Приближенные локальные методы решения

ГЛАВА П. Приближенные локальные методы решения [c.27]

Метод Чепмена—Энскога. В 1911—1920 гг. Чепмен и Энског разработали метод решения кинетического уравнения Больцмана, основанный на теории возмушений. По этому методу функция распределения разлагается в степенной ряд по малому параметру е, используя в качестве нулевого приближения локальное распределение Максвелла о [c.143]

Применение метода сферических гармоник при расчетах теплообмена излучением в диффузионном приближении. Эффективным средством решения уравнения переноса является метод сферических гармоник. Этот метод достаточно хорошо разработан в приложении к решению кинетического уравнения переноса нейтронов. Запишем уравнение переноса излучения в предположении, что процесс является стационарным и рассеянием можно пренебречь, излучение серое. Кроме того, предположим, что излучение находится в локальном термодинамическом равновесии и, следовательно, спонтанное испускание излучения зависит только от локальной температуры Т. Тогда [c.175]

Для одношаговых методов существуют два основных способа оценки локальной погрешности на шаге. При первом — интегрирование от точки Tj до точки Ту+1 осуш,ествляется по схеме одного и того же порядка точности р дважды с шагом Лт и с шагом Ат/2. Можно доказать, что в этом случае для локальной погрешности решения, найденного с шагом Ат/2, справедлива следующая приближенная оценка [c.37]

Подавляющее большинство методов решения задачи безусловной минимизации в действительности являются методами поиска точки локального минимума. Чтобы найти точку глобального минимума, на практике ее местоположение приближенно определяют из анализа решаемой задачи, а затем применяют один из методов поиска локального минимума. [c.141]

Метод крутого восхождения. Этот метод (метод Бокса — Уилсона) напоминает итерационный метод решения задач вычислительной математики. На основе малой серии опытов находится локальное описание поверхности отклика с помощью математической модели линейного вида. Затем двигаются по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения оказывается недостаточно, то проводится новая. небольшая серия опытов и находится новое направление для движения по поверхности отклика. Процесс движения продолжается до тех пор, пока не будет найдена почти стационарная область, где линейное приближение окажется уже недостаточным. [c.194]

Ценность классов, точных в указанном выше смысле, решений определяется мно гими факторами. Прежде всего важна физическая содержательность таких решений. Для целого ряда физических и механических явлений удается получить аналитические решения и дать их подробный анализ (несколько таких ситуаций будет описано в разделе II), хотя, конечно, их построение — редкая удача. Знание аналитического представления решения особенно ценно при большом количестве входных парамет ров тогда обычно легко проанализировать свойства такого решения и использовать его с целью оптимизации каких-либо характеристик. Если решения содержат различные особенности, в частности физического плана (например, ударные волны, контактные разрывы, пограничные слои в механике газа и жидкости), их естественно использовать и в качестве тестов при исследовании точности приближенных численных методов. Знание типовых аналитических представлений, передающих локальные особенности возникающих в физической задаче решений, очень существенно также для повышения эффективности и качества численных расчетов, когда эти особенности выделяются аналитически явно и рассчитываются лишь достаточно гладкие поля физических величин. [c.15]

Асимптотические методы решения уравнений Навье — Стокса нашли применение к задачам обтекания малых препятствий или неровностей, расположенных в основании пограничного слоя [59, 60]. В работе [59] рассматривается обтекание несжимаемой жидкостью единичной шероховатости , т. е. выступа с высотой, много меньшей толщины пограничного слоя. Исследуется такой режим течения, при котором число Рейнольдса, вычисленное по характерному размеру выступа и скорости внутри пограничного слоя на высоте выступа, у таЪ, велико. Поэтому в первом приближении для области с характерным размером порядка высоты выступа задача сводится к решению уравнений Эйлера. Использование принципа сращивания асимптотических разложений позволяет определить граничные условия в набегающем на выступ потоке и вдали от него. В этих местах возмущения, вносимые выступом, должны затухать. Невозмущенный поток локально имеет вид и у, у = 0. Коэффициент пропорциональности в формуле для и должен соответствовать местному значению напряжения трения на дне невозмущенного пограничного слоя. В работе [59] исследованы также течения около выступов, постепенно понижающихся вверх и вниз по потоку. Показано, что при слишком резком [c.262]

