Энергия осциллятора

По тем же соображениям, что в 3.2, можно заключить теперь, что в равновесном состоянии все вклады в полную среднюю энергию осциллятора и , фигурирующую в формуле (3.11), должны быть одинаковыми, поскольку должно оставаться неизменным в любом [c.62]

Поэтому в равновесном состоянии будут одинаковыми 1) средняя кинетическая энергия молекул. газа, 2) средняя кинетическая энергия осцилляторов и 3) их средняя потенциальная энергия. При нормальных условиях все они должны быть равны приблизительно 4,5 10 К—величине, которую мы установили в 2.2 для средней кинетической энергии молекул газа. [c.66]

А среднюю энергию осциллятора найдем, взяв в качестве 2 выражение (7.11) [c.156]

Согласно формуле (7.18), средняя энергия осциллятора = ЗТ, откуда для теплоемкости в расчете на один атом твердого [c.174]

Однако, это предположение приводит еще к одному весьма необычному следствию, имеющему общее значение если оно справедливо, то легко понять, что энергия осциллятора уже не может быть произвольной. [c.176]

Первоначальные попытки осмыслить предположение Планка о дискретности энергии осциллятора не заходили слишком далеко. С облегчением было замечено, что ввиду малости А эта дискретность не играет никакой роли для макроскопических осцилляторов, энергия которых неимоверно велика по сравнению с Аоа/2я. Поэтому возникла идея, что классическую механику нужно просто дополнить новым принципом, позволяющим отбирать из всех возможных классических движений только те, энергия которых имеет разрешенную величину. [c.177]

Мы можем теперь вычислить среднюю энергию осциллятора, используя формулу (7.16) и = - 3 1п Z/Зp, которая остается справедливой, как и все те результаты, при получении которых мы не предполагали (пусть даже и неявно), что фазовую плоскость можно напичкать состояниями до беспредельности. Из нее легко получить [c.178]

В такой ситуации небольшое возрастание температуры практически не изменит величину вероятностей, и средняя энергия осциллятора останется практически неизменной. Но это и значит, что его теплоемкость будет близка к нулю. [c.179]

ВЫСОКИХ температурах, когда Т На, эта дискретность, однако, практически ни в чем не проявляется, и средняя энергия осциллятора равна Т. Поэтому при таких температурах средняя энергия молекулы будет равна 7Т/2, и ее теплоемкость = 7/2. [c.184]

Но при температурах Т <к йш колебания осциллятора вымерзают . По той же причине, по которой вымерзают колебания атомов твердого тела. Мы говорили об этом в 8.3. Поэтому при таких температурах средняя энергия осциллятора становится близкой к нулю, и теплоемкость газа стремится к значению с = 5/2, как если бы молекула была совершенно жесткой. При этом уменьшение теплоемкости должно начинаться при тем более высоких температурах, чем выше частота колебаний атомов в молекуле, т.е. чем меньше их масса. [c.184]

Добротность осциллятора. Правильность полученного результата вызывает некоторое сомнение. Дело в том, что в основе нашей модели излучения лежит тот факт, что колебание осциллятора является незатухающим, происходящим по закону косинуса с постоянной амплитудой. Так как при этом осциллятор непрерывно излучал бы энергию согласно формуле (2.40), то принятая модель гармонического осциллятора не может быть верной, если потеря энергии за счет излучения при большом числе колебаний не составляет ничтожную часть средней энергии осциллятора. С целью выяснения, имеет ли это место в данном случае, определим полную энергию осциллятора [c.33]

Для оптических частот (vq = 10 с" ) Q 10 . Следовательно, потеря энергии осциллятора вследствие излучения настолько мала, что можно было бы взять среднюю энергию для большого числа колебаний и это среднее считать медленно меняющейся во времени функцией. [c.33]

Продолжительность излучения осциллятора. Найдем закон убывания энергии осциллирующей системы во времени. Очевидно, изменение энергии осциллятора в единицу времени определится выражением (2.40), т. е. [c.34]

Как отмечалось выше, потеря энергии вследствие излучения составляет ничтожную часть средней энергии осциллятора. Этот факт позволяет считать, что сила лучистого трения заметно мала по сравнению с квазиупругой силой. Зная теперь ее выражение, запишем (2.47) в виде [c.36]

Надо отметить, что, как это следует из формулы (14.28), среднее значение энергии осциллятора, приходящееся на каждую степень свободы, в действительности не является постоянной величиной, а зависит от частоты. С увеличением частоты эта энергия уменьшается, что является причиной предотвращения отмечавшейся выше ультрафиолетовой катастрофы . [c.332]

Гипотеза Планка. Как известно, в классической физике энергия любой системы, в том числе и гармонического осциллятора, может изменяться непрерывно. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, энергия осциллятора может принимать только дискретные значения, равные целому числу наименьшей порции энергии квантов — энергии Еа. [c.337]

