Поверхность отклика

Если в задаче оптимального проектирования поверхность отклика ограничена концентрическими эллипсоидами, то точное местоположение оптимума не более чем за (2п—1) одномерных итераций позволяет получить метод параллельных касательных. Идея этого метода для п—2 иллюстрируется на рис. 6.4, б. Метод заключается в поиске центра системы концентрических эллипсов. Первоначально определяют направление касательной ло из точки- [c.284]

Рассмотренные выше теоретические методы не всегда позволяют получать математические модели ЭМП, удобные для реализации в САПР. В этих случаях в последние годы широко применяют статистические методы и, в частности, методы регрессионного анализа, используемые в теории планирования экспериментов [53]. Математическая модель, называемая функцией или поверхностью отклика, представляется уравнением регрессии [c.95]

Независимые переменные Х, Х2,..., XN принято называть факторами, а ИХ значения (для каждого фактора п значений) — уровнями факторов. Координатное пространство с координатами хь Х2,..., Хдг называют факторным пространством, а геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве — поверхностью отклика. [c.110]

Часто для описания поверхности отклика полинома первого порядка уже недостаточно. Во многих случаях вполне удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка. Уравнение регрессии второго порядка имеет вид [c.127]

Важным свойством ПСМ является то, что он не боится ошибок эксперимента, которые могут лишь задержать, но не остановить продвижение к оптимуму. В связи с этим при ПСМ дублировать опыты не обязательно. Осложнения при применении ПСМ возникают тогда, когда симплекс попадает на гребень поверхности отклика, в этом случае он начинает колебаться. В схеме оптимизации, изображенной на рис. 6.10, такое колебание возникает при достижении области оптимуму—симплекс 9, 10, 11 возвращается на место предыдущего 9, 10, 8. [c.132]

При симплекс-методе одновременно проводится изучение области поверхности отклика и движение к экстремуму. [c.66]

Поверхности отклика в многокомпонентных системах имеют, как правило, очень сложный характер. Для адекватного описания таких поверхностей используют (полиномы высших степеней, что, 8 115 [c.115]

Поверхность отклика или математическая модель процесса представлена конечным степенным рядом вида [c.91]

Рис. 1.5. Поверхность отклика для двух факторов.

Рис. 1.6. Контурные кривые поверхности отклика для двух факторов.

На втором этапе для описания поверхности отклика в стационарной области используют уже нелинейные уравнения, анализ которых и позволяет выявить, при каких значениях факторов обеспечивается наилучшее значение оптимизируемого параметра, В настоящее время достаточно разработаны для практического применения планы только для полиномов второго порядка. [c.56]

Метод крутого восхождения. Этот метод (метод Бокса — Уилсона) напоминает итерационный метод решения задач вычислительной математики. На основе малой серии опытов находится локальное описание поверхности отклика с помощью математической модели линейного вида. Затем двигаются по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения оказывается недостаточно, то проводится новая. небольшая серия опытов и находится новое направление для движения по поверхности отклика. Процесс движения продолжается до тех пор, пока не будет найдена почти стационарная область, где линейное приближение окажется уже недостаточным. [c.194]

Если коэффициенты уравнения регрессии значимы, а само уравнение адекватно эксперименту, то оно может быть использовано для крутого восхождения по поверхности отклика. Результаты экспериментов заносят в табл. 6.5. [c.194]

Придавая Е некоторые фиксированные значения, получим трехмерные контурные поверхности — поверхности равного выхода. В результате все возможные поверхности отклика в трехмерном пространстве могут быть грубо разбиты на три класса [c.61]

Для полученного типа поверхности отклика далее возникает сложная задача — отыскать условный экстремум в той части факторного пространства, в которой проводились эксперименты. [c.62]

Учитывая априорные знания о процессе сжигания, за исходную точку крутого восхождения по поверхности отклика для описываемой серии опытов принята точка, положение которой в трехмерном факторном [c.75]

Итак, полином второй степени адекватно описывает поверхность отклика в области экспериментов. Приведя уравнение к каноническому виду, получим [c.78]

Для поверхности отклика типа минимакс с центром вблизи центра экспе-римента возникает задача отыскания условного экстремума в исследуемой части факторного пространства. [c.78]

Следующий этап решения многокритериальной задачи состоит в моделировании обобщенного критерия F как функции от концентраций компонентов в покрытии. Для этого выбирается план эксперимента, после проведения которого определяется зависимость функции отклика (обобщенного критерия F) от независимых факторов (соотношения компонентов в покрытии). Анализ показателей свидетельствует о нелинейной их зависимости от концентрации отдельных компонентов. На основании этого можно было сделать предположение, что поверхность отклика можно аппроксимировать квадратичной моделью [c.118]

Математический анализ показал, что стационарные точки Ai и являются точками максимума соответственно для первой и второй поверхностей отклика У[ и Уг- Переход от нормированных переменных к реальным концентрациям дает следующие значения концентраций для оптимальных точек Ai и Лз [c.122]