Все задачи нелинейной теории ползучести очень трудны. Ниже описан приближенный подход к решению контактных задач степенной установившейся ползучести в случае, когда одно из контактирующих тел является жестким штампом, имеющим углы, а другое — тонким деформируемым слоем или полуплоскостью. Метод основан на идее сращивания локальных и проникающих решений. Основными его достоинствами являются ясность предположений и простота вычислений. При изложении материала в основном следуем [24]. [c.539]

Главная особенность решения, получаемого в приближении диффузии излучения, заключается в том, что локальная интенсивность излучения зависит только от величины локальной интенсивности черного излучения и ее градиента. Приближение диффузии излучения существенно упрощает решение ряда задач теории переноса, если выполняются использованные при его выводе допущения. Наиболее жестким является предположение о том, что среда оптически толстая. Именно это условие ограничивает обычно применение данного метода. [c.144]

В общем случае достаточно эффективным оказывается применение алгоритмов с комбинацией методов статистических испытаний (Монте-Карло) и покоординатного поиска. Для ограничений достаточно общего вида (7.22) путем введения соответствующих масштабов строится многомерный куб. В этом кубе путем статистических испытаний с определенной вероятностью находится аппроксимирующая управляющая функция, которая принимается за начальное приближение к глобальному оптимуму. Принимая полученное решение за начальное, методом покоординатного поиска находится ближайший локальный оптимум. Если начальное решение находится в сфере притяжения глобального оптимума, то полученное после покоординатного поиска решение можно считать окончательным. При наличии овражных ситуаций можно использовать специальные приемы, например поворот координатных осей. [c.217]

Первая группа методов характеризуется тем, что точные дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи путем введения рабочих гипотез, основанных на физических соображениях и результатах эксперимента, заменяют приближенными. Одновременно упрощают и краевые условия, которые ставят в интегральной форме для определенных участков контура (напри.мер, вместо напряжений принимают усилия) или в локальной форме для отдельных линий сечения контура (например, в методе начальных функций, см. гл. 7). При указанной постановке задач, как правило, не удовлетворяются уравнения неразрывности деформаций. Задачи, решенные этими методами, приведены в первых восьми главах настоящей книги. [c.7]

Сформулирована задача построения оптимальных (по интегральному критерию качества) законов движения манипуляторов при выполнении ими транспортных и технологических операций и показано, что ее можно свести к известным задачам вариационного исчисления. Применительно к плоскому манипулятору с тремя степенями свободы оптимальные движения построены в явном виде. Приводится сравнительный анализ оптимальных решений для транспортной и технологической операций и сопоставление этих результатов с приближенным решением, полученным методом локальной оптимизации. [c.181]

Движение теплоносителя в активной зоне ядерных реакторов является, как правило, турбулентным. Процессы, связанные с турбулентностью, сравнительно легко поддаются решению только в некоторых простых случаях. При решении же задач гидродинамики и теплообмена в активной зоне трудность описания турбулентного потока усугубляется сложностью геометрических форм элементов активной зоны, неравномерным характером энерговыделения и необходимостью определения локальных характеристик. Эти обстоятельства потребовали применения комплексного расчетно-экспериментального подхода к решению задач и создания новых методов (приближенное тепловое моделирование, учет анизотропности турбулентного обмена в сложных каналах, модель пористого тела и т. п.) с широким применением ЭВМ. На наш взгляд, только комплексный подход позволит получить наиболее полное представление о сложных процессах гидродинамики и теплообмена в активных зонах реакторов и создать надежные расчетные рекомендации. Диапазон теплогидравлических расчетов весьма широк от инженерных оценок по приближенным формулам до численных расчетов на математических моделях с помощью ЭВМ в зависимости от стадии проектирования ядерного реактора и степени изученности тепло-физических процессов. [c.7]

