Функции гладкость

Оценка полирующей способности электролита по величине блеска условна, так как видимый блеск зависит от соотношения зеркального и диффузного отражений, являющихся функцией гладкости поверхности, ибо наличие макроскопических шероховатостей даже на блестящей поверхности увеличивает диффузное отражение [4]. [c.7]

При рассмотрении функционалов возникают вопросы о гладкости и непрерывности. Для этого нужно некоторое удовлетворительное расширение аналогичных понятий, уже известных для функций. Функция считается непрерывной, если при достаточно малом изменении аргумента изменение ее значения тоже достаточно мало (более строго, оно меньше любого наперед заданного числа). Гладкость функций предполагает, что производная ее непрерывна. В попытке распространить это понятие на функционалы возникает трудность, связанная с нахождением подходящего определения того, что подразумевается под малой вариацией функции. Более общо, при рассмотрении понятий непрерывности и гладкости для [c.136]

Принцип затухающей памяти гласит, что если заданы две предыстории, которые почти совпадают в недавнем прошлом, но могут сильно различаться в отдаленном прошлом, то соответствующие им два значения зависимой переменной должны быть весьма близкими. Это требование удовлетворяется при условии, что функционал состояния предполагается непрерывным в смысле соответствующей топологии пространства предысторий, которая определяет малое расстояние между такими функциями. Точная формулировка принципа затухающей памяти должна быть дана в терминах предположений непрерывности и гладкости функционалов состояния. [c.140]

К сожалению, сразу же видно, что такая задача безнадежно трудна. Действительно, рассмотрим вначале задачу экспериментального определения такой функции, как т] (S). Задача состоит в измерении значений функции, соответствующих определенному конечному набору значений аргумента. Чем полнее этот набор, тем лучше наши знания о самой функции. Ясно, что эта программа осуществима, и функция может быть определена с любой желаемой степенью точности, по крайней мере в некотором диапазоне значений аргумента (здесь явно или неявно используется предположение о гладкости). [c.168]

Таким образом, рассматривая неньютоновские жидкости, следует выдвинуть соответствующие гипотезы гладкости. Теория простой жидкости позволяет получить определенные результаты, поскольку в ней делаются предположения, касающиеся свойств гладкости определяющего функционала. Конечно, можно допускать существование материалов, которые не удовлетворяют таким гипотезам гладкости. Однако альтернативной теории не существует, поскольку не сформулировано альтернативной системы гипотез гладкости, не говоря уже о трудностях, связанных с получением такой альтернативной системы. Ряд результатов (таких, в которых материальные функции могут быть определены из некоторых течений с предысторией постоянной деформации) можно получить без формулировки какой-либо гипотезы гладкости, но далее надо либо следовать теории простой жидкости, либо же выдвигать альтернативную теорию. [c.244]

Известно, что при не слишком ограничительных предположениях иа гладкость вектор-функция и = и х) может быть представлена Б виде суммы [c.94]

Приведем таблицу, иллюстрирующую точность различных конечных элементов (см. табл. 4.1), заимствованную из работы [43]. Верхняя строка таблицы указывает порядок погрешности интерполяции на элементе, во второй строке указана предполагаемая гладкость интерполируемой функции (принимается p q = 2). [c.192]

Используя введенные выше предположения о гладкости функции f(x), найдем, что [c.198]

Отметим, что условие (3.3) выполняется, если функция / имеет в D непрерывные частные производные по у, у, . .., / . Таким образом, существование и единственность решения задачи Коши обусловливается достаточной гладкостью функции / в окрестности начальных условий. [c.97]

При построении преобразования Лапласа и его обращении на оригинал у (t) были наложены ограничения (6.16), (6.27). Если к этим ограничениям добавить упоминавшиеся ранее замечания о степени гладкости функций г/ (О, ф (0. окончательно определение оригинала будет выглядеть следующим образом (применительно к любой функции у (t), не обязательно являющейся решением уравнения (6.1)). Функцию у (t) назовем оригиналом (по Лапласу), если [c.199]

Заметим, что для обеспечения высокого порядка аппроксимации производной необходимо, чтобы функция обладала достаточной гладкостью. [c.226]

Для однозначности 1п(т — I) следует рассматривать в качестве краевого значения функции 1п(т — 2) в плоскости г с разрезом от t до схз. Учитывая гладкость контура, в пределе получаем [c.14]

Гладкость ядра интегрального уравнения в той или иной степени может нивелировать особенности функции f x). Функция же F p) ввиду ее аналитичности является функцией весьма плавной, и поэтому резкое изменение функции f x) на малом участке в гораздо меньшей степени отразится на трансформанте, что, естественно, должно приводить к неустойчивости (некорректности) при численной реализации. [c.74]

За область его определения примем множество функций, удовлетворяющих тем же условиям, что и функция ф. Будем определять минимум функционала на этом множестве. Допустим, что функция о минимизирует функционал (12.33). Покажем, что если эта функция имеет в Q непрерывные вторые производные, то она удовлетворяет уравнению (12.31). Выполнение краевых условий автоматически следует из определения множества функции и. Пусть функция г](р) удовлетворяет тем же требованиям гладкости, что и функция ф, а на поверхности S обращается в нуль. Если i — произвольное вещественное число, то имеем [c.143]

