Применение функции деформаций и напряжений

Применение функции деформаций и напряжений. В общем случае изгиба цилиндрической оболочки, для которой отношение Ija (рис. 260) не обязательно должно быть большим, влиянием моментов и Мху пре- [c.574]

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ [c.575]

В последующем мы будем часто использовать выше примененный метод наложения, или суперпозицию, для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами. Он является законным до тех пор, пока деформации малы, а соответствующие им малые перемещения не влияют существенно на действие внешних сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела, а также малыми перемещениями точек приложения внешних сил, и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела. Получающиеся в результате перемещения можно находить с помощью суперпозиции в виде линейных функций внешних усилий, как это было сделано при выводе соотношений (3). [c.28]

Линеаризация разрешающих уравнений и применение различных шаговых процессов — основа большей части исследований. Такой путь неизбежен при описании поведения материала оболочки инкрементальными соотношениями (теории пластического течения, ползучести). В этом случае физический закон представлен тензорно линейными соотношениями между скоростями (приращениями) тензоров деформаций и напряжений. Так, методом линеаризации нелинейные функцио- [c.24]

Для важного класса плоских (двумерных) задач теории упругости перемещения, деформации и напряжения зависят только от двух координат на плоскости. Основные уравнения, а также общие методы решения, обсуждавшиеся в гл. 5, получаются как частный случай из соотношений для трехмерной сплошной среды. Это подробно обсуждается в гл. 8. Применение функций напряжений в плоской теории упругости имеет большое практическое значение. Весьма плодотворным является при этом введение комплексной переменной и использование методов теории аналитических функций, приводящих к эффективному методу решения. В основном он был построен Г. В. Колосовым [30] и позднее развит Н. И. Мусхелишвили (см. [31, 32], а также [А7, АЗО]). [c.119]

Уравнения (127) вместе с граничными условиями (130) полностью определяют три функции и, о, w. Затем по формулам можно найти компоненты деформации, и из соотношений (9) и (6) — компоненты напряжения. Применение этих уравнений будет показано в главе 14. [c.251]

Физическая интерпретация функций vr и й становится ясной при применении уравнений (96) к опытам на релаксацию (постоянная деформация) при одноосном растяжении и при чистом сдвиге. В первом случае все напряжения (и их изображения Лапласа) равны нулю, кроме Ох, тогда в силу уравнения (96а) и аналогичного уравнения для 22 [c.138]

При решении задачи статики многослойных панелей общего вида методом конечных элементов (МКЭ) на основе вариационных формулировок смешанного типа (4.41), (4.42) требования к выбору функций формы остаются такими же, как и в методе перемещений. В качестве функций формы конечного элемента наиболее часто используются алгебраические полиномы, порядок которых должен обеспечивать требуемую гладкость функций и их производных. В МКЭ важным требованием к функциям формы является требование воспроизводить в элементе однородное напряженно-деформированное состояние и, в частности, описывать смещение элемента как жесткого целого. Наиболее распространенный способ удовлетворения указанным требованиям состоит в повышении порядка аппроксимирующих полиномов. При этом используются полиномы более высокого порядка, чем это требуется, исходя из структуры вариационных уравнений, что приводит к увеличению обобщенных степеней свободы конечного элемента. Применение смешанных вариационных формулировок позволяет с помощью независимой аппроксимации деформаций и перемещений улучшить свойства конечных элементов. [c.190]