Весьма интересным в связи с оценкой перспектив резольвентного метода определения локальных плотностей излучения является сопоставление полученных с его помощью результатов с решениями, основанными на итерационном методе при классическом подходе, описанном выше. Последний метод позволяет находить локальные плотности излучения с различной степенью приближения и основан на непосредственной алгебраической аппроксимации интегрального уравнения теплообмена излучением. [c.259]

Результаты расчета средних температур жидкости и газа, представленные на рис. 4-7, качественно и количественно близки данным, полученным, например, по методу, изложенному в работе [26]. Был выполнен также вариант расчета с квадратическим распределением параметров после смыкания слоев, который показал, что, во-первых, предложенный метод обеспечивает соответствие средних параметров и количества переданной теплоты независимо от профиля (линейного или квадратического) и, во-вторых, что локальные параметры газа по оси потока, которые зависят от профиля распределения температур и концентраций сред, имеют отклонения от реальных, т. е. квадратический профиль так же, как и линейный, является приближенным. Это приближение основано на аппроксимации профиля полиномом второй степени и соблюдении граничных условий только в двух точках (у = О, г/ = бм). Точный профиль может быть определен путем решения дифференциальных уравнений пограничного слоя, составленных без упрощений и допущений с учетом всех факторов, влияющих на взаимосвязанные процессы тепло- и массообмена [34]. [c.123]

Экстремальные свойства функционала (6.77) позволяют для решения задачи термоупругости в теле из нелинейно-упругого материала применить метод локальных вариаций [531. Располагая нулевым приближением для вектора узловых значений пере- [c.252]

Проведенный анализ показал невыпуклость области допустимых значений параметров теплоэнергетических установок. В сочетании с дискретностью изменения некоторых параметров и технологических характеристик узлов и элементов установки это обусловливает возможность существования множества локальных минимумов функции расчетных затрат по теплоэнергетической установке. В настоящее время нет общего эффективного метода определения абсолютного оптимума из множества локальных. При решении задач оптимизации пока приходится ориентироваться на применение приближенных методов [1, 2, И], что требует дальнейших разработок методов поиска абсолютного минимума функции цели. [c.12]

В работе рассматривается стационарный ламинарный по граннчный слой ПЛОСКОЙ пластинки с учетом излучения и (поглощения серой среды, находящейся в локальном термодинамическом (равновесии. Для постоянных чисел Рг, К предлагается приближенный метод решения системы уравнений пограничного слоя, сводящий задачу к решению одного алгебраи ческогю уравнения. [c.481]

Среди других приближенных методов решения задачи ДМП отметим метод локальной оптимизации. Так как пространство D метризовано, то можно использовать понятие а-окрестности S (X ) текущей точки поиска Х . Вместо перебора точек во всем пространстве D осуществляется перебор точек только в S (X). Если F(X ) > F(XJ для всех X е S (ХЛ, то считается, что [c.180]

Среди приближенных методов решения задачи (4.30) часто используемым является метод локальной оптимизащш. Так как пространство D метризовано, то можно использовать понятие а-окрестности S (X ) текущей точки поиска Х . Вместо перебора точек во всем пространстве D осуществляется перебор только в SJXi). Если F(X)>F (Х ) для всех Х . е 8 (Х ), то считается, что найден локальный минимум целевой функции в точке Х . В противном случае точку X, в которой достигается минимум F(X) в S (X ), принимают в качестве новой текущей точки поиска. [c.182]

