Функция минимума

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

В книге изложены результаты исследований авторов в области постановки и решения задач оптимизации при схемотехническом проектировании электронных схем. Освещена сущность и основные особенности проектирования электронных схем как в дискретном, так и интегральном исполнении. Проанализированы возможности решения различных задач, возникающих на этапе схемотехнического проектирования электронных схем, с помощью ЦВМ. Описаны различные критерии оптимальности и способы постановок задач оптимизации в электронике. Изложены машинно-ориентированные модели компонентов и наиболее перспективные методы моделирования схем. Даны перспективные методы анализа электронных схем и определены области их предпочтительного применения. Проанализирован ряд методов оптимизации для целевых функций, обладающих гребневым характером. Значительное место уделяется одной из наиболее важных задач схемотехнического проектирования — задаче расчета параметров компонентов, сформулированной в виде задачи нахождения максимума функции минимума. Рассмотрены алгоритмы решения задачи расчета параметров компонентов, основанные на свойстве дифференцируемости функции минимума по направлению. Приводится проекционный алгоритм решения этой задачи, в котором уравнения гребня в виде ограничений типа равенств формируются в процессе поиска. Результаты теоретических исследований иллюстрируются большим количеством примеров и рисунков. [c.2]

Одним из критериев расчета оптимальных значений параметров компонентов, объективно отражающим цели проектирования, является критерий минимального запаса работоспособности. Этот критерий представляет собой дискретную функцию минимума по всем запасам работоспособности и, следовательно, не является непрерывно дифференцируемой функцией управляемых параметров. [c.165]

В данной главе с позиций свойств функции минимума приводятся необходимые и достаточные условия максимина, рассматриваются алгоритмы нахождения направления наискорейшего подъема и алгоритмы поиска экстремального значения функции минимума. При этом под максимином функции минимума понимается ее глобальный максимум. [c.165]

Отметим основные свойства функции ZO(W), их доказательство можно найти в работе [40]. Во-первых, функция минимума ZO(W) является непрерывной функцией управляемых параметров, если таковыми являются функции Zj(W). Из определения запаса работоспособности следует, что функция 2j(W) непрерывна в пространстве Wn, если непрерывна функция i/j(W). Как указывалось ранее, для электронных схем характерна непрерывная зависимость выходных параметров yj от управляемых W. Во-вторых, если все функции Zj(W) вогнуты в пространстве параметров компонентов WFl, то и функция минимума также вогнута в этом пространстве. Очевидно, для выходных параметров г/j, на которые условие работоспособности задано в виде неравенства yj>TTj, функция Zj(W) вогнутая, если функция i/j(W), характеризующая зависимость выходного параметра от управляемых параметров компонентов, также вогнутая. В случае условия работоспособности z/iсвойство функции минимума используется при установлении достаточных условий максимина. Прежде чем перейти к третьему, наиболее важному свойству функции минимума, лежащему в основе рассматриваемых ниже [c.166]

Для определения необходимого условия экстремума функции минимума воспользуемся свойством ее дифференцируемости по направлению g в пространстве управляемых параметров W. При фиксированном W рассмот-. рим множество индексов R W) [c.167]

Если функция ZO(W) является вогнутой, то это условие является и достаточным. Точка W, для которой выполняются неравенства (7.2), (7.3), является стационарной точкой функции минимума. Так, для функции [c.169]

Необходимое условие максимина можно сформулировать следующим образом. Для того чтобы функция минимума 20 ( У) достигала максимума в точке АУ, необходимо, а в случае вогнутости и достаточно, чтобы начало координат принадлежало 1(АУ ) [c.170]

Алгоритмы нахождения направления наискорейшего подъема функции минимума [c.173]

Рис. 31. Характер поиска при определении направления наискорейшего подъема функции минимума первым методом

Алгоритм определения направления наискорейшего подъема функции минимума по описанному методу сводится к следующему. [c.178]

Алгоритмы поиска стационарных точек функции минимума [c.181]

Тогда условие е-стационарности функции минимума в точке УУ можно сформулировать следующим образом. Для того чтобы точка УУ была е-стационарной точкой функции минимума, необходимо и достаточно, чтобы начало координат принадлежало (УУ ) [c.182]

Если же точка УУ, не является е-стационарной, функция минимума 20 ( У) в точке УУ, имеет единственное направление е-наискорейшего подъема [c.182]

Рис. 33. Зависимость значений производной функции минимума по направлению Е-наискорейшего подъема от величины Ё-окрестности

Рис. 33. <a href="/info/527065">Зависимость значений</a> <a href="/info/85144">производной функции</a> минимума по направлению Е-наискорейшего подъема от величины Ё-окрестности

Такой способ выбора направления е-наискорейшего подъема функции минимума в рассматриваемом алгоритме оптимизации позволяет определить стационарную точку так как в этом случае поиск прекращается только прн выполнении условия [c.186]

Точка У, для которой справедливо это неравенство, является стационарной точкой функции минимума. Если же достаточно определить лишь е-стационарную точку функции 20, то критерием окончания поиска будет выполнение неравенства 1 а, 0 при условии, что е. При этом под 8 можно понимать либо абсолютную погрешность, либо величину е = 81] 20 ( У) (, где 81 — относительная погрешность определения экстремального значения функции минимума. [c.186]