Удобство применения функции напряжений заключается в том, что, пользуясь ею, мы можем указать очень большое число напряженных состояний, имеющих ось симметрии. Для этого достаточно лишь решения уравнения Лапласа (126), которых мы знаем очень много, подставить в формулу (125) или (131), и мы немедленно сможем вычислить функцию напряжений для деформированного состояния, обладающего осевой симметрией, а при помощи ее легко по написанной выше формуле вычислить также сами напряжения и деформации. Функция напряжений вполне определяет характер соответствующего напряженного состояния, так что она может служить для классификации напряженных состояний, имеющих ось симметрии. В то время как в случае плоской задачи, как уже было показано в четвертой главе, мы знаем ряд функций напряжений для разных случаев, имеющих важное значение, здесь дело обстоит иначе. Из всех практически важных случаев осевой симметрии функция напряжения, повидимому, известна лишь для случая бесконечного тела, ограниченного плоскостью и нагруженного сосредоточенной силой, т. е. для случая, рассмотренного нами в 87 ). Результаты, выведенные там, можно выразить через следующую функцию напряжений [c.214]

Прежде, чем идти дальше, необходимо сделать следующее замечание. Так как вообще напряжения и деформации различны в различных местах тела, то можно говорить только об их компонентах в данной точке. Так мы и поступали выше. Однако выражение в <<данной точке мы понимали различным образом в применении к компонентам деформации и к компонентам напряжения. Именно, когда мы говорили, например, что есть функция координат х, у, z, мы под х, у, z) понимали положение точки до деформации. Это же относится к компонентам и, v, w смещения. Когда же мы говорили, например, что Ху. есть функция от X, у, Z, мы под (х, у, z) понимали положение точки при окончательном (напряженном, а следовательно, и деформированном) состоянии тела. [c.59]

Таким образом, при малости деформаций и углов поворота начало стационарности дополнительной работы второго рода превращается в начало стационарности дополнительной работы первого рода. Этот последний принцип часто называют началом Кастильяно. Его можно сформулировать следующим образом из всех систем статически возможных напряжений истинными (т. е. удовлетворяющими требованиям совместности деформаций внутри тела и на его опорах) будут такие напряжения, которым соответствует стационарное значение функционала П. Заметим, что, помимо требования малости деформаций и поворотов, никаких других ограничений на применение начала Кастильяно не налагается. Вид функции Ф (а ), характеризующий упругие свойства материала тела, может быть каким угодно. [c.137]

Первая группа методов характеризуется тем, что точные дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи путем введения рабочих гипотез, основанных на физических соображениях и результатах эксперимента, заменяют приближенными. Одновременно упрощают и краевые условия, которые ставят в интегральной форме для определенных участков контура (например, вместо напряжений принимают усилия) или в локальной форме для отдельных линий сечения контура (например, в методе начальных функций, см. главу Vni). При указанной постановке задач, как правило, не удовлетворяются уравнения неразрывности деформаций. Применение этих методов к техническим задачам встречается в первых девяти главах настоящей книги. [c.8]

Отметим, что если задача решается в перемещениях (т. е отыскиваются функции и, V, ю), то в применении уравнения совместности деформаций нет необходимости. В дальнейшем рассматривается смешанная форма решения, согласно которой в качестве основных неизвестных принимаются нормальный прогиб IV и функция напряжений вводимая следующим образом [c.177]

Автору неизвестны другие применения алгоритма FFT для решения задач вязкоупругости, кроме рассмотренного в [23], где решается квазистатическая задача. Из уравнения (5.36) видно, что единственная информация, которая необходима для описания конструкции или материала с вязко-упругими свойствами, это передаточная функция Согласно принципу соответствия [1], и независимо от того, является ли задача квазистатической или динамической, эта функция идентична упругой передаточной функции, за исключением того, что вместо упругих констант в нее входят комплексные модули, или податливости. Более того, как показано в [1], для материалов с малым тангенсом потерь можно получить Rh непосредственно из численного или аналитического упругих решений. Этот подход является весьма общим, если обратить внимание, что и / в уравнении (5.31) могут представлять любые напряжения, деформации или перемещения в любой конструкции, обладающей вязкоупругими свойствами, или другой линейной системе. В следующем разделе будет также показано, что рассмотренный подход легко использовать для анализа некоторых задач из области механики разрушения. [c.200]

