Граничные нелинейные

Хотя программа исследований в классической гидромеханике устанавливается без труда, следовать этой программе — задача чрезвычайно трудная из-за аналитической сложности системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (7-1.1) и (7-1.2). На практике точные или приближенные решения этой системы можно получить лишь в случае, когда либо граничные условия имеют чрезвычайно простой вид, либо проведены некоторые предварительные упрощения. Фактически в соответствии с типом производимых упрощений задачи гидромеханики можно разделить на ряд категорий. Отнесение какой-либо частной проблемы к одной из этих категорий основывается, по существу, на анализе размерностей. [c.253]

Отметим, что в отличие от систем жидкость—твердое тело, газ—твердое тело в рассматриваемых газожидкостных системах сама поверхность раздела фаз (г, I) является величиной, изменяющейся во времени и пространстве. Поскольку процессы массо-переноса протекают в обеих фазах, в математическую постановку задачи массопереноса в системах газ—жидкость включаются уравнения переноса в обеих фазах с нелинейными граничными условиями. Изменение поверхности раздела фаз в процессе массопереноса влечет за собой изменение гидродинамических характеристик системы, а именно поля скоростей V (г, 1) вблизи межфазной поверхности. Однако, как это видно из уравнения конвективной диффузии, вектор поля скорости входит в левую часть (1. 4.. 3), следовательно, изменение скорости V вызовет и изменение распределения концентрации целевого компонента с (г, I) вблизи поверхности. Таким образом, в общем случае необходимо решать самосогласованную задачу тепломассопереноса и гидродинамики. [c.15]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

Решение этих уравнений должно удовлетворять граничным условиям. Полученные системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных приводят к решению искомых неизвестных. [c.108]

Если на границе тела заданы напряжения, то определение напряжений во всех точках тела связано с интегрированием гиперболической системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (IX.11) при известных граничных условиях. Обычно эти уравнения решаются приближенными методами построения полей линий скольжения. Иногда удается построить решение краевой задачи, основываясь только на свойствах линий скольжения. [c.116]

Эти уравнения представляют собой систему двух нелинейных уравнений относительно А и F, которая должна быть решена с соответствующими граничными условиями. В п. 29 она применяется к случаю границы раздела между фазами, а в и. 30 —к случаю свободной поверхности. [c.734]

Можно задать однотипные начальные и граничные условия начальные условия представляют собою обычное постоянное значение концентрации и температуры граничные условия на непроницаемой поверхности для скоростей - условия прилипания, для температуры и концентрации - стенка изотермическая и непроницаемая для абсорбируемого вещества соответственно граничные условия на границе раздела жидкость - газ (пар) - состояние насыщения для системы абсорбируемого вещества -жидкий раствор. Такое состояние насыщения описывается линейной зависимостью, в случае нелинейной зависимости - разбиение на отрезки с линейной зависимостью, т.е. [c.34]

Большое внимание уделено численным методам решения линейных и нелинейных задач механики деформирования упругих, упругопластических и вязкоупругих тел, численным методам решения дифференциальных и интегральных уравнений, а также прямым вариационным методам. В учебнике изложены основные положения метода конечных элементов, что обеспечит лучшую подготовленность студентов к изучению курса строительной механики. Даются понятия о методе граничных элементов. [c.3]

Воспользуемся для примера вариационным принципом Лагранжа, который заключается в том, что вариация работы внутренних и внешних сил на возможных перемещениях, согласующихся с геометрическими граничными условиями, равна нулю. При этом предполагается, что во всех точках тела не возникает разгрузка (другими словами, рассматривается вариационный принцип Лагранжа для нелинейно-упругого тела). Вариация работы внутренних сил 6J7 определяется выражением [c.306]

Уравнения равновесия и граничные условия для геометрически нелинейного [c.221]

