Метод сферических гармоник

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

В работах [164—166] уравнение переноса излучения было рассмотрено для случая крупных по сравнению с длиной волны излучения частиц. При решении использовался метод сферических гармоник. Полученные результаты предлагались для определения спектральных характеристик псевдоожиженного слоя, которые, как было показано, существенно отличаются от аналогичных характеристик одиночной частицы. [c.145]

Разработаны способы учета влияния ограниченности активной зоны, т. е. утечки из нее, и наличия отражателя на спектр нейтронов в активной зоне. В частности, можно получить выражение интегрального спектра нейтронов в активной зоне в Р]-приближении метода сферических гармоник. [c.18]

Точность приведенных выше формул соответствует Рз-прибли-жению метода сферических гармоник [30]. [c.45]

При изотропном поле излучения обе части этого уравнения равны нулю. При слабой анизотропии (qm O) это соотношение, задающее ноток излучения как градиент плотности, вместе с уравнением (5.1.7) определяют так называемое диффузионное приближение (Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер, 1966), которое совпадает с первым приближением в методе сферических гармоник, основанном на разложении /(Q) по полиномам. [c.407]

В работе Г. Е. Озеровой, А. М. Степанова (1979), где задача о структуре радиационного пламени решается методом сферических гармоник, показано, что диффузионное приближение дает завышенные, но правильные по порядку величины значения скоростей. [c.418]

Применение метода сферических гармоник при расчетах теплообмена излучением в диффузионном приближении. Эффективным средством решения уравнения переноса является метод сферических гармоник. Этот метод достаточно хорошо разработан в приложении к решению кинетического уравнения переноса нейтронов. Запишем уравнение переноса излучения в предположении, что процесс является стационарным и рассеянием можно пренебречь, излучение серое. Кроме того, предположим, что излучение находится в локальном термодинамическом равновесии и, следовательно, спонтанное испускание излучения зависит только от локальной температуры Т. Тогда [c.175]

Представляют несомненный интерес также разработанные сравнительно недавно вариационные принципы решения уравнения переноса излучения (Л. 33, 34], обстоятельный анализ сходимости которых дан в [Л. 33]. В одномерных астрофизических задачах и особенно в задачах нейтронной физики [Л. 30, 327, 328] для решения уравнения переноса с успехом применяется метод сферических гармоник. Аналогичная этому методу идея замены интегро-дифференциального уравнения переноса системой дифференциальных уравнений используется в методе моментов [Л. 35, 331—333]. [c.111]

Для вычисления вкладов при работе с сеточными программами (SN-метод, метод сферических гармоник) используют прямое Ф (г, , Q) и сопряженное Ф "(г, Е, Q) решения уравнения переноса. Показание детектора определяют из соотношения взаимности [1] [c.269]

МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК [c.363]

Метод сферических гармоник дает возможность получить приближенное решение уравнения переноса излучения более высокого порядка ценой дополнительных трудоёмких расчетов. Этот метод был впервые предложен Джинсом [26] в связи с проблемой переноса излучения в звездных атмосферах. Общее описание метода сферических гармоник примени,тельно к переносу излучения можно найти в работе [3], а применительно к переносу нейтронов — в работах [27] и [28]. [c.363]

Марк [30] и Маршак [31] предложили два различных способа приближенного представления граничных условий в методе сферических гармоник применительно к теории переноса нейтронов. Помимо этих работ, граничные условия Марка и Маршака рассматриваются-в [27]. Ниже дано краткое описание этих двух типов граничных условий. [c.369]

В настоящем разделе будет использовано Pi-приближение метода сферических гармоник для нахождения углового распределения интенсивности излучения и плотности потока результирующего излучения для плоского слоя поглощающей, излучающей, и изотропно рассеивающей серой среды с по стоянной температурой Го. Граничные поверхности 1 и 2 с координатами t == О и т = То поддерживаются при постоянных температура) Т и Т% соответственно. Предполагается, что поверхности серые, диффузно излучающие, имеют степени черноты, равные ei и ег, а их отражательные способности выражаются как сумма диффузной и зеркальной составляющих = р + pf, i = 1 или 2. Математически рассматриваемая задача может быть описана уравнением [c.442]

