Задача интегрировании

Если бы мы располагали полной системой первых интегралов, то задача интегрирования дифференциальных уравнений полностью была бы заменена задачей обращения этих интегралов. Поэтому в тех случаях, когда заданная система этих интегралов не является полной, т. е. когда т< 2п, центральной является задача об увеличении числа первых интегралов. На первый взгляд эта задача кажется несложной. Действительно, если взять произвольную функцию т переменных и подставить вместо этих переменных известные нам т первых интегралов, то в результате получится новая функция гамильтоновых переменных, которая также будет сохранять неизменное значение во время движения [c.267]

В общем случае приведенные моменты могут быть функциями переменных с, о , t. Задачу интегрирования тогда решают приближенными методами, чаще всего с использованием ЭВМ. [c.391]

Принцип решения задачи — интегрирование радиационных потерь энергий в отдельном акте взаимодействия (описываемых формулами, приведенными в гл. III) по всему истинному пути электрона в веществе с учетом потерь энергий и кулоновского рассеяния электрона. Это представляет весьма трудную задачу. На рис. 15.3 приведены рассчитанные данные о выходе тормозного излучения для энергии электронов до 30 Мэе и мишеней из золота и алюминия [4]. В этом [c.233]

Учет силы трения значительно усложняет задачу интегрирования дифференциальных уравнений движения несвободной материальной точки. [c.227]

Если известны первые интегралы, то задача интегрирования системы дифференциальных уравнений облегчается. Хотя отдельные [c.255]

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (3) црл заданных начальных условиях в общем случае является довольно трудной. Даже в простейшем случае прямолинейного движения, когда имеется только одно дифференциальное уравнение, его решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной. зависимости силы от времени t, координаты х и скорости а. Поэтому важно определение таких соотношений из системы уравнений (9), которые являются следствиями этой системы и в которые входят производные от координат точки только первого порядка. Такие соотношения, например, в виде f t] х, у, г х, у, z) = С называют первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (9). [c.234]

Если из системы (9) удается найти три независимых первых интеграла, то задача интегрирования упрощается, так как вместо интегрирования системы дифференциальных уравнений второго порядка достаточно проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, которую представляют эти первые интегралы. [c.234]

Задача интегрирования дифференциальных уравнений механической системы еще сложнее, если на механическую систему наложены связи, силы реакций которых заранее не известны и должны быть дополнительно определены по заданным силам и связям аналогично случаю движения несвободной материальной точки по поверхности и кривой [c.283]

Если известны первые интегралы, то задача интегрирования системы дифференциальных уравнений облегчается. Хотя отдельные первые интегралы и не могут полностью описать движения всех точек системы, однако они иногда характеризуют важные стороны движения системы в целом. [c.283]

Уже было отмечено, что задача интегрирования системы уравнений (а) приводится к квадратурам, если все координаты д, ( 12, , QN — циклические. [c.353]

Покажем, что решение задачи интегрирования канонических уравнений сводится к нахождению так называемого полного интеграла уравнения (11.350). [c.356]

Может казаться, что задача определения множителя М из дифференциального уравнения (II. 395) более сложна, чем задача интегрирования уравнения (т), но следует отметить, что для нахождения интеграла (11.399) достаточно найти частное решение дифференциального уравнения (11.395). [c.395]

Можно доказать, что достаточно найти только четыре первых интеграла, и задача интегрирования системы (III. 16) сведется к квадратуре. [c.414]

X, у, 2, X, у, 2. При этом решение второй задачи динамики приводится математически к задаче интегрирования трех совместных дифференциальных уравнений (6, 88) второго порядка относительно трех неизвестных функций X, у, 2, где независимым аргументом является время 1. Общие методы интегрирования этих уравнений пока не разработаны. Однако некоторые приемы построения решений системы дифференциальных уравнений (6, 88) можно указать. [c.456]

Может возникнуть вопрос почему решение уравнения (4.114) ищется в виде произведения (4.115) с разделенными переменными. Объясняется это тем, что если такие решения существуют, то определение функций (i), (х) должно свестись к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к задаче на порядок более простой, чем задача интегрирования уравнения в частных производных. Итак, для того, чтобы предложенный метод отыскания решения задачи (4.114), названный методом разделения переменных или методом Фурье, удалось реализовать, необходимо [c.155]

Если поставить плоскую задачу об определении упругих волн в ограниченном пространстве как задачу интегрирования волновых уравнений (10.20) и (10.21), то необходимо записать граничные условия через потенциалы ф и г ). [c.403]

В случае эллиптических координат на плоскости задача интегрирования уравнений движения точки приводится к квадратурам, когда силовая функция имеет вид [c.506]

Такова зависимость между t и эксцентрической аномалией. Теперь величины г,Ь ц. t явно выражены как функции от параметра и формулами (9), (10) и (11 и задача интегрирования решена, правда, в параметрической форме. [c.177]

Следовательно, в рассматриваемом случае задача интегрирования уравнений Эйлера распадается на две последовательные задачи интегрирования систем уравнений первого порядка. В общем случае приложенные силы зависят от положения твердого тела в пространстве, т. е. от углов ш, б и ф. Величины р, д, г нужно тогда заменить их значениями (2) в самих уравнениях Эйлера, и задача приводится к интегрированию совместной системы трех уравнений второго порядка. [c.88]