Развитие и применение методов акустической эмиссии для изучения сопротивления материалов деформированию и разрушению осуществляют в направлении установления надежных количественных корреляций между параметрами акустической эмиссии и величинами пластических деформаций, скоростей развития и длин трещин. Момент достижения максимума интенсивности акустической эмиссии соответствует моменту начала образования трещин, выявлению наличия количественных взаимосвязей, описываемых функциями степенного типа между параметрами акустической эмиссии и коэффициентом интенсивности напряжений и определению зависимости между амплитудами импульсов акустической эмиссии и характером подрастания трещины. [c.449]

Исследованиями в области теории упругости занимался в начале XX в. и С. А. Чаплыгин. К 1900 г. относятся его рукописи Деформация в двух измерениях и Дав-ление жесткого штампа на упругое основание , которые впервые были напечатаны лишь в 1950 г. В этих статьях Чаплыгин разработал метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного. Аналогичный метод решения плоской задачи теории упругости был разработан Г. В. Колосовым, который в 1909 г. опубликовал весьма важную работу Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости , где установлены формулы, выражающие компоненты тензора напряжений и вектора смещения через две функции комплексного переменного, [c.264]

Кроме аналитического метода для той же цели может быть использован графоаналитический способ, а также, особенно в применении к коленчатым стержням (см. ниже), и теорема Кастильяно. Применяя к определению перемещений при сложном сопротивлении теорему Кастильяно, нужно потенциальную энергию деформации стержня и представить в виде функции всех шести компонентов сил iV, Qy, Qz, Мж, My и Пренебрегая энергией касательных напряжений сдвига, можем написать [c.390]

Удобство применения обобщенного принципа в прикладных задачах состоит в том, что для его использования достаточно определить хотя бы одну диаграмму деформирования конструкции, по которой находится функция F. Последняя вместе с реологической функцией дает все необходимое, чтобы с помощью уравнений состояния (8.83), (8.81), (8.82) рассчитать реакцию конструкции на любую программу нагружения. Уравнение состояния сводит задачу расчета однопараметрической конструкции к ноль-мерной подобно расчету однородно нагруженного образца материала, здесь устанавливается непосредственная связь между нагрузкой и перемещением, которая полностью отражает зависимость полей напряжения и деформаций в конструкции, [c.202]

Рассмотрим пример использования векторного метода, в определенном смысле противоположный предыдущему. Если в задаче о трубке использование векторного метода является совершенно естественным (деформация может быть описана с помощью малого числа базисных функций), то исследование плоского напряженного состояния вблизи геометрического концентратора относится к числу задач, для которых использование МКЭ представляется более предпочтительным. В этом случае перемещения изменяются далеко не плавно, базисные функции должны зависеть от двух аргументов. В то же время внешние силы приложены в области, далекой от концентрации напряжений, и прямо не влияют на напряжения в зоне концентрации последние должны определяться только геометрией, связями между конечными элементами. Такая задача относится к числу наиболее неудобных для применения векторного метода. [c.246]

В общем случае модуль Во исходного образца и модуль Ех образца, накопившего остаточную деформацию, не равны, так как в процессе релаксации может меняться структура резин. Поэтому отношение Sx/fo является слабой функцией времени. Однако для многих случаев применения технических резин в условиях напряженного состояния Е-с Eq и тогда [c.26]

Рассмотрим теперь применение метода Шварца к решению плоских задач теории упругости. Для краткости изложения ограничимся случаем плоской деформации сжимаемого материала. Пусть задача решается для бесконечной области, ограниченной простыми замкнутыми непересекающимися контурами Fi, Г2,..., на границах которых заданы поверхностные силы Qi, Q2, , Qm являющиеся непрерывными функциями точек контура. Заданные напряжения на бесконечности обозначим через сг . Будем считать, что массовые силы отсутствуют. Обозначим через U вектор перемещений, а через Nj (j = 1,..., m) — векторы нормали к соответствующим контурам. Тогда уравнения и граничные условия краевой задачи могут быть записаны следующим образом [c.234]