С помощью рассмотренных методов определения е-стационарных точек функции минимума рассчитаны параметры компонентов ТТЛ-схемы, подробная ММС которой приведена в 1 гл. 9. В данном примере функция минимума имеет вид [c.186]

На рис. 34 и 35 приведены траектории изменения запасов работоспособности прп нахождении е-стационарной точки ТТЛ-схемы. Причем рис. 34 соответствует алгоритму с выбором е-окрестности по заданной относительной погрешности определения экстремального значения функции минимума, а рис. 35 — алгоритму со специальным выбором е-окрестности. На рисунках по оси абсцисс отложена величина шага в процентах по наиболее влияющему управляемому параметру после каждого локального поиска, т. е. [c.187]

Потери на поиск е-стационарной точки функции минимума для алгоритма с выбором е-окрестности, где е определялось из (7.16),составили [c.188]

Поиск экстремума функции минимума вдоль гребней [c.189]

Гребни функции минимума [c.189]

Кривая, огибающая линии минимальных удельных затрат и потерь наиболее часто сменяемых конетруктивных или возобновляемых неконструктивных элементов, и есть график функции, минимум которой определит оптимальный срок службы машины. Этот же минимум может быть получен путем последовательного деления возрастающей суммы затрат и потерь, связанных с использованием машины, на возрастающий срок tx службы машины или на возрастающий объем выполненной работы, как это сделано на графике (рис. 69,ж). [c.299]

Таким образом, можно сформулировать задачу в следующей стандартной форме проектные параметры г и целевая функция, минимум которой надо найти, G = 2лriLp ограничения — неравенства по сдвиговым напряжениям Мкр/(2лг2 ) [т]//7 по устойчивости при кручении Mщ 2nrЧ) [x u N , по величинам геометрических параметров 0,001 м г 0,02 м. [c.106]

Частным случаем применения метода проекции градиента являются задачи оптимизации с максиминным критерием. Действительно, для поиска экстремума функции минимума [c.170]

Трудности поиска экстремума гребневых целевых функций стимулируют исследование и разработку новых подходов и методов решения экстремальных задач схемотехнического проектирования. Одним из таких подходов и является постановка задачи по способу 6 с использованием максиминного критерия. Функция минимума 20 ( ) имеет ярко выраженный гребневой характер. Однако поиск ее экстремума может быть выполнен со сравнительно малыми потерями на поиск благодаря использованию специфических особенностей гребней функции минимума. [c.164]

Внешние скоокп в правой части выражения (7.1) обозначают скалярное произведение. Выясним геометрический смысл производной функции минимума по направлению. Как это следует из (7.1), производная функции минимума в точке Уо по направлению д равна величине минимальной проекции градиентов тех функций 2 (А ), значения которых в этой точке совпадают с функцией минимума. Проиллюстрируем это свойство па примере функции минимума (см. рис. 28). [c.168]

Рис. 32. Характер поиска при определении направления наискореншего подъема функции минимума вторым методом

Рассмотренные в 2 гл. 7 методы определения направления наискорейшего подъема функции минимума лежат в основе алгоритмов определения ее стационарных точек. Простейший алгоритм для решения этой задачи, в основу которого положены идеи метода наискорейшего подъема, сводится к следующему. Пусть найдено 1-е приближение W . Решив задачу линейного программирования (7.11), проверяем точку W на стационарность. Если наибольшая производная по направлению г(5 (W ) 0, что эквивалентно равенству нулю величина которого определена при решении задачи линейного программирования, то Wj — стационарная точка и процесс поиска на этом заканчивается. В противном случае, воспользовавшись одним из описанных в предыдущем параграфе алгоритмов, находим направление наискорейшего подъема gi Wi) и производим в этом направлении поиск до тех пор, пока функция минимума увеличивается. Далее опять проверяем найденную точку на стационарность и т. д. Изложенный алгоритм при численной реализации на ЦВМ характеризуется большими потерями на поиск в силу следующих причин. Функция минимума ZO(W) имеет гребневой характер. Так как выход на гребень при одномерном поиске производится с некоторой погрешностью, то в множество R(Wi), как правило, будет входить лишь один индекс и направление наискорейшего подъема функции минимума в текущих точках W будет совпадать с направлением наискорейшего подъема одной из функций 2j(W). Допустимый шаг поиска в этом направлении будет исчезающе малым. При фиксированной минимальной величине шага траектория поиска примет зигзагообразный характер и продвижение к стационарной точке будет крайне медленным. [c.181]

Алгоритмы решения максиминных задач, рассмотренные в предыдущей главе, не являются единственно возможными. В этих алгоритмах не используется понятие гребня функции минимума. В то же время гребни функции минимума, определение которых дается в данной главе, обладают специфической особенностью, заключающейся в том, что в процессе поиска становятся известными уравнения, описывающие гиперповерхность гребня. Использование этого обстоятельства позволяет с успехом применить для нахождения максимина идеи метода проекции вектора-градиента. Данная глава посвящается рассмотрению метода и реализующих его алгоритмов применительно к поиску экстремума функции минимума. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...