Для простоты принимается га= 1. При такой общей постановке задачи можно рассмотреть несколько частных случаев. Например, pd pd О — только зеркально отражающие границы р[ = = р = О — только диффузно отражающие границы р = р = = р = р = 8) = 82 = О — прозрачные границы и т. д. Данная задача будет решена с помощью Р приближения метода сферических гармоник, в результате чего будут определены угловое распределение интенсивности излучения и плотность потока результирующего излучения в среде. [c.443]

Метод сферических гармоник. Простейший случай этого метода был применен А. Эддингтоном и носит его имя. Здесь также ограничимся изотропным рассеянием, но в плоском слое оптической толщины Го с альбедо частицы Л. [c.52]

ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК [c.67]

В настоящем разделе рассмотрена с помощью метода сферических гармоник задача о плоском изотропном источнике в бесконечной среде, В рамках этого метода угловая зависимость потока учитывается с помощью разложения в ряд по полной системе элементарных функций. В общем случае естественным выбором являются сферические гармоники, но для плоской и сферической геометрий они сводятся к полиномам Лежандра. [c.67]

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МЕТОДЕ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК [c.76]

Хотя для представления угловой зависимости потока нейтронов выше использовались полиномы Лежандра, обычно говорят, что система уравнений (3.5) получена с помощью метода сферических гармоник. В плоской геометрии, однако, не обязательно раскладывать угловую зависимость потока по сферическим гармоникам из-за симметрии потока нейтронов относительно оси х разложение можно провести по тем сферическим гармоникам, которые симметричны относительно оси вращения, а именно по полиномам Лежандра (см. Приложение). Более общие случаи, в которых такое разложение невозможно, будут обсуждаться в настоящей главе ниже. [c.102]

Чтобы получить решения уравнений Рл/-приближения или в общем случае уравнений метода сферических гармоник, требуется сформулировать соответствующие граничные условия. Для системы N + 1 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно N Н- 1 скалярных коэффициентов разложения необходимо иметь N 1 условие. Кроме того, система уравнений (3.5) не определена на поверхностях, где сечения а (х) терпят разрыв, следовательно, для нахождения решений требуются еще и условия на такой поверхности. [c.103]

Во многих реакторах топливные элементы располагаются в периодической решетке таким образом, что систему, по крайней мере в центральной части активной зоны, можно рассматривать как состоящую из некоторого числа одинаковых элементарных ячеек (рис. 3.7). При этих условиях пространственное распределение потока нейтронов в реакторе имеет периодическую тонкую структуру, которую можно найти, рассчитывая поток внутри элементарной ячейки. Такие расчеты ячейки часто проводятся с помощью метода сферических гармоник, особенно когда топливный элемент имеет простую гео- [c.126]

МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЯЧЕЕК [c.128]

УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [c.135]

В настоящем разделе рассмотрено развитие многогруппового метода сферических гармоник для зависящих от энергии задач. Посколь-[<у геометрическая зависимость имеет такой же характер, как для односкоростной теории, описанной в гл. 3, большая часть обсуждений связана с плоской геометрией. Однако результаты гл. 3 будут использоваться для получения уравнений в более общей геометрии. [c.135]

Эти разложения подставляются затем в уравнение (4.4) и результат умножается на Рп (р.). После интегрирования по р, от —1 до 1 и использования ортогональности полиномов Лежандра зависящие от энергии уравнения метода сферических гармоник получаются в следующем виде [c.137]

Методы дискретных ординат и связанные с ними методы получения численных решений зависяш,его от энергии уравнения переноса широко используются в реакторных расчетах. В основе этих методов лежит то, что в отличие от разложения по сферическим гармоникам (см. гл. 3 и 4) угловое распределение потока нейтронов оценивается в различных дискретных направлениях. Рассматривая достаточное количество направлений, можно, в принципе, получить решение уравнения переноса с любой желаемой степенью точности. Единственным ограничением здесь могут быть лишь возможности электронно-вычислительных машин. Ниже показано, что некоторые разновидности этих дискретных методов связаны с методом сферических гармоник. [c.168]