Математический анализ и Уз показывает, что поверхности отклика представляют собой эллиптические параболоиды в пятимерном пространстве-(У,, Хь Х2, Хг, Х4). (Уг, Хь Хг, Хз, Х4). [c.123]

Рис. 27 иллюстрирует вид поверхности отклика моделей Yi и Уз в трехмерном пространстве. [c.123]

РИС. 27. Поверхность отклика моделей У1 и Уа в трехмерном пространстве. [c.123]

В результате выполнения данной работы был не только достигнут конкретный результат по созданию математической модели турбин, но и найден и опробован способ построения математической модели на основе случайных статистических данных, опирающийся на оценку градиента поверхности отклика модели в направлении отдельных независимых параметров. [c.343]

Людвик И Шой заметили также, что когда они изменяли отношение L D и не смазывали торцевые поверхности, отклик конечной деформации заметно изменялся, и поэтому было невозможным какое-либо сравнение функций отклика при растяжении и сжатии. (Если бы все образцы были смазаны, эффект изменения отношения LiD можно было бы значительно уменьшить или свести на нет.) [c.153]

Оценим сперва информационную емкость голограммы. Не являясь изображением объекта, голограмма, как это отмечалось, содержит более разнообразную информацию об объекте, чем та, которая может быть записана в плоском его изображении. Вместе с тем голограмма, как и всякая другая запись, непосредственно содержит только распределение по поверхности откликов на суммарную интенсивность света в каждом элементарном участке светового поля, соприкасающегося с элементарным участком поверхности голограммы. При соответствующей схеме формирования светового поля на поверхности голограммы в процессе восстановления волнового фронта, вообще говоря, можно выделить все компоненты информации об объекте, так что в записанной на голограмме информации может содержаться и вся информация, определяемая выражением (2.1.6). [c.63]

На втором этапе проектирования технологического процесса пайки находят оптимальные или соответствующие функциональному назначению изделия режимы пайки. Для этого методом регрессионного анализа, планируя полный факторный эксперимент, проверив адекватность модели и значимость коэффициентов, устанавливают зависимость между параметрами оптимизации (служебными характеристиками и другими показателями паяемости) и факторами (к количественным факторам относятся температура и время выдержки при температуре пайки, скорость нагрева и охлаждения, давление, к качественным факторам относятся флюсы, припои, газовые среды, степень шероховатости, тип паяного соединения). Затем оценивают значимость факторов и определяют область оптимальных режимов пайки, наиболее подходящий флюс, степень или высоту шероховатости, тип соединения и др. С помощью ЭВМ строят уравнение регрессии, оценивают значимость коэффициентов уравнения, проверяют адекватность модели, воспроизводимость опытов и при необходимости уточняют оптимум методов крутого восхождения по поверхности отклика . [c.240]

Путем повторений опытов на стойкость при различных значениях скорости резания получают необходимое количество точек для построения зависимости стойкости от скорости резания. Аналогичным образом поступают и при построении зависимости стойкости от подачи и глубины резания. Постоянную К определяют с помощью подстановки параметров режима резания и показателей степени в уравнение (8.21). Несмотря на простоту этого метода, он требует много времени, поскольку испытания проводятся на режимах, соответствующих длительной стойкости инструмента. Для получения достоверных результатов необходима статистическая обработка экспериментальных данных. К стойкостным испытаниям применима методология многофакторного эксперимента, регрессионного анализа, поверхности отклика. Все эти методы могут сократить число опытов, повысить точность определения стойкости инструмента. [c.187]

В общем случае нелинейной зависимости целевого параметра, У от определяющих его факторов л 1 и поверхность отклика будет соответствовать некоторой криволинейной поверхности 2 (рис. 3.3). При числе факторов k>2 геометрическая наглядность поверхности отклика теряется и возможно лишь ее алгебраическое описание, В случае регрессионной зависимости параметра У от двух факторов Xi и Х2 плоскость размывается и превращается в некоторую область изменения У в зависимости от факторов Xi и х-2. Аналогично, при трех факторах образуется трехмерное факторное пространство, т. е. куб (рис. 3.4), а при k факторах —. fe-мерный гиперкуб, причем /-й коэффициент регрессии равен тангенсу угла наклона -мерной гиперплоскости к оси г-го фактора. [c.42]

В теории планирования эксперимента величину У (X, О называют функцией отклика или откликом. Графически функция отклика представляется в факторном пространстве гиперповерхностью отклика. В частных случаях, когда один фактор (г — 1), поверхность отклика — кривая на плоскости два фактора — 2)> поверхность отклика — двумерная поверхность. При решении ряда задач выражение (1-6) имеет экстремум. В этих случаях вместо термина функция отклика часто используют параметр оптимизации. . [c.13]

Локальную область факторного пространства для проведения эксперимента выбирали, исходя из предположения о наличии в ней экстремума. Это предположение было сделано на основании предварительных экспериментов по исследованию зависимости свойств покрытий от управляющих воздействий. Анализ приведенных выше рис. 1 и 2 показал целесообразность использования в качестве выражения, аппроксимирующего поверхность отклика объекта, полинома второго порядка. Для оценки коэффициентов полинома применялось центральное композиционное рототабель-ное планирование эксперимента. Обработка результатов эксперимента производилась на ЭВМ. [c.88]

