об изменении ZT-функции возвратной теоремы Пуанкаре. Больцман, установив, что периоды возврата чрезвычайно велики, показал, что согласие с принципом монотонного изменения Я-функции может быть восстановлено, если считать, что в действительности мы находимся на нисходящей ветви /Г-кривой. Цермело отмечал невероятность подобного предположения, так как мы наблюдаем в природе не один процесс возрастания энтропии, а огромное число таких процессов, о каждом из которых пришлось бы сделать выдвинутое Больцманом предположение. [c.24]

Тот факт, что система в действительности всегда не изолирована, надо помнить также в связи с другим парадоксальным возражением против любой механической интерпретации второго закона термодинамики это возражение тоньше довода, основанного на обращении скоростей молекул. Возражение основано на теореме Пуанкаре, в которой утверждается, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, за достаточно большой промежуток времени возвратится как угодно близко к начальному сострянию при почти всех начальных условиях. Из этой теоремы следует, что спустя время возвращения положения и скорости молекул могут стать столь близки к начальным, что макроскопические величины (плотность, температура и т. д.), подсчитанные по ним, должны быть практически теми же, что и в начальном состоянии. Следовательно, энтропия, которую можно подсчитать по макроскопическим величинам, также должна быть практически той же, и если она вначале возрастает, то должна уменьшаться в какой-то более поздний момент. На это возражение обычно отвечают, что время возвращения столь велико, что в сущности никогда не наблюдались значительные части цикла возвращения действительно, время возвращения для обычного количества газа будет огромным, даже если за единицу измерения времени принять примерный возрасг Вселенной. Не говоря уже о применимости принятой модели классических точечных молекул, ясно, что при таком огромном. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...