В четвертой главе представлен метод решения краевых задач механики микронеоднородных сред, названный методом периодических составляющих и основанный на выделении периодических составляющих из случайных полей упругих свойств, характеризуемых локальной корреляционной функцией с областью отрицательных значений. Исходной краевой задаче для композитов со случайной структурой ствг вится в соответствие вспомогательная кргьевая задача с теми же грвг ничными условиями для периодических композитов, при этом средние значения упругих модулей композитов случайной и периодической структуры совпадают. Случайные функции компонент вектора перемещений стохастической задачи представляются в виде двух слагаемых, одно из которых считается известным из решения задачи для композита периодической структуры. С использованием метода функций Г ина для однородной среды сравнения осуществлен переход к интегро-дифференциальному уравнению для искомой составляющей поля перемещений. Построены различные приближения решения в перемещениях, представленного в виде ряда корреляционное, сингулярное и обобщенное сингулярное. [c.10]

На основе принципа локальности и в подтверждение его получены новые решения краевой задачи теории упругости композитов со случайной структурой (см. гл. 3), а также приведены два новых метода решения краевых задач мехгшики композитов метод периодических составляющих (см. гл. 4) и метод локального приближения (см. гл. 5). [c.38]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

Дальнейшим развитием приближенных аналитических методов явилось исследование Л. Г. Лойцянского (1965), выдвинувшего идею переведения параметров ламинарного пограничного слоя (в частности, только что выше упомянутых) в число независимых переменных для преобразованных дифференциальных уравнений. Такое преобразование позволяет получить уравнения ламинарного пограничного слоя в универсальном виде, одинаковом для всех частных заданий распределения продольной скорости на внешней границе слоя. Характерной особенностью этих универсальных уравнений является то, что последовательные отрезки этих уравнений, содержащие только один, два, три и т. д. параметра, приводят соответственно к однопараметрическому, двухпараметрическому и вообще многопараметрическим решениям, учитывающим последовательно влияние только уклона кривой внешней скорости, затем уклона и кривизны этой кривой и далее более детальные геометрические ее свойства. Рационально обоснованным с этой точки зрения оказывается однопараметрический метод Л. Хоуарта (Ргос. Roy. So . London, 1938, А164 919, 547—579), использующий класс точных решений с линейным распределением скорости на внешней границе (второй и все следующие параметры равны нулю). Вместе с тем указывается рационально обоснованный путь построения следующих (двухпараметрического и многопараметрических) приближений. Было рассчитано некоторое, промежуточное между однопараметрическим и двухпараметрическим локально-двухпараметрическое приближение, представляющее решение универсального двухпараметрического уравнения, в котором сохранен второй параметр, но опущены производные по этому параметру. В этом смысле известное приближенное однопараметрическое решение Н. Е. Кочина и Л. Г, Лойцянского (1942) может рассматриваться как локально-однопараметрическое решение универсальных уравнений ламинарного пограничного слоя. График на рис. 7 показывает сравнение кривых зависимости приведенного коэффициента местного трения С = (U/6 ) (du/dy)y Q от первых двух параметров Д = U 6 /v и f2 — UU" вычисленных согласно локально-двухпараметрическому решению, со старым приближением К. Польгаузена, локально-однопараметрическим решением Кочина — Лойцянского и однопараметрическим решением Хоуарта, Как можно заключить из графика, старый польгаузеновский метод более пригоден при 2 <С О, что соответствует ии" <С О, т, е. выпуклым кривым распределения внешней скорости U (а ), а локально-однопараметрический [c.521]

В настоящем пункте мы обсудили приближенный метод решения задачи о теплопередаче от ламинарного диссоциирующего пограничного слоя к холодной стенке, основываясь на понятии локального подобия . Законность этого метода подтверждается сравнением с экспериментом, но не следует из строгой математической [c.137]

Метод Чепмена—Энскога позволяет найти решение уравнения переноса Больцмана (3.36) с помощью последовательных приближений. Этот метод не дает наиболее общего решения уравнения Больцмана. Он определяет частный вид решения, а именно решение, которое зависит от времени неявно через локальные плотность, скорость и температуру. Б гл. 5 мы рассмотрели этот тип решения при упрощающем предположении, что ( // Остолк —(/ — / )А- Здесь мы не будем делать этого предположения. [c.144]