Методы электромоделирования позволяют решать прямые и обратные задачи как в линейной, так и в нелинейной постановке. В прямых задачах на основе решения заданного математического описания (дифференциального уравнения и условий однозначности) определяется поле потенциала (температуры, скорости и т. д.), в обратных — по известному полю потенциала определяются граничные условия, например коэффициент теплоотдачи на поверхности тела. [c.75]

Сеточные модели могут быть использованы для решения задач теплопроводности в телах сложной конфигурации с одномерным, двумерным и трехмерным температурным полем, в телах с сосредоточенными, полосовыми и распределенными источниками теплоты при граничных условиях I—IV рода, в том числе и нелинейных задач, в частности решение может быть получено с учетом зависимости теплофизических свойств тела от температуры [5, 6]. [c.86]

Таким образом, методы рещения граничных обратных задач должны учитывать высокую чувствительность результатов к различного рода погрешностям. В противном случае легко получить решение, весьма далекое от истинного. Одним из перспективных направлений в решении ОЗТ является приведение их к экстремальным постановкам и использование численных методов теории оптимизации. Рассмотрим обратную задачу для одномерного нелинейного уравнения теплопроводности [c.285]

Из-за нелинейности кривых ю(/г) их часто называют кривыми дисперсии. Из (9.14) также следует, что частота оказывается периодической функцией от волнового числа k, причем повторяющаяся периодически область заключена в пределах я/а<йсл/а. Вспомним, что подобное уже встречалось при рассмотрении поведения электронов в кристалле. Там этому условию в конечном счете отвечал выбор чисел k из числа соответствующих циклическим граничным условиям, которые приводят к [c.211]

Действительно, основное уравнение гидростатики (2.18а) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, причем более сложное, чем для плоских задач. Равновесная поверхность есть интеграл этого дифференциального уравнения. В качестве граничных условий в зависимости от вида решаемых задач могут быть заданы объем капли (пузырька) и значения контактного угла 0 или радиуса капилляра радиус контейнера и значение контактного угла и т.д. [c.109]

В то же время при решении прямой задачи для области А В АВ (рис. 2.4) на поверхности АВ, расположенной в сверхзвуковой области, не требуется постановки каких-либо граничных условий. Единственность решения краевой задачи в области А В АВ для нелинейных уравнений газовой динамики до настоящего времени в общем случае не доказана, хотя и получен ряд численных решений. [c.53]

Применяя для решения уравнений (6.9.10) — (6.5.12) с граничными и начальными условиями (6.9.30), (6.9.14), (6.9.15) преобразование Лапласа, с помощью теоремы о свертке получим систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра [c.310]

Поскольку этим граничным условиям нельзя удовлетворить при произвольном т у задача об определении массовой скорости сводится к определению собственного значения нелинейной краевой задачи (6.12.31) — (6.12.34) (роль собственного значения играет безразмерная массовая скорость горения). Как правило, считают, что скорости химических реакций равны нулю при 7 = Гд. [c.351]

Задачи теплопроводности, в которых коэффициенты X, ср в дифференциальном уравнении или а в граничных условиях являются функциями температуры, называются нелинейными. Нелинейными являются также задачи, в которых распределения мощности внутренних или поверхностных Qs источников представляют собой нелинейные функции температуры. [c.105]

Импедансные граничные условия можно задать и при несильном поверхностном эффекте, если градиент плотности тока по касательной к поверхности тела много меньше, чем по нормали к поверхности. Это условие обычно соблюдается всюду, за исключением сравнительно узкой зоны у концов загрузки. Тела с импедансными условиями, в том числе с нелинейными, будем обозначать буквой N. Наконец, к последней группе А) отнесем нагреваемые тела с кусочно-постоянными свойствами без импедансных условий. [c.121]

Для получения решения этого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка необходимо найти функцию ф ( ) в интервале 0 <С <С оо, удовлетворяющую уравнениям (23.11) и на концах интервала 0<Г < следующим граничным условиям, вытекающим из (23.7) [c.260]

