Функция плотности распределения

Если функцию плотности распределения p(aj выразить через фрактальную размерность D в виде [c.339]

Рис. 2.1. Стандартные функции плотности распределения (расшифровка линий дана в табл. 2.1)

Первичная статистическая обработка одномерной совокупности сводится к построению вариационного ряда — расположению статистической совокупности по возрастанию их численных характеристик, построению диаграммы накопленных частот — эмпирического аналога закона распределения и гистограммы — эмпирического аналога функции плотности распределения (см. 2.1). Затем определяются оценки среднего значения, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Рекомендуется следующий способ построения гистограммы. Сначала определяют число интервалов, на которое должна быть разбита ось абсцисс. Число интервалов к приближенно оценивается по полуэмпирической формуле [c.104]

Такая трактовка позволяет указать оригинальный способ вычисления интеграла (6.17). Вспомним, что в математической статистике математическое ожидание случайной величины оценивается по среднеарифметическому значению из совокупности результатов ее наблюдений, которые берутся из эксперимента. В методе Монте-Карло применяется такая же оценка, но результаты наблюдений берут не из эксперимента, а получают путем статистического моделирования на ЭВМ. Для этого реализуется специальная процедура генерирования последовательности значений независимых реализаций Xj,. .., xn случайной величины X с функцией плотности распределения р (х). Имея набор Xj,. .., хц, рассчитывают значения X,,. .., Я.Д, реализаций случайной величины Л Я,/ = f Xi) p Xi) и далее находят оценку математического ожидания Л по формуле [c.187]

Таким образом, погрешность формулы (6.22) можно уменьшать не только за счет увеличения N, но и за счет понижения о Л . Второй путь можно реализовать специальным выбором функции плотности распределения р (х). [c.187]

Остановимся для примера на расчете рассмотренного выше углового коэффициента Флв- d (см. рис. 6.6) методом Монте-Карло. В качестве случайного вектора X здесь выступает совокупность двух значений координат х, у). Для получения простейшей функции плотности распределения р (х, у) можно принять, что компоненты хну статистически независимы и равномерно распределены на соответствующих интервалах своего изменения [а, Ь и [с, dV. [c.188]

Сложней обстоит дело с выбором случайного значения полярного угла 0, так как его величина должна быть распределена на интервале [О, п/2] с функцией плотности распределения вероятности / (0), пропорциональной sin 0 os 0, т. е. [c.191]

Постоянную с найдем из условия нормировки функции плотности распределения вероятности [c.191]

Статистические структурные модели основываются на использовании тех или иных функций плотности распределения механических свойств микроструктурных составляющих при той или иной схематизации структур [37]. Это позволяет более обоснованно описать процесс деформирования в областях повышенной неоднородности полей деформаций и отразить роль структурной неоднородности металла на его сопротивление циклическому деформированию. [c.30]

Одномерная функция плотности распределения вероятностей [c.39]

ЭТИ качественные из-менения можно описать количественно. Ниже приводятся наиболее употребительные характеристики, используемые для онисания одномерных функций плотности распределения вероятностей п их свойств [181, 197]. [c.40]

На рис. 2.2 представлена зависимость дисперсии от параметра Л/н, подсчитанная по формуле (2.1) для функций плотности распределения, изображенных на рис. 2.1, Так как величина характеризует ширину кривой плотности распределения р х), то рост функции о (Мн) есть следствие отмеченной выше тенденции к размыванию кривых плотности при возрастании Ма. Рис. 2.2 можно также интерпретировать следующим образом мощность вибрационного сигнала редуктора возрастает при увеличении нагружающего момента до некоторого предела (Мн 9 тм), а затем начинает уменьшаться. [c.41]

Во многих практических случаях совокупность моментов распределения, если они существуют, полностью характеризует функцию плотности распределения вероятностей- Это значит, что теоретически все свойства акустического случайного процесса можно выразить через моменты распределения и что распределения, имеющие одинаковые моменты, не отличаются друг от дру- [c.41]