В гл. VI, VII подробно анализируется большая гамма методов, широко используемых в настоящее время для численного решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек. В первую очередь изучены локальные методы (малого параметра, последовательных приближений, Ньютона — Канторовича), установлены пределы их применимости, приведены рекомендации по усилению эффективности. В гл. VII дано полное обоснование методов Бубнова — Галеркина и Ритца в формах, которые наиболее широко используются П. Ф. Папковича, X. М. Муштари, В. 3. Власова. При этом анализе также не применяются какие-либо соображения локальности, базирующиеся на предположениях о малости определяющих факторов. [c.7]

Глава П содержит приближенные методы решения, опиращие-оя на гипотезы локального характера. Прежде всего рассматриваются формулы, аппроксимирующие зависимость давления от местного угла наклона поверхности, на основе которых вычисляются аэродинамические коэффициенты осесимметричных тел. Включена новая ветвь теории Ньютона, открывающая общие дифференциальны соотношения мааду аэродинамическими коэффициентами. Решается вариационная задача в предположении, что давление на поверхности определяется по формуле Ньютона или методом местных конусов, в окрестности точки торможения используется предположение о постоянстве плотности, которое дает возможность получить точное аналитическое решение задачи обтекания сферы и цилиндра. [c.8]

Результаты, полученные в полной нелинейной постановке, весьма немногочисленны. В [17] с использованием локального метода конечных элементов рассмотрена задача о движении крылового профиля под свободной поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины. Решение в данной работе строится с приближенным учетом системы волн, возникающих в дальнем поле за профилем, и полученной на основе линейной теории. Для решения этой же задачи в [18, 19] использовался метод граничных интегральных уравнений. В [20] рассмотрена задача об определении гидродинамических реакций контура, движущегося на небольшой глубине. Жидкость идеальна, а распространение волн, генерируемых телом, описывается уравнениями Тулина, модифицированными с учетом ненулевого угла атаки. Численное решение осуществляется с помощью панельного метода, при этом используются нелинейные граничные условия на свободной поверхности и постулат Кутта - Жуковского в задней кромке профиля. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными. Следует отметить, что волны, представленные в этой работе, далеки от максимально возможных для поверхностных гравитационных волн. [c.127]

Вообще говоря, ур-ние П. и. описывает поле неравновесного излучения. Однако в процессах П. и. в создании результирующей интенсивности в заданной точке пр-ва участв тот лишь кванты, приходящие из непосредств, окрестности (неск. длин пробега) остальные не доходят, поглощаясь и рассеиваясь в пути. Т. о., даже если оптически плотная среда термодинамически неравновесна, это почти не сказывается на интенсивности излучения в рассматриваемой точке и становится возможным локальное равновесие излучения с в-вом. Существование локального равновесия важно для мн. задач П. и., к-рые решаются в приближении лучистой теплопроводности, сводящем осн. ур-ние П. и. к диффузионному, методы решения к-рого хорошо разработаны. [c.527]

Перейдем к определению отпосптельных перемещений в узловых точках, которые сообщают минимальное значение дискретным функционалам (26.18) и (26.19). Воспользуемся численным методом локальных вариаций [311]. Алгоритм решения с помощью этого метода состоит в следующем. Зададим начальное приближение для компонент смещений ы, и во всех внутренних узлах области и для тех граничных точек, где смещения подлежат определению. В качестве начального приближения можно принять распределение перемещений, полученное из решения упругой задачи. Выбирая достаточно малый шаг h, произведем варьирование смещений во всех внутренних точках. Отметим, что изменение перемещений в одной точке приводит к изменению только части слагаемых в суммах (26.18) и (26.19), а именно тех, которые связаны с элементами, окружающими данный узел. [c.225]

