Экстремальные свойства функционалов

Эта теория создана уже около половины века тому назад, но в литературе известны лишь немногие примеры применения ее к задачам механики деформируемых тел. Первые работы принадлежат Р. Куранту [0.9] и Э. Рейсснеру [0.13]. Р. Курант впервые применил преобразование Фридрихса для установления связи между принципами Лагранжа и Кастильяно. Э. Рейсснер [0.13], оценивая результаты своих четырех работ, посвященных вариационным принципам теории упругости, характеризует новизну использования теории [0.9] и полученную в итоге полную формулировку вариационной теоремы как вклад в теорию упругости. В отечественной литературе теория [0.9] впервые применена в работах [0.4], а впоследствии в (0.15, 0.6, 0.1] и др. Однако все эти исследования, как правило, не имеют общего характера и относятся к вариационным формулировкам в терминах стационарности функционалов. К анализу экстремальных свойств функционалов эта теория не применялась. [c.8]

Используемые в книге сведения из вариационного исчисления приведены в гл. 1. В гл. 2 изложены основы теории преобразования вариационных проблем, которая рассмотрена в несколько более общей форме, чем в [0.9], с применением выпуклого анализа для изучения экстремальных свойств функционалов. Для построения и систематического исследования систем функционалов оказалось целесообразным выделить полные функционалы (без каких-либо дополнительных условий) в качестве узловых пунктов вариационной теории упругости или оболочек и совокупность частных функционалов, имеющих дополни- [c.8]

В данном параграфе изложены основные положения теории преобразования вариационных проблем Р. Куранта и Д. Гильберта [0.9 с точки зрения стационарности функционалов. Вопросы исследования экстремальных свойств функционалов, полученных в соответствии с этой теорией, обсуждаются в 3. Рассматриваемая в 2 и 3 область преобразований несколько шире, чем это предусмотрено в [0.9]. В эту область включены и преобразования функционалов с исключенными множителями Лагранжа. Эти функционалы обладают интересными свойствами (см. гл. 3 и 4). [c.33]

Во многих задачах, например для выпуклых функционалов, использование этих двух положений позволяет проследить и за изменением экстремальных свойств функционалов (см. 3). В ряде задач без ограничений можно искусственно ввести дополнительные условия, чтобы затем внести их в функционал с множителями Лагранжа и производить дальнейшие преобразования. Эта идея оказалась очень плодотворной. Она позволяет получить множество различных формулировок одной и той же вариационной задачи с различными переменными и, в частности, осуществлять важное преобразование Фридрихса (см. 2.4). [c.34]

Теория Куранта — Гильберта во многих случаях позволяет проследить за изменением экстремальных свойств вариационных функционалов при преобразованиях, рассмотренных в 2. Эта теория—не единственный способ исследования экстремальных свойств функционалов. Можно было бы, например, для каждого из функционалов исследовать вторую вариацию. Теория Куранта имеет то преимущество, что она позволяет подойти с единых позиций к исследованию их свойств. Другое ее преимущество в том, что все полученные функционалы имеют одно и то же стационарное значение, это важно для оценки точности приближенных рещений (см. гл. 5). [c.41]

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛОВ 87 [c.87]

Вариационные принципы и экстремальные свойства функционалов теории упругости при разрывных перемещениях, деформациях, напряжениях и функциях напряжений [c.89]

Экстремальные свойства функционалов для разрывных полей исследуются точно так же, как в 6. [c.93]

О вариационных принципах и экстремальных свойствах функционалов теории оболочек при разрывных перемещениях, деформациях, усилиях и функциях напряжений. [c.131]

МИН, седловой точке — седловая точка, а отсутствию каких-либо экстремумов — отсутствие экстремумов. Поэтому табл. 4.6, в которой приведена сводка экстремальных свойств функционалов, служит одновременно для иллюстрации статико-геометрической аналогии в вариационной форме. [c.135]