При решении практических задач методом дискретных ординат вводятся с помощью многогруппового приближения дискретные энергетические переменные, а для описания пространственной зависимости, как и в предыдущей главе, используется дискретная пространственная сетка. Следовательно, все независимые переменные стационарного уравнения переноса, а именно пространственная переменная г, направление Й и энергия Е, рассматриваются как дискретные. По сравнению с методом сферических гармоник отличительным свойством метода дискретных ординат является то, что угловая переменная (или направление) считается дискретной. [c.168]

Прежде чем приступить к изучению некоторых специальных наборов величин Хь рассмотрим соотношение между методами дискретных ординат и сферических гармоник. В методе сферических гармоник входящие в уравнение интегралы имеют вид 1см. уравнение (2.58)] [c.171]

Сравнение уравнения (5.5) с соответствующим уравнением метода сферических гармоник (2.59) показывает, что фп (л ) удовлетворяет такой же системе уравнений, как и фп (л ) в методе сферических гармоник. [c.171]

Из свойств полиномов Лежандра известно, что функции Рл (м-) имеют точно N нулей в интервале—1 1. Это позволяет выполнить сформулированные требования. Для четных N имеется четное число направлений и четное число уравнений (5.5), соответствующих уравнениям метода сферических гармоник нечетного порядка. Таким образом, N = 2 в методе дискретных ординат соответствует Рх-приближению в методе сферических гармоник. [c.172]

В гл. 2 не было дано подробного объяснения граничных условий Марка. Теперь, однако, оказывается, что они являются естественными граничными условиями свободной поверхности для метода дискретных ординат при использовании гауссовых квадратур и, следовательно, для эквивалентного метода сферических гармоник. [c.173]

Для сравнения с уравнениями метода сферических гармоник умножим вновь уравнение (5.3) с правой частью, определяемой уравнением (5.10), на (м-/) и просуммируем по всем /. Если используются гауссовы квадратуры с N направлениями, то так как схема является точной для полиномов порядка 2А — 1, [c.174]

Можно показать, что такой выбор дает метод дискретных ординат, эквивалентный методу сферических гармоник в сферической геометрии, описанному в разд. 3.3.1. [c.178]

Чтобы обеспечить определение групповых сечений и пользование ими, на практике применяют ту же процедуру, что и в методе сферических гармоник, и вводят разложение сечения рассеяния в ряд по полиномам Лежандра. После этого групповые константы становятся аналогичными тем, которые используются в многогрупповом методе сферических гармоник. Тем не менее остаются некоторые различия, в частности, в групповых константах для описанных здесь методов дискретных ординат имеются некоторые свободные параметры их возможное использование рассматривается ниже. [c.187]

Показать, что уравнения метода дискретных ординат для сферической геометрии с гауссовыми квадратурами и производной по углу, аппроксимируемой уравнением (5.16), эквивалентны уравнениям метода сферических гармоник (3.35). [c.196]

Математические трудности, возникающие при решении ин-тегродифференциальных уравнений, привели к появлению ряда приближенных методов решения уравнения переноса излучения. В приближениях оптически тонкого и оптически толстого слоев (последнее называется также диффузионным приближением, или приближением Росселанда) используются упрощения, вытекающие из предельного значения толщины среды. В приближениях Эддингтона и Шустера — Шварцшильда упрощения связаны с введением допущений об угловом распределении интенсивности излучения. В методе экспоненциальной аппроксимации ядра интегроэкспоненциальные функции в формальном решении заменяются экспонентами. Метод сферических гармоник, метод моментов и метод дискретных ординат — наиболее разработанные методы, позволяющие получить приближения более высоких порядков. [c.340]

Метод моментов, описанный Круком [22], и метод дискретных ординат, рассмотренный Чандрасекаром [2] и Кургановым [3], позволяют получить приближенные решения уравнения переноса излучения более высокого порядка. При этом, как было показано Круком [22], метод моментов, метод дискретных ординат и метод сферических гармоник совершенно эквивалентны. [c.372]