В этой книге излагается общая теория криволинейных координат и ее применения в механике, в учении о теплоте и теории упругости разъясняется преобразование уравнений теории упругости к криволинейной системе координат и в качестве примера исследуется деформация сферической оболочки. В заключительных главах Ламе подвергает критическому анализу принципы, на основе которых строится вывод основных уравнений теории упругости. Теперь он уже не одобряет вывод уравнений по способу Навье (с привлечением гипотезы молекулярных сил), а отдает предпочтение методу Коши (в котором используется лишь статика твердого тела). Затем он принимает гипотезу Коши, согласно которой компоненты напряжения должны быть линейными функциями компонент деформации. Для изотропных материалов принятие этой гипотезы приводит к сокращению кисла необходимых упругих постоянных до двух, находимых из испытаний на простое растяжение и простое кручение. Таким путем все не- [c.144]

В предыдущем разделе сформулированы критерии прочности. Для их правильного применения необходимо разобраться в самих понятиях прочность и разрушение . Обычно считается, что конструкция утратила прочность, если за счет частичного или полного разрушения ее элементов или вследствие недопустимой деформации она перестала выполнять свои функции. В этом смысле прочность является интегральным свойством конструкции. Но критерии прочности связаны с напряженным состоянием в точке конструкции и поэтому определяют локальные свойства как напряженного состояния, так и материала. Чтобы понять соотношение между интегральным и локальным в прочности, рассмотрим сначала такие конструкции, у которых напряженное состояние во всех точках или в существенной части конструкции одинаково (однородно). Простейшим примером такой конструкции является стержень постоянного сечения, находящийся в состоянии центрального растяжения иод действием приложенных к его концам сил. Во всех его поперечных сечениях возникают только постоянные по сечению напряжения (Тх- Именно такое напряженное состояние и создается в образце при испытаниях на растяжение. Если этот стержень выполнен из пластичного материала, то при Gx = сгт пасту- [c.361]

Из приведенных результатов ясно, что метод ГИУ, примененный для решения рассматриваемой плоской задачи и записанный при помощи функции напряжений Эри, позволяет получить результаты, детально описываюш.ие характер решения, например распределение напряжений и деформаций око- [c.99]

Соотношение между напряжением и скоростью деформации. Хотя основные уравнения движения уже были даны в главе II, необходимо установить здесь соотношение между напряжением и скоростью деформации, чтобы можно было написать эти уравнения в удобной для применения форме. Поскольку поворот координатной системы не влияет ни на напряжение, ни на скорость деформации, напряжения будут выражаться как функции скоростей деформации по главным направлениям, а преобразование координат от старых к новым будет осуществляться согласно установленному закону. [c.190]

Ui( t — x), МЫ предлшагаем, что функции щ по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций Ui по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнами. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями с, и Сг требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений. [c.441]

Применение АФЧХ деформаций для исследования динамики и уравновешивания гибких роторов является весьма перспективным, так как дает возможность определить величину и положение неуравновешенности гибкого ротора, определить собственные формы и частоты колебаний, фазовые соотношения, диссипативную функцию по величине резонансного диаметра. Тензодатчики, наклеенные на тело ротора, дают возможность судить о напряженном состоянии ротора в процессе эксплуатации. [c.57]

Релаксация напряжений. Напряжение при заданной величине деформации является функцией времени. При этом нелинейность диаграмм деформирования пластмасс ограничивает применение линейной зависимости между напряже-ниямп и деформациями значениями напряжений, не превосходящими 0,5а,. Это значение для разных пластмасс примерно совпадает со значениями пределов длительной прочности. Зависимость между напряжениями в момент времени t и начальными напряжениями принимается в виде [2] [c.315]