Теория преобразования вариационных проблем [0.9] применима, конечно, не только к квадратичным функционалам, которым соответствуют линейные краевые задачи известны примеры ее применения для исследования вариационных принципов в некоторых нелинейных задачах теории оболочек, но без исследования выпуклости и экстремальных свойств функционалов. [c.141]

Цель данного приложения — очертить круг понятий функционального и выпуклого анализа, которые применяются в вариационных формулировках теории упругости и теории оболочек. Их использование является перспективным для развития данной теории и, в частности, позволило рассмотреть в данной книге полные и частные вариационные принципы и теоремы, сделать ряд выводов об экстремальных свойствах функционалов и т. д. [c.204]

Очевидно, что при исследовании экстремальных свойств функционалов вариация играет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании аналогичных свойств функций. [c.181]

В задачах теории упругости и строительной механики функционалом, имеющим экстремальные свойства, является полная энергия, а функциями, определяемыми из условия экстремума энергии,— перемещения точек упругого тела. [c.191]

Как будет пояснено в последующих параграфах, в механике сформулированы так называемые вариационные принципы, в которых экстремальность некоторых функционалов, имеющих энергетическую природу, выражает определенные свойства механической системы. Вследствие этого проблемы механики могут формулироваться как вариационные. [c.441]

Из табл. 4.4 видно, что в исходной и двойственной вариационных задачах предварительные и естественные условия экстремальности соответствующих функционалов обладают свойством взаимности. На возможной площадке контакта такими двойственными условиями являются неравенства (4.4) и (4.5). В случае контакта двух деформируемых тел статическое условие (4.5) дополняется условием (4.7) в ограничениях множества и в условиях экстремальности функционалов. Физические соотношения в форме (4.3) позволяют использовать приведенные вариационные постановки контактных задач для нелинейных и анизотропных тел. [c.144]

Хотя история создания вариационных принципов механики сплошных сред насчитывает более ста лет, а вариационное исчисление является одним из классических разделов математики, развитие вариационных принципов механики деформируемых тел, в частности теории упругости, теории оболочек и пластин, еще далеко от завершения. Отсутствует систематический анализ (и синтез) вариационных проблем теории упругости и теории оболочек, включающий исследования как условий стационарности вариационных функционалов, так и их экстремальных свойств. [c.7]

Установлена вариационная форма статико-геомет-рической аналогии в теории непологих неоднородных анизотропных оболочек, которая выражается в соответствии между функционалами, их дополнительными и естественными условиями и экстремальными свойствами. [c.10]

Исследование экстремальных свойств полных и частных функционалов [c.41]

Изменение экстремальных свойств при выводе частных функционалов из полного. Ограничимся случаем, когда полный функционал имеет седловую точку вариационная задача примет вид (И). [c.45]

На рис. 2.1 множество функционалов данной теории изображено в виде сферы. На полюсах расположены функционалы, имеющие максимум и минимум полные функционалы тяготеют к экватору и имеют минимакс и максимин, а у некоторых из них отсутствуют какие-либо экстремальные свойства. [c.47]

Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно изучены в литературе с точки зрения как стационарности, так и экстремальности соответствующих функционалов. Поэтому их целесообразно использовать как исходные пункты для построения и исследования системы полных и частных вариационных функционалов теории упругости. В соответствии с 2 гл. 2 здесь рассмотрены различные варианты принципов Лагранжа и Кастильяно. Экстремальные свойства соответствующих им функционалов будут использованы в 6. [c.54]

Функционалы Эли Эл2 и Эл имеют отличия по форме и дополнительным условиям к ним. Различия в вычислительном аспекте между ними несущественны. Однако разнообразие форм исходного пункта преобразований приводит к важным особенностям полученных из них функционалов не только по форме, но и в вычислительных, и, в частности, экстремальных свойствах (см. 3, 5 и 6). [c.58]

По свойствам, связанным со стационарностью, функционалы 5 2 и 5 43 эквивалентны, но имеют различные экстремальные свойства (см. 5). [c.69]

Экстремальные свойства полных и частных функционалов теории упругости [c.84]

