Геодезический поток

А н ос о в Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Тр. матем. инст. им Стек-лова 90 (1967). [c.381]

Результаты Синая были подготовлены длительным предыдущим развитием эргодической теории в обоих отмеченных в предыдущем примечании направлениях. Особенно большое значение имели работы по геодезическим потокам на многообразиях отрицательной кривизны, начатые еще Адамаром в 1899 г. и в известной степени завершенные в работах Д. В. Аносова 1962 г. [ДАН СССР, 151, 1250 (1963)]. Еще до завершения этого направления Н. С. Крылов в посмертно опубликованной книге Работы по обоснованию статистической физики (Изд-во АН СССР, 1950) отметил, хотя и не мог строго обосновать, аналогию мен ду геодезическими потоками и бильярдной системой.— Прим. ред. [c.383]

Из теоремы 1 можно вывести ряд любопытных утверждений, касающихся условий интегрируемости геодезических потоков на сфере и торе. Они сообщены автору С. В. Болотиным. [c.142]

Следствие 1. Предположим, что на двумерном аналитическом торе имеется замкнутая геодезическая, гомотопная нулю. Тогда геодезический поток, порожденный метрикой на Т , не имеет непостоянного аналитического интеграла. [c.142]

Отметим еще работу А. Катка [208], в которой доказана положительность топологической энтропии геодезического потока на замкнутой гладкой двумерной поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой. Положительность энтропии свидетельствует о сложности поведения фазовых траекторий (см., напри- [c.156]

Симметрии геодезических потоков на торе [c.157]

О, является полем симметрий. Оно гамильтоново, однако поле третьей степени Ни [Н — гамильтониан геодезического потока), также являющееся полем симметрий, уже не гамильтоново. [c.158]

Задача о структуре симметрий геодезического потока на сфере более сложная и пока не изучалась. В следующем параграфе рассмотрен упрощенный ее вариант если геодезический поток на двумерной поверхности допускает полиномиальное поле симметрий степени п, не коллинеарное полю v, то существует ли дополнительный по импульсам интеграл степени гг Практически во всех случаях ответ положительный. [c.158]

Симметрии геодезических потоков на торе соотношения [c.161]

Следствие. Если геодезический поток на торе имеет нетривиальное поле симметрий степени п 5, то существует независимый от Н полиномиальный интеграл степени не выше п. [c.175]

Полиномиальные интегралы геодезических потоков [c.402]

Если геодезический поток вообще не допускает дополнительного полиномиального интеграла, то степень неприводимого интеграла можно считать равной нулю. Ясно, что любой интеграл уравнений геодезических есть функция от неприводимого интеграла и гамильтониана Н. [c.403]

Какие значения может принимать степень неприводимого полиномиального интеграла Сначала рассмотрим локальный аспект этой задачи. В локальных изотермических координатах гамильтониан геодезического потока приводится к виду [c.404]

Полиномиальные интегралы геодезические потоков [c.405]

Обсудим теперь вопрос о неприводимых интегралах геодезических потоков на замкнутых поверхностях. Анализ примеров и известных результатов из этой области приводит к следующей гипотезе степень неприводимого интеграла геодезического потока на ориентированной поверхности рода р не превосходит 4 — 2р. [c.405]

Так как F2n+i — интеграл геодезического потока, то Е +х —голоморфная функция от Z = qi+ iq2 (лемма 1 из 2 гл. III). [c.407]

Козлов В. В, О группах симметрий геодезических потоков на замкнутых поверхностях // Матем. заметки,—1990, т. 48, М 5, 62-67, [c.421]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Теорема 1. Пусть М —геодезически выпуклое подмногообразие с отрицательной эйлеровой характеристикой. Тогда геодезический поток на Е не имеет непостоянного аналитического интеграла. Более того, аналитический интеграл заведомо отсутствует в каждой окрестности множества Е в Е. [c.142]

Обратимся к случаю, когда М гомеоморфна сфере 8 . Согласно знаменитой теореме Пуанкаре, на 8 всегда имеются три замкнутые песамопересекающиеся геодезические 7, (см., например, [72а]). Оказывается, интегрируемость соответствующего геодезического потока зависит от их взаимного расположения. [c.143]

О к геодезическому потоку на Л с некоторой полной метрикой. Пусть О — диск на комплексной плоскости С с достаточно большим радиусом. Тогда множество Л = ж 0) компактно и гомотопически эквивалентно Л. Согласно формуле Римана — Гурвица, х(Л) = 2 —п < О при п> 2. Докажем, что Л геодезически выпукло для этого рассмотрим такое движение г 1) с энергией /г > О, что г(0) 6 до и г(0) касается дО. По формуле Лагранжа имеем [c.145]

Из результатов Аносова, Клингенберга и Такенса следует, что в множестве всех геодезических потоков на гладких замкнутых римановых многообразиях существует открытое всюду плотное подмножество потоков без устойчивых периодических траекторий [7]. Поэтому свойство геодезического потока не иметь устойчивых периодических траекторий является свойством общего положения. Рассмотрим геодезические потоки на двумерной сфере. В этом случае М = T S , S = 50(3) и = Ъг. Следователь- [c.150]

I ельное рассмотрение. Действительно, в 1 приведен пример геодезического потока на гладкой сфере с > 1 ручками, допускающего непостоянный гладкий интеграл. В этом примере энтропия сосредоточена в небольшой области фазового пространства. Было бы полезным связать вопрос о наличии нетривиальных полей симметрий с положительностью топологической энтропии. [c.157]

Теоремы 1-3 из 8 приводят к следующему предположению, высказанному в работе [107а] если геодезический поток на замкнутой поверхности допускает полиномиальное поле симметрий степени п, не коллинеарное гамильтонову полю V, то существует дополнительный по импульсам интеграл степени не выше п. Эта гипотеза практически полностью доказана в [181а] (см. п. 2). [c.172]

Примером служит геодезический поток на двумерной сфере. В этом случае Е диффеоморфно 50(3) и поэтому выполнено (9.2). С другой стороны, на трехмерном торе имеются эрогодические динамические системы с инвариантной мерой и нетривиальными симметриями (см. п. 4 3 гл. И). [c.174]

Теорема 3 [181а]. Если геодезический поток на имеет нетривиальное поле симметрий степени п, то найдется многозначный полиномиальный по импульсам интеграл степени не выше п. Кроме того, если п нечетно, то обязательно существует однозначный полиномиальный интеграл. Если же п четно, то однозначный интеграл существует всегда, кроме тех случаев, когда конформный множитель Л удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в частных производных. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...