Асимметрия. Центральный момент третьего порядка Хз используется для характеристики степени асимметрии функции плотности распределения вероятностей [c.42]

Па рис. 2.4 представлены значения (г для распределений, изображенных на рис. 2.1. С возрастанием нагружающего момента эксцесс увеличивается, что говорит о расплывании функции плотности распределения Р(х). [c.43]

Ф также очень часто встречается среди машинных сигналов. Несмотря на то, что он описывается детерминированной функцией, его можно, как было показано выше, рассматривать как реализацию некоторого эргодического случайного процесса и по нему вычислять функции плотности распределения, среднее значение, дисперсию и другие моменты распределения. [c.45]

График этой функции изображен на рис. 2.6, б (кривая 1). При приближении к концам интервала х - а она неограниченно возрастает. Это является следствием того, что функция (2.7) имеет здесь экстремумы и даже при очень малых Аж, как это следует из (2.8), время пребывания сигнала в этом интервале, а значит, н вероятность р(х)Ах остаются конечными. При практических измерениях с помош,ью приборов или вычислениях на ЭЦВМ функции плотности распределения бесконечностей не получается. [c.45]

Абсолютное значение производной здесь написано из-за того, что функция р2 у) должна быть всюду положительной. Из формулы (2.17) следует, что линейное преобразование T)(i)=A (i) не меняет функции плотности распределения, увеличивая в к раз среднее значение и стандартное отклонение. [c.50]

Общие свойства. Двумерная функция распределения Р(ж1,Х2) двух акустических случайных процессов (сигналов) i(f) и определяется как вероятность того, что амплитуды сигналов не превышают значений Xi и Х2 i(0 < i, г(0 < Жг. Двумерная функция плотности распределения вероятностей равна производной от функции распределения р х, X2)=d P xi, х2),1дх дх2. Связь между этими функциями и соответствующими одномерными функциями плотности распределения р х ) и pz Xi) задается следующими формулами [c.52]

Геометрически двумерные функции плотности распределения вероятностей представляются поверхностями в пространстве х, х2,р , х2) . На рис. 2.10 в качестве примера приведены функции плотности совместного распределения двух вибрационных сигналов, измеренных на испытуемом и нагружающем редукторах стенда [38]. Поверхности здесь изображены в виде линий равного уровня на каждой кривой функция p xi, х ) имеет постоянное значение. Из рис. 2.10 хорошо видно, что при изменении нагружающего момента двумерные функции плотности распределения, как и одномерные (см. рис. 2.1), существенным образом видоизменяются. [c.54]

Напомним ряд формул из теории вероятностей. Рассмотрим непрерывную случайную величину X, принимающую значения только из промежутка (а, 61 и имеющую функцию плотности распределения вероятности р (л ), а также вторую случайную величину Л, связанную с X функционально швисимостью Л = г з (X). Математическое ожидание величит, Л — Е X pa 4HTbiBiieT H по формуле [c.186]

Введение отношений переменных напряжений к средним по сечению z = ajaa и функции плотности распределения этих отношений f(z), удовлетворяющей уело-00 [c.107]

На рис. 7.5 представлена схема кривой усталости, где одновременно нанесены функции плотности распределения P(lgN). Дисперсия S(lgiV) обычно зависит от амплитуды напряжения, увеличиваясь с ее уменьшением. Заштрихованные площади на графиках плотности распределения характеризуют накопленную вероятность разрушения P(lgAl) для числа циклов ilV. Если нанести точки, соответствующие P(lg JV) = onst, то через них можно провести кривую усталости, изображенную пунктиром. Эта кривая соответствует равной вероятности разрушения Р. [c.132]