Исходя из распределения Больцмана, легко доказать, что при дискретном расположении энергетических уровней средняя энергия осциллятора равна [c.337]

Мощность излучения И изл легко связать со средним значением энергии осциллятора [c.417]

Теперь можно подвести итоги всем проведенным вычислениям и оценкам. Осциллятор, находящийся в электромагнитном поле, спектральная плотность энергии которого L непрерывно поглощает мощность в количестве, определяемом выражением (8.31). В то же время он излучает по всем направлениям мощность, определяемую произведением коэффициента затухания и средней энергии [см. (8.25)]. В условиях равновесия надо приравнять излучаемую мощность той мощности, которую осциллятор забирает от воздействующего на него электромагнитного поля. Это позволит получить искомую связь между плотностью энергии поля Uy и средней энергией осциллятора . [c.420]

Напомним, что этот результат сразу получается из применения теоремы Больцмана для вычисления среднего значения интересующей нас величины — энергии осциллятора. Для этого необходимо просуммировать по всем непрерывно изменяющимся значениям энергии W ее произведение на относительную вероятность ехр[—W/ kT) того, что в равновесии встретится состояние, характеризуемое этим значением энергии, и отнести этот интеграл к нормирующему множителю, получающемуся при суммировании относительной вероятности по всем значениям непрерывно изменяющегося значения W [c.421]

Вычисление средней энергии осциллятора легко провести, заметив, что каждый член геометрической прогрессии в числителе выражения (8.38) с точностью до знака равен производной по 1/ кТ) от соответствующего члена прогрессии, находящейся в знаменателе этого соотношения [c.424]

Итак, для среднего значения энергии осциллятора получилось совсем иное значение, чем при использовании закона классической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Подставляя (8. 39) в исходное выражение (8. 32), имеем [c.424]

Когда X = О, полная энергия осциллятора представляет собой кинетическую энергию в конечных точках, где изменяется направление движения, скорость v обращается в нуль и полная энергия представляет собой потенциальную энергию. Поэтому, если обозначить максимальное смещение через А, то полная энергия будет равна [c.171]

Рис. 7.12. График зависимости потенциальной энергии осциллятора, для которого Q равно 8л, от времени. В момент вре менн t, когда произошло четыре полных колебания, ордината точки на огибающей кривой в е раз меньше первоначального значения функции.

Рис. 7.12. <a href="/info/460782">График зависимости</a> <a href="/info/6472">потенциальной энергии</a> осциллятора, для которого Q равно 8л, от времени. В момент вре менн t, когда произошло четыре <a href="/info/40709">полных колебания</a>, ордината точки на огибающей кривой в е раз меньше первоначального значения функции.

Мы видим, что величина (Оот может служить удобной харак-теристикой отсутствия затухания осциллятора. Большим значениям (Оот или Q соответствует слабое затухание осциллятора. Из (98) и (99) следует, что энергия осциллятора за время т уменьшается в е раз от своего первоначального значения за это время осциллятор совершает (Оот/2л колебаний. Порядок величины добротности некоторых важнейших типов затухающих осцилляторов приведен в таблице. [c.225]

По классическим законам осциллятор частоты V может заключать в себе любое количество энергии, ибо энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды в соответствии с этим и излучающий осциллятор может испустить за единицу времени любое количество энергии. Эти простые законы согласно заключению Планка не имеют места. Гармонический осциллятор частоты [c.698]

Действительно, если V не очень велико, то порция настолько мала, что в наших опытах мы не можем установить, содержит ли осциллятор целое или дробное число этих порций. Так, например, для Я = 3 мм величина hv составляет 6,626-10" Дж, и ни в одном опыте со сравнительно грубыми осцилляторами, настроенными на эту длину, мы не в состоянии оценить, является ли энергия осциллятора кратной этой малой величине ). Наоборот, для атомных осцилляторов частота, а значит, и элементарные порции энергии соответственно больше, а точность измерений атомных процессов такова, что расхождение между классическими и квантовыми представлениями становится весьма ощутительным выводы приближенных классических представлений оказываются в резком противоречии с опытом, тогда как рассуждения, учитывающие квантовую теорию, приводят к превосходному согласию с ним. [c.699]

В ЭТИХ формулах =3 10 см/с означает скорость света, к= 1,38-10 Дж/град—постоянная Больцмана (определяющая в классической теории среднюю энергию осциллятора кТ при абсолютной температуре Т) и /г = 6,626-10 Дж-с — постоянная Планка. Если v мало (или Т велико), так что hv/kT мало сравнительно с единицей, то формулу (201.2) можно упростить. Действительно, разлагая exp(hv/kT) по степеням hv/kT и пренебрегая высшими степенями, найдем формулу, совпадающую с (201.1). [c.700]