Для более точ ного нахождения неизвестных коэффициентов распределения можно воспользоваться методом итераций. Вначале определяются коэффициенты распределения, которые можно найти по условию задачи (известные коэффициенты). Остальные (искомые) коэффициенты либо принимаются равными единице, либо приближенно определяются на основании качественного характера относительного распределения величин °г и °реэ (при условии, что он изве1стен). Подставив затем полученные коэффициенты распределения в систему уравнений (8-2) и решая ее, определим средние величины неизвестных по условию плотностей излучения Е°т и Е°рез по зонам. Далее, подставив известные по условию и найденные из решения системы (8-2) значения плотностей Е°т и Е%ез по всем зонам в исходное интегральное уравнение (8-1), определим локальные значения величин Е°т т °рез на тех зонах, где они неизвестны. На основании полученных значений локальных плотностей излучения вычислим неизвестные по условию коэффициенты распределения уже во втором приближении и, используя снова систему (8-2), определим искомые средние значения величин Е°т и Е°рез тоже во втором приближении. [c.233]

Предложенная теория приводится к решению задачи с помощью метода приближений по двум причинам. Во-первых, при оценке свойств пара требуется знать его температуру, поэтому для выполнения расчета необходимо сделать предположение о величине этой температуры. Во-вторых, эффект перераспределения тепла в стенке трубы до.чжен увеличить локальные значения удельных тепловых нагрузок в зоне кипения. Поэтому величина qlA) , в уравнении (5) больше средней удельной тепловой нагрузки. Коэффициент теплоотдачи в уравнении (5) можно было определить как функцию только разности температур (как это сделал Бромли), но считалось, что использование удельной тепловой нагрузки уменьшит трудности при выполнении расчета. В качестве температуры, используемой для оценки количества тепла, переданного излучением, при- [c.294]

В.В. Струминским [80, 81]. В нулевом приближении решение этой системы уравнений аппроксимируется одномерным уравнением Бюргерса. Турбулентная модель Бюргерса изучалась аналитическими методами в [82]. Линеаризованные уравнения Навье-Стокса с аппроксимацией пульсационного движения у стенки моногармоническим колебанием решены в [83]. Турбулентные решения линеаризованных уравнений Павье-Стокса найдены в [84]. Уравнения пульсаций скорости и давления применялись в расчете турбулентных течений в областях с крупными локальными вихрями [85]. [c.37]

Праудмен и Пирсон [49] установили, что решение Озеена нужно рассматривать как равномерно справедливое нулевое приближение решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Хотя его и можно использовать для оправдания закона Стокса, но нельзя непосредственно применить для получения поправки первого порядка к этому закону того же типа, что и в уравнении (2.6.5). Если обозначить решение уравнения Озеена через (vq, Ро), то Праудмен и Пирсон указали, что это поле, а не поле Стокса, примененное в методе возмуш,ений типа Уайтхеда, должно привести к удовлетворительному начальному приближению для описания инерционных эффектов при малых числах Рейнольдса. Вследствие сложной структуры уравнений Озеена этот подход, наверное, не может быть продолжен далее. В некотором смысле Праудмен и Пирсон отстаивали другой метод возмущений для решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Этот метод сингулярных возмущений, схематически более сложный, чем комбинированный метод Уайтхеда — Озеена, более удобен на практике. При его помощи удается получить приближенные поля возмущений, равномерно справедливые во всем объеме жидкости, и определить подходящие решения, которые локально справедливы в отдельных областях вблизи и вдали от тела. Это — внутреннее и внешнее решения, каждое из которых единственным образом определяется асимптотическим сращиванием этих решений в области их общей справедливости. [c.63]

Выбрав соответствующим образом функции и , Vo, щ, г> (г = I.....п) и число п, можно получить хорошее приближенное описание д ормированного состояния. Однако точность определения напряженного состояния из (1.42) с постоянными а Ь как правило, не столь хороша. Это становится ясным, как только мы вспомним, что заменили уравнения равновесия (1.4) и граничные условия в напряжениях (1.12) Зп-членным выражением с весовыми коэффициентами (1.41), а также то, что точность приближенного решения понижается при дифференцировании. Уравнения равновесия и краевые условия в напряжениях при применении этого метода обычно удовлетворяются, по крайней мере локально, с невысокой точностью. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...