Таким образом, видно, что метод Релея — Ритца в теории упругости при малых перемещениях ведет к формулировкам, эквивалентным тем, которые получены с помощью приближенных методов 1.5 и 1.7. Однако каждый метод имеет свои преимущества и недостатки в применении к задачам, отличным от задач теории упругости. Эти приближенные методы справедливы независимо от соотношений напряжения — деформации и потенциалов внешних сил, но обычно трудно доказать, что приближенное решение сходится к точному при увеличении п. С другой стороны, соотношения напряжения — деформации, объемные силы и поверхностные силы должны обеспечивать существование функций состояния Л, Л Ф и Ч при использовании вариационных формулировок метода Релея — Ритца. Однако доказательство сходимости решений здесь менее сложно, особенно когда найдено минимальное или максимальное значение функционалов. [c.62]

Сначала на примере неоднородного стержня показывается техника применения методики осреднения к нелинейным краевым задачам. С помощью этой методики задача о стержне решается точно. Затем подробно описывается решение квазистатической задачи неоднородной и анизотропной теории пластичности. Рассматриваются теория эффективного модуля и теория нулевого приближения. Большое место в главе уделяется построению теории малых упруго-пластических деформаций для анизотропной однородной среды. Для такой среды доказываются теорема единственности решения квазистатической задачи в перемещениях и напряжениях, теоремы о минимуме лагранжиана и максимума кастильяниана, теоремы о простом нагружении. Описывается схема экспериментов, необходимых для определения материальных функций исследуемой теории. Показано, как исходя из теории малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина для изотропной среды получить методом осреднения соотношения анизотропной теории пластичности. [c.219]

В первой части курса излагается общ ая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного зшру-гого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче. [c.5]

В книге сделана попытка дать новое, более наглядное изложение предложенного Мором графического метода представления напряжений и бесконечно малых деформаций. С этой целью автором широко использовано понятие об октаэдрических составляющих напряжений и бесконечно малых деформаций, с помощью которых многие важные факты в теории пластичности нашли простое выражение. Автор надеется, что инженеры и физики будут шире пользоваться этим методом, весьма удобным для наглядного представления тензоров напряжения и деформации и для анализа критериев прочности и пластичности в твердых телах. Одна из глав посвящена векторному аппарату исследования геометрии напряжений и конечных однородных деформаций. Ее можно рассматривать как попытку познакомить читателя, имеющего математические склонности, с основами теории линейных вектор-функций в ее применении к теории деформаций непрерывной среды и с использованием диадного исчисления Гиббса. Удивительно, что простота, совершенство формы и ясность изложения, которые достигаются при пользовании этим методом, не встретили до сих пор широкого признания в литературе по прикладной механике. В гл. XIV автор следовал изложению книги Вилсона Векторный анализ . Хотя присущие диадному исчислению эвристические достоинства и не требуют рекомендаций для механиков, все же нужно добавить, что этот прием не заключает в себе каких-либо преимуществ перед другими методами в качестве средства для нахождения конкретных решений дифференциальных уравнений в частных производных. [c.6]

Связующее и металлы типа алюминия являются горючей основой топлива. Наличие металлических присадок в ТРТ обусловливает повышение теплопроизводительности топлива по двум причинам вследствие высоких тепловых эффектов экзотермической реакции окисления металла, а также благодаря увеличению содержания водорода в продуктах сгорания и отсутствию водяного пара в выхлопной струе, что снижает соответствующие потери энергии. Однако практическое применение металлосодержащих топлив связано с определенными проблемами, заключающимися в том, что образующиеся при расширении потока в сопле РДТТ твердые окислы металлов медленнее отдают тепло потоку (термическое запаздывание) и ускоряются не так быстро (скоростное запаздывание), как газообразные продукты сгорания, что приводит к потерям удельного импульса. Связующее представляет собой высокоэластичное вяжущее вещество, которое наполняют окислителем и частицами металлического горючего. Связующее в ТРТ выполняет несколько функций. Являясь важным источником горючей основы топлива, оно, кроме того, должно скреплять между собой дисперсные частицы окислителя и металла, образуя пластичную каучукообразную массу, способную выдерживать большие деформации, возникающие под действием термических и механических напряжений. Таким образом, связующее в значительной мере определяет ме- [c.38]