Полную энергию осциллятора в момент времени t можно представить в виде [c.154]

Если ыоТ = 2я, TO осциллятор совершит одно полное колебание и после прекращения действия силы успокоится. Энергия осциллятора [c.158]

Система М трехмерных осцилляторов взаимодействует с внешним электромагнитным полем. Найти в дипольном пр бли-жении тензор диэлектрической проницаемости среды и приращение энергии осцилляторов. [c.284]

В этом проявляется эффект биений — периодический обмен (с частотой 2й = х/(0д) энергией осцилляторов. [c.307]

Здесь h—постоянная Планка i)3 — волновая функция Eh — полная энергия осциллятора. [c.151]

Рис. 6.2. Зависимость средней энергии осциллятора от температуры при Г<вэ

Рис. 6.2. <a href="/info/233993">Зависимость средней</a> энергии осциллятора от температуры при Г<вэ

Сомнения. Планк понимал, что идея квантования энергии осцилляторов и существования квантов энергии, испускаемых излучающими осцилляторами, выходит за рамки классической физики. Он писал ...Или квант действия был фиктивной величиной — тогда весь вывод закона излучения был принципиально иллюзорным и представлял просто лишенную содержания игру в формулы, или же при выводе этого закона в основу была положена правильная физическая мысль — тогда квант действия должен был играть в физике фундаментальную роль, тогда появление его возвещало нечто совершенно новое, дотоле неслыханное, [c.45]

Еще один интересный результат можно получить, если рассмотреть как единую систему газ вместе со стенками сосуда, в котором он находится. Полная энергия такой системы будет складываться из кинетической энергии молекул газа, кинетической и потенциальной энергии осцилляторов, представляющих колебания атомов в стенках, энергии связи этих атомов, которая была введена формулой (3.15), и, возможно, энергии взаимодействия между молекулами газа, если он не очень идеален. Эти две последние энергии никак не влияют на число возможных микросостояний (Астемы, и поэтому мы можем их игнорировать, равно как и энергию взаимодействия между газом и [c.65]

В самом деле, в соответствии с формулой (8.9) мы должны теперь считать, что каждое следующее состояние осциллятора отделено от предьщ гщего конечным интервалом энергии Ле = кт/2п. Ближе друг к другу по энергиям они никак не могут быть, потому что именно такой интервал Ле соответствует в точности одному состоянию. Таким образом, энергия осциллятора оказывается, как говорят, квантованной, и если принять за нуль самую меньшую из них, остальные должны принимать дискретные значения /гсо/2я, 2 Аф/2тг, 3 кф/2п и т.д. [c.176]

Гипотеза, выдвинутая Плаиком, заключается в том, что энергия осциллятора не может принимать произвольные значения, а должна быть кратной некоторой вполне определенной величине W[), называемой квантом энергии. Другими словами, энергия W должна быть равной nWQ, где п — обязательно целое число (п = 1,2,3,.. . ). Это значит, что излучаемая и поглощаемая осциллятором энергия также может принимать лишь вполне определенные (квантованные) значения, т.е. излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а определенными порциями — квантами. [c.423]

В этом случае в качестве модели можно выбрать твердое тело, атомы которого совершают малые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Каждый атом независимо от соседей колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. имеет три независимые колебательные степени свободы. Как мы видели в предыдущей главе, такой атом можно уподобить совокупности трех линейных гармонических осцилляторов. При колебаниях осциллятора происходит последовательное преобразование кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую. Поскольку средняя кинетическая энергия, составляющая квТ/2 на одну степень свободы, остается неизменной, а средняя потенциальная энергия точно равна средней кинетической, то средняя полная энергия осциллятора, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, составляет ksTi. [c.164]

Гипотеза Планка находится в резком противоречии с законами классической физики, потому что согласно этим законам все величины (энергия, импульс, действие) могут иметь произвольные, сколь угодно малые значения и могут меняться непрерывно. Так, по классическим законам осциллятор частоты V может заключать в себе любое количество энергии, поскольку энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды. Отсюда следует, что излучающий осциллятор может испускать за единицу времени любое количество энергии. Моделируя теоретически абсолютно черное тело в виде бесконечной совокупности гармонических осцилляторов, каждый из которых дает отдельную монохроматическую линию, а все вместе — сплошное черное излучение, и пользуясь законами, управляющими поведением этих осциллято- [c.140]

К формуле (2.2.1) Планк пришел, опираясь на формулу Вина (2.1.9) и исследуя равновесие между процессами испускания и поглощения электромагнитного излучения равновесным коллективом линейных гармонических осцилляторов (так называемых вибраторов Герца). Он рассматривал энтропию осцилляторов, в частности вторую производную энтронии S по средней энергии осциллятора < >. Обратная величина этой производной фактически есть средняя квадратичная флуктуация энергии [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...