В соответствии с теорией (гл. 2, 3) здесь приведено исследование экстремальных свойств для некоторых характерных функционалов. С этой целью используются свойства выпуклости (см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно и не-выпуклости других. Результаты для этих и других полученных в 2. 3, 4 функционалов представлены в табл. 3.6. [c.84]

Экстремальные свойства частных функционалов (табл. 3.5). Если известны экстремальные свойства полных функционалов, то можно во многих случаях выявить свойства полученных из них частных функционалов с помощью гл. 2, 3. [c.87]

Все функционалы Лагранжа в точке стационарности имеют минимум, функционалы Кастильяно — максимум. Экстремальные свойства всех функционалов с разрывными полями перемещений, деформаций, [c.93]

Замечание. Некоторые вариационные принципы теории упругости при разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений впервые были рассмотрены без исследования экстремальных свойств в [0.12]. Функционалы с разрывными функциями напряжений и экстремальные свойства получены авторами. [c.94]

Для исследования экстремальных свойств функционалов, участвующих в формулировке вариационных принципов теории оболочек, так же как и для функционалов теории упругости, может быть использовано свойство выпуклости (см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно (исходных пунктов преобразований) и невыпуклости других. Экстремальные свойства различных полных и частных функционалов можно выяснить, используя 3 гл. 2. Результаты представлены в табл. 4.6 в этой таблице стрелки обозначают, что знаки min и max можно поменять местами, так что данный функционал имеет седловую точку. [c.130]

Исследование экстремальных свойств функционалов геометрически нелинейной теории связано с определенными трудностями (иевыпуклость, наличие несколькнх локальных экстремумов) и еще не выполнено. [c.141]

Использование экстремальных свойств функционалов при решении конечномерных (дискретизованных) задач [c.180]

Вариационными методами называются методы точного и приближенного решения задач, основанные на использовании экстремальных свойств некоторых функционалов. Здесь мы рассмотрим так называемый метод Ритца, а также близкий к нему, хотя и не основанный непосредственно на использовании вариационного принципа, метод Бубнова. [c.388]

Особенности вывода частных функционалов из полных функционалов с неисключенными множителями Лагранжа. Вывод частных функционалов из полного функционала (8), полученного из (1), (2) с помощью множителей Лагранжа, имеет некоторые особенности, котор 1е будут использованы при исследовании экстремальных свойств (см. 3). [c.39]

Экстремальные свойства полных функционалов лагранжевой серии (табл. 3.3). На основании 3 гл. 2 задачам минимизации выпуклых функционалов Эл1 —Элз, Эл5, Элб (табл. 3.1) соответствуют задачи отыскания седловых точек (т. е. одновременно мини-макса и максимина) полных функционалов — Эпз, Зп5, 9п6 (табл. 3.3) (см. табл. 3.6). Невыпуклому функционалу Эд4 соответствует задача отыскания ми-нимакса, но не максимина полного функционала Э 4 (см. 3.26 гл. 2). Функционал Эп4а получен из Э 4 путем исключения множителей Лагранжа. Для определения его экстремальных свойств необходимо дополнительное исследование (см. гл. 2, 3.3), которое показывает, что этот функционал не имеет ни седло-вой точки, ни минимакса, ни максимина. Действительно, при каждом фиксированном наборе части переменных он линейно зависит от остальных переменных и, следовательно, принимает все значения от —оо до +00, т. е. не имеет ни конечного максимума, ни конечного минимума. [c.86]

Экстремальные свойства полных функционалов кастильяновой серии (табл. 3.4). Полные функционалы Э , — Э з, Э 5, (табл. 3.4), выведенные с помощью множителей Лагранжа из выпуклых функ- [c.86]

В контактных задачах, а также при численном решении задач теории упругости, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, иногда возникает необходимость рассматривать в качестве варьируемых переменных разрывные поля параметров напряженно-деформированного состояния. Теория Куранта —Гильберта позволяет построить для этого случая систему полных и частных функционалов и исследовать их экстремальные свойства. [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...