В линейной теории ползучести значительную роль играют принципы соответствия, позволяющие выразить решение граничной задачи теории ползучести стареющих тел через решение соответствующей упругой задачи. В последнее время были установлены также принципы соответствия в нелинейной теории ползучести. [c.277]

Рассмотрим поступательное нестационарное движенне одиночной сферы постоянного радиуса а с фиксированной по направлению, но не по величине, скоростью v oait) в несжимаемой вязкой жидкости, покоящейся на бесконечности. Пусть нелинейные инерционные силы (как и в 6) малы (Рви, С 1), но (в отличие от 6) учтем линейные инерционные силы из-за быстрого изменения 2 (i). Решение задачи сводится к решению уравнений Стокса ползущего движения вязкой несжимаемой жидкости (3.3.24) в оо-системе координат (s = оо) с граничными условиями, заданными на подвижной сфере и на бесконечности [c.175]

Отсюда следует, что последней величиной (а следовательно, и нелинейными конвективными членами) можно пренебречь по сравнению с и при более слабых, чем (5.8.7), ограничениях, а именно при WiAr <С 1, что всегда выполняется при выполнении (5.8.2). Таким образом, при переходе к безразмерной переменной Tj r a t) фиксируется граничное условие на поверхности пузырька (г = 1) и за счет появления дополнительного члена [c.298]

Юнговская трактовка дифракционных явлений особенно плодотворна в тех случаях, когда заранее не ясно распределение амплитуд вторичных источников Гюйгенса — Френеля на граничных поверхностях. Это относится, например, к распространению волны вдоль поглощающей поверхности или к огибанию волной выпуклого препятствия. Такова, в частности, постановка вопроса при изучении распространения радиоволн над поверхностью Земли. Эта практически важная задача обстоятельно разобрана с помощью метода Юнга (М. А. Леонтович, В. А. Фок), который именуется в современной литературе диффузионной теорией дифракции. Метод Юнга широко применяется при исследовании распространения волн в неоднородных средах, в нелинейной оптике и в других областях. [c.172]

Смысл дальнейших рассуждений состоит в установлении связи неизвестных величин А , A , Л22. 12 с известными В, ,1 на основе граничных условий. Подобным образом действуют и в линейной оптике (см. ГЛ. XXIII), но в ней заданными величинами служили амплитуда и волновой вектор волны, падающей из среды /. В нелинейной же оптике отраженная и преломленная волны порождаются нелинейной поляризацией, и поэтому заданная величина входит в выражение для поля внутри преломляющей среды. [c.847]

Решение нелинейного уравнения (1.3.5) с граничными условиями (1.3.6) подробно глзедставлено в [1]. В частности, получена полная информация о течении волновой пленки (распределение скоростей, изолиний функции тока) и ее характеристиках (амплитуда, длина волны, фазовая скорость и т.д.). [c.19]

Сложность физических явлений и происходягцих процессов в газе определяет и сложную математическую модель — систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими дополнительными (начальными п граничными) условиями, решение которой имеет свои математические трудности. [c.266]

Это обыкновенное нелинейное уравнение третьего порядка было проинтегрировано г. Блязиусом с помощью степенных рядов при следующих граничных условиях ф — О, ф О при т] 0 ф = 1 при (/ = оо. Первое из этих условий выражает равенство нулю на поверхности пластины функции тока ip и скорости и,.. При этой удовлетворяется и условие и,, у., о О- Второе из граничных условий означает, что щ при у- оо. После [c.335]

Это обыкновенное нелинейное уравнение третьего порядка было проинтегрировано Г. Блязиусом с помощью степенных рядов при следующих граничных условиях [c.368]

Итак, необходимо решить обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка (3.55) с граничными условиями (3.56). Организуем пристрелку условия на бесконечности. Будем задаваться услоьиями Коши [c.116]