Пример 8.1. Проводится определение запаса прочности и вероятности разрушения для определенной детали парка находящихся в эксплуатации однотипных стационарно нагруженных изделий применительно к многоопорному коленчатому валу однорядного четырехцилиндрового двигателя, поставленного как привод стационарно нагруженных насосных, компрессорных и технологических агрегатов. Основным расчетным случаем проверки прочности для этой детали является циклический изтиб колена под действием оил шатунно-лоршневой группы. Эти силы при постоянной мощности и числе оборотов двигателя находятся на одном уровне с незначительными отклонениями, связанными глайным образом с отступлениями в регулировке подачи топлива и компрессии в цилиндрах. Причиной существенных отклонений изгибных усилий является несоосность опор в пределах допуска на размеры вкладышей коренных подшипников и опорные шейки вала, возникающая при сборке двигателя, а также несоосность, накапливающаяся в процессе службы от неравномерного износа в местах опоры вала на коренные подшипники. Соответствующие расчеты допусков и непосредственные измерения на двигателях позволили получить функции плотности распределения несоосности опор и функцию распределения размаха [c.175]

Развитие вероятностных методов расчета на прочность при мпо-гоцикловой усталости с использованием расчетных завпси.мостей для статистического запаса прочности (6) и вероятности разрушения связано с необходимостью оценки параметров распределения (среднее значение и дисперсия) вблизи центра рассеяния и функций плотности распределения пределов выносливости и действующих напря- [c.67]

Однако в инженерной практике расчетов конструкций имеют место случаи, когда распределение случайных величин физикомеханических параметров и действующих нагрузок отличается от нормального закона распределения. В этом случае функцию плотности распределения любого сложного закона можно представить в виде ряда Грамм—-Шарлье, в котором члены ряда являются функциями плотности нормального распределения. [c.107]

Эргодический процесс является прежде всего стационарным случайным процессом. Стационарность предполагает независимость функций плотности распределения вероятностей от сдвига по времени. Вследствие этого для стационарных случайных процессов все моменты распределения также не зависят от начала отсчета времени. Стационарность является необходимым, но не достаточным условием эргодичности случайного процесса. Для того чтобы стационарный процесс был эргодическим, нужно, чтобы характеристики, полученные усреднением по одной реализации, не отличались от аналогичных характеристик, полученных усреднением по другим реализациям. Свойство эргодичности существенным образом облегчает анализ акустических сигналов. По-, скольку для них в этом случае средние статистические величины равны средним по времени, все функции плотности распределения вероятностей могут быть получены не по совокупности реализаций, а лишь по одной из них. Так, функция р(х), не зависящая от времени t в силу стационарности процесса, равна относительному времени пребывания сигнала п(О между уровнями а и ж -f Ад , а функция корре.чяции равна среднему по времени произведению [c.14]

Функции плотности распределения вероятностей а кустичеоких сигналов машин и механизмов представляют собой определенные на всей действительной оси неотрицательные непрерывные и почти всюду дифференцируемые функции. Б качестве примера на рис. 2.1 изображено несколько функций плотности распределения амплитуд вибраций одного из редукторов для различных значений нагружающего момента [37]. Легко видеть, что изменение режима работы редуктора сильно влияет на функции плотности [c.39]

Модальность. Модой называется значение jUm амплитуды исследуемого акустического сигнала t), при которой его функция плотности распределения вероятностей р х) достигает свйего максимума dp im)ldx = 0, Функции плотности, изображенные на рис. 2.1, обладают различной модальностью. Для малых нагружающих моментов плотности распределения одномодальны, Цт близко к нулю. Для Л/н > 2 функции плотности распределения становятся двумодальными и даже многомодальными. Величины двух главных мод ц,т имеют тенденцию к увеличению по мере возрастания Мп. Значение амплитуды сигнала, при котором достигается минимум функции плотности р х), называется антимодой. [c.40]