Одним из последних достижений в области статистических методов исследования является планирование эксперимента на поверхности отклика. Этот план обеспечивает наиболее эконо-<мичное расположение условий эксперимента, дающих максимальный или минимальный отклик , с помощью некоторого последовательного метода. Теория этих методов и их практиче- [c.214]

В направлении Xi и т. д. Очевидно, что путь к экстремуму по ломаной LMNR... не является самым коротким. Более того, при поверхностях отклика в виде оврагов или гребней указанная процедура не гарантирует выявления истинного оптимума. [c.56]

На первом этапе используют шаговый метод Бокса и Уилсона движения по поверхности отклика. По этому методу в окрестности, например, точки Л (рис. 1.7) ставят эксперимент для локального описания поверхности отклика линейным уравнением регрессии R — Ьо biX + b2X2. Далее находят направление наклона (градиента) этой плоскости и двигаются в этом направлении за пределы изученной области. Если этого линейного приближения недостаточно, то ставят новую серию опытов в точке, соответствующей наибольшему значению у (точка В), и находят новое направление для движения по поверхности отклика. Такой шаговый процесс, получивший название метода крутого восхождения, продолжают до достижения области близкой к экстремуму или почти стационарной области, в которой становятся значимыми эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. [c.56]

Описанным алгоритмом реализуется метод Остроградского — Зайделя поиска минимума функции нескольких переменных последовательным определением частных минимумов при изменении только одной независимой переменной. Процедура имеет некоторые ограничения в ее использовании, например в случае неунимодальной функции или при наличии гребней или оврагов в поверхности отклика для исследуемой функции. Поэтому ее применение в конкретных технологических задачах обосновывается. [c.215]

Канонический анализ уравнения (103) позволил установить, что поверхность отклика представляет собой эллиптический параболоид, а линий равной степени превращения кобальта - эллипсы (рис. 29). В связи с тем что эффект взаимодействия pH и Г не равен нулю (0,0052872), главные оси изолиний повернуты по отношению к осям координат на некоторый угол i . Глобальному максиму степени превращения кобальта (с учетом ограничений, приведенных выше соответствуют следующие параметры процесса pH = 3,92 и = 73,3 С. Изменение начальной концентращш кобальта в растворе несколько смещает оптимальные параметры pH и Г [c.64]

Принцип симплексного планирования состоит в том, что условия первой серии опытов соответствуют координатам точек, образующих правильный симплекс, состоящий из i( fl точек, расположенных на равном расстоянии друг от друга, в (-мериом пространстве, где А — число факторов. При этом в одномерном пространстве (один фактор) симплекс — это отрезок прямой, при двух факторах— равносторонний треугольник, при ipex — тетраэдр и т. д. Затем этот симплекс перемещают (кантуют) по поверхности отклика в следующей последовательности. [c.220]

Для отыскания оптимума был использован метод крутого восхождення по поверхности отклика. В качестве целевой функции был выбран общий процент брака Yi. [c.197]

Движение к оптимальной области продолжается до тех пор, пока адекватно уравнение гиперплоскости. В случае неадекватности уравнения гиперплоскости ДФЭ или ПФЭ дополняются до центрального композиционного планйрования (ЦКП) и область изучается более полно. В результате получается описание поверхности отклика в околооптимальной [c.55]

За исходную точку крутого восхождения по поверхности отклика вначале принята точка, координаты которой в факторном пространстве соответственно равны = 305 мУчас Z = 131 м /час Z = 23 кг час Z = 23%. [c.57]

Итак, полученный полином второй степени адекватно описывает поверхность отклика в области экспериментов. Поверхности второго порядка поддаются систематизации. Чтобы отнести полученную поверхность к одному из известных видов, уравнение второго порядка необходимо представить в канонической форме. Приведение уравнений к канонической форме и их анализ подробно излагаются в курсах аналитической геометрии. В общем случае уравнение в канонической форме для трехфакторной задачи будет иметь вид [c.60]

Рассмотрим геометрическую интерпретацию уравнения регрессии. Простейшим случаем является зависимость выходного (целевого) параметра У от одного, единственного фактора х, т. е. Y—f(x) = =ipo+PiJf.... Графически функциональная зависимость в этом случае интерпретируется прямой линией, т. е. поверхность отклика вырождается в линию (рис. 3.2, а), причем свободный член Ро равен отрезку Уо, отсекаемому этой прямой на оси ординат (при д =0 Ро=Уо), а коэффициент Pi — тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, т. е. tg а. Следовательно, уравнение функциональной зависимости в этом случае примет вид У=Уо-Ь1дах. При зависимости выходного параметра У от двух факторов Xi и xz поверхность отклика интерпретируется плоскостью (см. рис. 3-.2, б), а коэффи- [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...