До сих пор обсуждение метода сферических гармоник касалось плоской геометрии. Здесь же рассмотрено применение этого метода и к другим геометриям. Для системы, симметричной относительно некоторой точки, мол<но использовать сферические координаты. Ниже показаь о, что уравнения метода сферических гармоник в таких координатах очень похожи на те же уравнения в плоской геометрии. Такие системы рассмотрены в настоящем разделе, а более общие геометрии, для которых разложение потока нейтронов в ряды по полиномам Лежандра неприменимо, описаны в разд. 3.3.3 для Рх-приближения. Использование метода сферических гармоник в цилиндрической геометрии рассмотрено в разд. 3.6.2. [c.111]

Хотя разностные уравнения были выведены здесь для диффузионного приближения, аналогичные уравнения можно легко получить н для Р1-прибли-ження. Когда диффузионное или Р -приближение оказывается недостаточным для представления угловой зависимости потока нейтронов, то можно использовать более общие разложения в методе сферических гармоник. Их применение к плоской и сферической геометриям уже было рассмотрено, а для цилиндрической геометрии описано в разд. 3.6.2. Для более сложных геометрий методы сферических гармоник оказываются настолько сложными, что обычно используются другие, особенно метод дискретных ординат (см. гл. 5) и метод А1онте-Карло. [c.123]

Для расчета распределения потока нейтронов в цилиндрической геометрии часто применяют метод сферических гармоник. Для реактора в целом обычно вполне пригодно диффузионное или Рх-приближение, описанные в предыдущих разделах настоящей главы. Однако в отдельной ячейке часто имеются тонкие или сильнопоглощающие области, для которых Р -приближение неприменимо. В этом случае для получения лучших решений уравнения переноса иногда используется метод разложения потока нейтронов в ряд по сферическим гармоникам. Получающаяся система уравнений оказывается более сложной, чем для плоской или сферической геометрии (см. разд. 3.1.2, 3.3.3), из-за наличия зависимости потока нейтронов от двух координат, описывающих направление движения нейтронов. [c.128]

Прежде всего интервал изменения угловых переменных строго фиксирован и угловая зависимость нейтронного потока внутри этого интервала в зн ачитель ной мере одинакова в различных задачах. Зависимость же потока от энергии и пространственной переменной совершенно различна, например, в небольшом реакторе на быстрых нейтронах и большом реакторе на тепловых. Тем не менее для ограниченного числа типов реакторов можно аппроксимировать энергетическую зависимость потока несколькими, возможно одним или двумя, членами разложения [4]. Кроме того, для систем с большими (в единицах средней длины свободного пробега) простыми зонами, таких, как голый гомогенный реактор, пространственное распределение нейтронов можно также аппроксимировать одной или двумя гармониками. Именно для таких систем пригодна асимптотическая теория реакторов. Хотя разложение нейтронного потока по простым энергетическим или пространственным функциям может оказаться приемлемым для некоторых специальных случаев, однако этот метод неприменим для изучения большого числа систем, для которых решение можно получить многогрупповым методом сферических гармоник. [c.135]

Когда Р1-приблпжение несправедливо, но геометрия системы достаточно проста, можно использовать, как показано в разд. 4.3.1 для плоской геометрии, миогогрупповые уравнения метода сферических гармоник более высокого порядка. Подобным же образом можно развить миогогрупповые методы на основе любых приближений, рассмотренных в гл. 3, для описания угловой зависимости потока нейтронов. Методы, отличные от рассмотренных и обладающие высокой точностью, обсуждаются в следующей главе. [c.155]

Эти граничные условия идентичны граничным условиям Марка для метода сферических гармоник (см. разд. 2.5.1). Следовательно видно, что метод дискретных ординат с выбранными таким образом квадратурными формулами эквивалентен методу сферических гapмoJШк с граничными условиями Марка. В частности, приближенные интегралы фп, определяемые уравнением (5.4), удовлетворяют тем же самым уравнениям и граничным условиям, что и в методе сферических гармоник. С помощью обоих методов получаются одинаковые потоки нейтронов и собственные значения. Кроме того, если угловая зависимость потока Ф х, х) для х Ф .1г дается обычным разложением по сферическим гармоникам [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...