Появление тройки связано с тем, что для нормальных распределений (см. ниже) 2 — 0 и эксцесс, как говорят, нормален. В отличие от величины i, эксцесс характеризует лишь свойства симметричной части функции плотности р х) и не реагирует на ее антисимметричную составляюш ую. Для двух функций плотности pi(x) и р2 х) эксцесс будет больше для функции pi x), если она стремится к нулю медленнее, т. е. если pi (х) > р2 (х) при 1ж оо. В частности, если функция плотности распределения р х) спадает до нуля при больших а медленнее по сравнению с нормальным распределением, обладаюш им теми же математическим ожиданием и диснерсией, то эксцесс (2.5) у нее положителен. Наоборот, если она надает до нуля быстрее нормального, ее эксцесс отрицателен. Поскольку площадь под всей кривой р х) всегда равна единице, то для более пологих распределений с большим аксцеосом функция р(х) более узкая вблизи среднего значения (часто и более высокая), а для распределений с отрицательным эксцессом, напротив, функция плотности р х) сосредоточена вблизи среднего значения и имеет поэтому более широкую вершину - По этой причине эксцесс называют иногда вер-шинностъю. [c.43]

Возвращаясь снова к распределениям вибрационных сигналов редуктора, изображенным на рис. 21, мы можем теперь их интерпретировать как функции плотности распределения вероятностей суммы двух сигналов близкого к нормальному и гармонического. Для малых нагрузок Жн амплитуда гармонической составляющей мала и распределение близко к нормальному, Б частности, имеет одну моду. При увеличении Мп амплитуда гармонической составляющей сигнала возрастает, расиределение становится двумодальным и все более широким. Результаты спектрального анализа подтверждают сказанное в полосу анализа входит зубцовая частота, амплитуда зубцовой гармоники увеличивается с ростом нагружающего момента М . [c.46]

Представление распределений. Одной из самых важных задач вероятностного анализа акустических сигналов машин и механизмов является достаточно полное и удобное представление экспериментально полученных функций плотности распределения вероятностей. С одним из способов представления, правда, косвенно, мы уже знакомы — это моменты распределения. Представляют интерес также способы непосредственного оппсаипя функций плотности распределения с помощью подходящих математических формул. [c.46]

Для описания распределения акустических сигналов машпн и механизмов более удобны два других пути. Один из них связан с разложением функций плотности распределения в ряды по подходящей системе функций, другой — с отысканием такого преобразования, которое переводило бы некоторый сигнал с известным распределением, например нормальным, в сигнал с за- [c.46]

Разложение в ряды. Существует множество полных систем функций, по которым можно однозначно разлагать непрерывные достаточно быстро убывающие при больших х функции. Но не все такие разложения равнозначны для целей анализа. Наиболее удобным является такое разложение, которое имеет наилучшую сходимость и поэтому достаточно хорошо аппроксимирует данные функции плотности распределения конечным числом членов ряда. Таким образом, функции, по которым разлагаются заданные распределения, до.чжны быть похожими на разлагаемые функции и, кроме того, обладать удобным соотношением ортогональности для вычисления коэффициентов разложения. [c.47]

В качестве примера на рис. 2.8 приведено представление функции плотности распределения, изображенной на рис. 2.1 (Afe == 4), с помопцью трех первых членов ряда (2.14). Также тремя членами разложения ряда можно представлять и другие двумодальные распределения из рис. 2.1. Для удовлетворительного описания трех- и многомодальных распределений нужно использовать функции Чебышева — Эрмита более высокого порядка. [c.49]

Рассмотрим подробнее, как изменяется одномерная функция плотности распределения вероятностей сигнала при его прохош- [c.50]

Между амплитудными значениями ж и г/, а также между интервалами S.X и Дг/ существует функциональная связь х = = S y) и Аж — (dxldy)Ay, где —функция, обратная к g. Подставляя эти соотношения в равенство (2.16), получим для функции плотности распределения вероятностей выходного сигнала формулу [c.50]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...