В датчике силы воспринимающий узел, включающий чувствительный члемент и механическим преобразователь, создает упругую силу, которая уравновешивает измеряемую силу Поэтому воспринимающий узел часто называют упругим злемеп-том Деформация упругого элемента или относительное перемещение его ча1теи яв ляется входным сигналом МЭП Если применен МЭП, чувствительный к механическому напряжению, то он одновременно выполняет функции упр гого элемента [c.229]

Эти результаты, очевидно, отличаются по форме от тех, которые мы получали до сих пор. Перемещением, которое соответствует Р (в смысле главы 1, 7), является опускание точки О на рис. 63. Не задерживаясь на его вычислении, как функции у, мы из (16) можем видеть, что так как А не определена, оно не обязательно пропорционально Я, а может иметь любое значение. Таким образом, задача выходит из области применения общих теорем, изложенных в I и 111 главах, хотя она решалась согласно теории, предполагающей, что закон Гука является основным соотношением между напряжением и деформацией. Мы вернемся к этому в гл. XIII ( 476). [c.256]

Метод Ритца был применен также и в сочетании с принципом наименьшей работы ). При этом установлено, что если дано тело с действующими на него поверхностными силами и рассматриваются такие изменения компонент напряжения, что это не отражается ни на уравнениях равновесия, ни на краевых условиях, то истинными значениями этих компонент напряжения будут те, при которых вариация энергии деформации обращается в нуль. Например, в двумерной задаче с функцией напряжения <р энергия деформации выразится двойным интегралом [c.479]

Для определения общей потенциальной энергии деформируемой системы, обусло1зленной действием изгибающих и крутящих моментов, введена конечно-разностная схема с пересекающейся сеткой. Использование этой схемы дозволяет уменьшить погрешность аппроксимации выражений для потенциальной энергий деформации, вызванной крутящим моментом, с помощью конечно-разностных соотношений, и, кроме того, исчезает необходимость введения фиктивных узлов в граничной области. Узловые подобласти, используемые в этом методе, дают возможность получить приближенные конечные суммы, базирующиеся на значениях функций в узлах сетки, покрывающей определенным образом рассматриваемую пластинку. Выражение потенциальной энергии деформации для граничных узловых подобластей соответственно изменяется таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для изгибающего момента и чтобы обеспечивалась возможность применения центральных конечных "разностей в районе границ. Дополнительные граничные условия для напряжений удовлетворяются автоматически в процессе минимизации, приводящей к конечно-разностным соотношениям, подобным тем, которые получаются при прямом использовании метода конечных разностей, но без применения фиктивных узлов, лежащих за границей пластинки. [c.115]

Рассмотрим применение вышеизложенной теории к определению пластических деформаций при лучевых путях немонотонного" нагружения. При этом влияние истории нагружени-я на пластическую деформацию может сказаться через функцию /,з, через положение мгновенной границы текучести и через приведенный модуль сдвига g. При простом нагружении, когда история нагружения тождественна, с самим процессом, функция зависит только от текущих напряжений и параметра X текущего пути нагружения (формула (102)). В случае сложного нагружения, например при немонотонных нагружениях по лучевым путял есть три более простые возможности [c.85]

Расчет концентрации напряжений производят часто методами теории упругости (с использованием теории аналитических функций и аппарата конформного отображения). В последние годы получили развитие и широкое применение численные методы теории упругости , позволяющие эффективно решать задачи расчета концентрации напряжений и деформаций в элементах конструкц ш в условиях упругости, пластичности и ползучести. [c.549]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...