В этом параграфе при формулировке краевых и начальных условий не будут вводиться ограничения математического характера на задаваемые функции. Дело в том что необходимая для разрешимости соответствующих задач та или иная степень их гладкости в основном определяется математическими методами, используемыми при решении. Применение методов теории потенциала, например, приводит к тому, что краевые значения смещений или напряжений должны принадлежать классу Г. — Л. [c.244]

Из теории эллиптических уравнений (а к таковым принадлежат уравнения Ламе) известно, что решение является бесконечно дифференцируемой функцией во всех внутренних точках, если этим свойством обладает и правая часть. Более того, если потребовать, чтобы сама граничная поверхность была бесконечно дифференцируемой, краевые условия обладали достаточной гладкостью и, что очень важно, их характер не был различным на разных участках поверхности, то решение будет бесконечно дифференцируемым вплоть до граничной поверхности. Естественно, что при нарушении этих условий есть основания полагать, что решение в граничных точках будет обладать особенностью (например, его производная может оказаться неограниченной и т. д.). [c.305]

Если X лежит вне отрезка [л о, Хп], т. е. при экстраполяции, та (Оп(х) , а значит, и п(л ) могут быть весьма велики. Порядок интерполяции (т. е. число узлов п) должен определяться гладкостью интерполируемой функции. Если производные высших порядков не существуют или велики, то нельзя ожидать повышения точности от увеличения числа узлов сетки. [c.7]

При недостаточной гладкости функции f(x) интервал [а, 6] разбивают на частичные интервалы и на каждом из них применяют интерполяцию невысокого порядка. [c.7]

Понятие погрешности аппроксимации можно ввести и другим способом. Для этого в соотношении ah = Rh u)—R u) под и следует подразумевать не обязательно точное решение краевой задачи, а произвольную достаточно гладкую функцию из некоторого функционального класса LI. Тогда говорят о погрешности аппроксимации схемы по отношению к классу функций U. Покажем на примере того же уравнения (3.3), что порядок аппроксимации для точного решения может быть выше, чем для класса функций, обладающих такой же гладкостью. Пусть г=, т. е. x = h. Если и — точное решение уравнения (3.1), то, дифференцируя (3.1), получаем [c.77]

Будем предполагать, что функция ф( ) обладает достаточной гладкостью и, кроме того, удовлетворяет следующим условиям шр (и)>0, ф"(и)>0, =5 0. В качестве ф(и) можно взять, например, функцию ф( )= 2/2. [c.149]

Коэффициент Х.Д помимо уже известных из (7.16) параметров зависит от относительной гладкости в виде относительной глубины А/Д, неоднородности грунтового материала, которая оценивается отношением диаметров частиц в выбранных характерных зернах одного размера, и от других факторов. Коэффициент (или Сф) чаще всего представляют в виде функции относительных параметров Л/Ар, /р/Ар и др. (А — глубина потока. Ар и /р— высота и длина гряд). При этом коэффициент Шези увеличивается с увеличением относительной гладкости и относительной длины гряды. [c.29]

На замыкающем луче х=хо для параметров, характеризующих состояние газовой фазы, необходимо ставить так называемые мягкие граничные условия которые с математической точки зрения представляю собой условия гладкости соответствующих функций. [c.398]

В соответствии с этим методы определения функций положений и функций перемещений звеньев различны. Функции положений звеньев определяют в результате решения систем уравнений, отображающих зависимости переменных и фиксированных величин, характеризующих кинематические схемы механизмов. Таким образом, методами определения функций положений звеньев являются методы решения уравнений и их систем. Функции перемещений звеньев строятся из отрезков функций положений звеньев по условиям гладкости сопряжений кусков функций положения. Следовательно, методы построения функций перемещения должны основываться на определении левосторонних и правосторонних пределов функций положения и их производных в точках ветвления (бифуркации). [c.46]

Е лишь конечное число односторонних производных (оно равно [сб] —целой части а). Поэтому, выбрав функцию / так, чтобы в системе (12) развести сепаратрису седла и гладкое инвариантное многообразие узла, получим, что центральное многообразие системы (12) негладко. Гладкость его части, заключенной в полосе е <ео, не превосходит 1/2 / ео и стремится к бесконечности при ео- 0. [c.68]

Важнейшим свойством целевой функции является непрерывность и гладкость получаемой абстрактной поверхности. В общем случае она представляет полином к к к [c.70]

Функция Р, = Х,ед +K,ey + Z,e называется силон, действующей на точку яг,. Условия существования, единственности и достаточной гладкости решений системы уравнений (1) считаются выполненными. На практике выражения F подбираются так, чтобы не слишком громоздко и вместе с тем возможно более точно учесть взаимодействия между точками и воздействия на них других объектов. За этой краткой формулировкой кроется следующее [c.52]