Задача интегрирования, таким образом, решена. Мы получили три частных решения уравнений движения одно из них дает вращение с постоянной угловой скоростью вокруг оси ОГ (это решение содержит одну произвольную постоянную), два других дают колебательные движения вокруг осей, наклоненных друг к другу (каждое из этих решений содержит две произвольные постоянные). Всего имеем, таким образом, пять произвольных постоянных. Так как уравнения относительно р, с], г линейные и без правых частей, то общее решение системы можно получить в виде суммы найденных частных решений. Полученное таким способом решение будет содержать пять произвольных постоянных, что позволит произвольно задать начальные значения функций р, д, г н двух их производных. [c.155]

Теперь в уравнениях Лагранжа можно д,г везде заменить выражением (5.4.5) само же q,i в уравнениях отсутствует. Таким образом, задача интегрирования уравнений Лагранжа может быть сведена к задаче с одними лишь нециклическими координатами. После решения этой последней, когда Qi и qi — уже известные функции t, их можно подставить в (5.4.5) и с помощью интегрирования определить qn- [c.152]

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений. [c.226]

А это уже задача интегрирования. Первая задача была проще, потому что она не требовала ничего, кроме дифференцирования и исключения переменных. Новая задача гораздо более трудная, и она будет подробно рассматриваться в следующей главе. Можно показать, что для каждой заданной функции Н может быть найдена соответствующая функция 5 более того, существует бесконечное множество возможных функций S. Построенная таким образом 5-функция [c.254]

ГПС при минимальном числе работающих может осуществлять различные функции обработку заготовок, сборку изделий и др. Для выполнения этих задач интегрированную ГПС комплектуют следующим оборудованием ЭВМ и другой микропроцессорной техникой станками с ЧПУ контрольно-измерительной автоматической техникой, промышленными роботами для загрузки оборудования межоперационным транспортом автоматизированным складом инструментов автоматизированной системой струж-коудаления. [c.254]

TO задача интегрирования этой системы уравнений сводится к нахождению канонических переменных q , q.2,. .., qg, Pi, р , р в фуикцит времени t и 2s произвольных постоянных. [c.374]

Так 1м образом, мы показали, что если известеи полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, то нет необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.1), т. е. задача интегрирования системы (6.1) заменяется задачей нахождения полного интеграла у1)авнения (6.12). [c.156]

Если t обобщенных координат будут циклическими, то из i первых интегралов (61.42) можно определить i обобщенных скоростей qh k=, . .., i) и подставип, их в функцию Лагранжа. Тогда функция L зависит от 5—i переменных qu и, следовательно, общее число дифференциальных уравнений движения уменьшается, что упрощает задачу интегрирования этих уравнений. [c.88]

Поэтому естественно поставить задачу о разыскании такого преобразования канонических переменных, которое, оставАяя инвариантной форму канонических уравнений (а), превращало бы все координаты в циклические. Если такое преобразование будет найдено, то задача интегрирования системы канонических уравнений будет приведена к квадратурам. Покажем, как можно найти такое преобразование. [c.353]

Это неравенство определяет нижнюю границу значения угловой скорости снаряда. Не нужно думать, что снаряду следует придавать ио возможности большую угловую скорость. Действительно, чем больше будет последняя, тем менее послушным будет снаряд при бесконечно большой угловой скорости собственного вращения снаряда его ось иод действием момента сил сопротивления конечной величины оставалась бы параллельной своему первоначальному направлению, т. е. не следила бы за направлением скорости центра тяжести снаряда. Требование, чтобы угол между осью снаряда и направлением скорости оставался в наперед заданных границах, приводит к установлению верхней границы величины Ыг. Установление этой границы требует знания углов аир как функций времени, что сводится к задаче интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений (1Ж) с переменными коэффициентами рассматриваемой в спещтйльных работах ). [c.629]

В случае, если жидкость является идеальной и несжимаемой (р = onst), задача интегрирования уравнении движения (81) сильно упрощается. На это указал впервые еще Эйлер, чье имя носят уравнения движения (81). Аналитические методы решения уравнений движения идеальной жидкости получили большое развитие, и в настоящее время изучено множество случаев обтекания тел (крылья, решетки крыльев, тела осесимметричной формы, всевозможные каналы и т. п.). Из совокупности работ этого направления образовалось важное направление современной механики — классическая гидродинамика. [c.91]

Вариациопные принципы и основанные на них вариационные методы играют важную роль в механике деформируемого твердого тела как в части получения дифференциальных уравнений задач, так и в части построения приближенных решений. К методам получения прнближеш1ых решений относятся методы Ритца — Тимошенко, Канторовича — Крылова, Бубнова — Галеркина и др. В основе всех этих методов лежат излагаемые ниже вариационные принципы в той или иной их комбинации. Хотя получение приближенных решений на основе этих методов при наличии мощных ЭВМ постепенно отходят на второй план, они все еще находят применение. В процессе применения ЭВМ на подготовительном этапе есть необходимость задачу интегрирования систем дифференциальных уравнений свести к задаче решения систем алгебраических уравнений. В этой части вариационные методы завоевывают все более и [c.186]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...