Это и есть общее уравнение гидростатического равновесия, onst = р" (0) - р Ф) определяется из граничных условий конкретной задачи. Кривизна поверхности H(z) — нелинейный дифференциальный оператор второго порядка. В частности, если поверхность в декартовой системе координат определяется как z - f x, у), то [c.90]

Представленное уравнение кинетики теплообмена приближенно учитывает влияние тенлонроводпостп, радиальной конвекции и тепловой инерции жидкости. Оно позволяет существенно упростить расчеты благодаря замене нелинейного уравнения с частными производными и граничными условиями на межфазной [c.205]

Это означает, что конвективными членами можно пренебречь, если амплитуда пульсации пузырька во много раз меньше толщины температурного погранслоя в фазах. При существенности внешней (в жидкости) темиературноп задачи (а она существенна при наличии фазовых переходов) определяющим является условие для жидкой фазы (i = l) в силу < Va. При достаточно высокочастотных пульсациях реализуется б < aoi и тогда ограничение (2.7.8) становится более сильным, чем Л < 1. Хотя следует ожидать, что при тонких температурных погран-слоях значение слагаемых с dQ/dx, появляющихся из-за сферической геометрии задачи, становится мало. Во всяком случае при б САо даже при нарушении (2.7.7) указанные нелинейные конвективные члены в (2.7.6) могут быть отброшены. Действительно, из граничных условий при г = а имеем [c.210]

Отсюда следует, что последней величиной (а следовательно, и нелинейными конвективными членами) можно пренебречь по сравнению с д в/дг] и при более слабых, чем (2.7.8), ограничениях, а именно, при SJiaAri < 1, что всегда выполняется при выполнении (2.7.3). Таким образом, при переходе к безразмерной переменной r] = r/a t) фиксируется граничное условие на поверхности иузырька (т1 = 1), и за счет появления дополнительного члена у] а/а)дТ/дг[ компенсируется нелинейный конвективный член v(dT/dr). [c.211]

Ниже кратко изложены некоторые аспекты устойчивости данной разностной схемы без ее детального математического обоснования. Для устойчивости схемы требуется, чтобы была устойчива как прогонка, так и итерационный процесс. Условие устойчивости прогонки для получаемой в результате преобразования дифференциальной задачи к разностной системе нелинейных алгебраических уравнений совпадает с условием хорошей обусловленности системы алгебраических уравнений для определения Zm на лучах т] = onst. Последнее условие, в свою очередь, определяется знаками собственных значений матрицы А, среди которых должны быть как отрицательные, так и положительные. Число различных но знаку собственных значений связано с направлением характеристического конуса и согласуется с количеством граничных условий при g=0 и =1. В практических расчетах из-за сильного изменения направления потока в расчетной области условие хорошей обусловленности может нарушаться, что при1юдит к неустойчивости или разбалтыванию разностного решения. В этом случае для стабилизации четырехточечной схемы приходится, например, сдвигать систему координат таким образом, чтобы собственные значения не изменяли знаков. [c.141]

Предположим, что кавитационное обтекание профиля у = у (х) происходит в безграничном потоке по первой схеме М. Тулина при числе кавитации х, давление и скорость на бесконечности известны и соответственно равны / и 1/ . Физическая плоскость течения дана на рис. III.1, а. Как уже указывалось в гл. II, задача об определении характеристик такого течения — нелинейная. В нелинейной постановке граничные условия задачи даны на горизонтальном разрезе плоскости комплексного потенциала (рис. III.1. б). Как указывалось в гл. II, комплексный потенциал равен W = ф - - пр, комплексная скорость [c.96]

Решение нелинейного дифференциального уравнения (3.12) при граничных условиях (3.13) может быть получено приближённо ). В приближённом способе решения, данном Тёп- фером, используется общее свойство решений уравнения (3.12), которое заключается в следующем. [c.125]

Свойство консервативности разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейшим образом — производные в дифференциальном уравнении и граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными разностями может привести к схемам, которые будут иметь большую логрешность, либо вообще окажутся непригодными для счета. [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...