Вектор Р=(Л, У) называется силой. Принято г называть положением точки, пару (г, г) — состоянием. Движение однозначно определяется начальным состоянием (го, Го) в мгновение Почаще всего F=F(r). Тогда если г (О — движение, то и г( +т) — движение (поскольку F не зависит от t) и r(—t) — тоже движение (поскольку Р не зависит от г) с начальным состоянием Го, —Го. Иначе говоря, движения допускают сдвиг и инверсию времени. Можно считать о = 0. Множество, на котором определена вектор-функция F(r), есть некоторая область U rR обычно это R2 целиком или без нескольких точек. Явно указывать область определения и степень гладкости F (пусть С°° для простоты) не принято. [c.148]

Пусть вектор-функция R удовлетворяет необходимым для дальнейших рассуждений условиям гладкости по всем переменным а число п соответствует числу степеней свободы системы. [c.60]

При таком определении решения можно утверждать, что гладкость функций Ml (t), ф (О определяется гладкостью функции внешнего воздействия F (О2 при [i , дальнейшем, исходя из реальных свойств момента нагру- [c.112]

Из общих теорем функционального анализа следует, что такое построение всегда возможно, если аппроксимируемая функция обладает достаточной гладкостью [8], [42]. В частности это всегда осуществимо, если функция имеет конечное число разрывов на конечном интервале изменения независимой переменной. Таким образом, матрицы В, С можно аппроксимировать матрицами В, С с, кусочно-постоянными элементами так, чтобы выполнялись условия аппроксимации (25.3). [c.149]

В рассматриваемом случае, весьма характерном для практики, элементы матрицы С и характеристика г (7) являются функциями дискретного аргумента, заданного таблично (см. табл. 12). Как правило, эти функции не обладают достаточной гладкостью для существования классического решения системы дифференциальных уравнений движения (42.6). Следовательно, при табличном задании некоторых характеристик машинного агрегата (в рассматриваемом случае — характеристик трения, т. е, силового передаточного отношения) задача отыскания точного решения системы уравнений движения, вообще говоря, не имеет смысла. При этом [c.256]

Таким образом, матрица С содержит нелинейный элемент ai, вектор-функция F (t, у) — нелинейную компоненту Fz t, v)- Вследствие этого дифференциальное уравнение движения (12.7) является нелинейным общего вида. Учитывая сложность зависимости (U), решение уравнения (12.7) точными методами неосуществимо тем более, что зависимость силового передаточного отношения от скорости обычно задается таблично. Полученные экспериментально такие функции не обладают достаточной гладкостью для существования классического решения системы дифференциальных уравнений движения. Следовательно, задача отыскания точного решения в этом случае не имеет смысла. Решение системы уравнений (12.7) осуществимо методом кусочно-линейной аппроксимации нелинейных зависимостей, в том числе и в случае их табличного задания по экспериментальным данным [29]. Отыскание решения аппроксимирующей системы осуществляется методами, разработанными в гл. II, причем найденное таким образом решение у t), удовлетворяющее условиям аппроксимации [c.305]

Упражнение 8. Покажите, что трикубические полиномы дают аппроксимирующую функцию гладкости С° (т. е. просто непрерывную) на сетке треугольных элементов. [c.84]

Б. Переходная область. Значения Л в функция Не и относительной гладкости с(/А для стальных труб, по данным Мурнна (Всесоюзный теплстехгшческий институт нм. Ф. Э. Дзержинского), приведены на графике прп-ложсиня 2. [c.233]

Вводя гипотезу о гладкости функции по переменной Хз, с помощью разложения в ряд Тейлора по этой переменной и с использованием равенства (2.74) убеждаемся, что Стдз имеет порядок малости h [c.58]

Таким образом, воздействие распределенных по границе моментов, имеющих только составляющую, нормальную к контуру, эквивалентно воздействию перерезывающей силы с интенсивностью (—dMfilds), добавляя эти усилия к заданным (Rs), приходим к условию свободного края в виде (2.231). Заметим, что при выводе этой формулы существенным образом используется предположение о гладкости функции М,, = M/,(s) и о гладкости самого контура Г. Если эти условия нарушаются, то при замене распределенных моментов 7W/, соответствующим распределением перерезывающих сил можем получить на границе нагрузки в виде сосредоточенных сил. [c.84]

Задача (11.144) проще задачи (11.141) по той нричи[ е, что по старым переменным у теперь нет никаких ограничений, новые переменные / удовлетворяют очень простому ограничению неположительности. Кроме того, функционал (11.143) дифференцируем при переходе через границу К (в предположении достаточной гладкости функций G ), и в этом—определенное преимущество данного метода перед предыдущим [c.343]

Эти отображения являются непрерывными и кусочно-линейными. Функции fi(t, х), fiit, х) имеют в каждой замкнутой подобласти G непрерывные производные достаточно высокого порядка, если особые линии обладают нужной гладкостью. При указанных преобразованиях производные в новых и старых переменных связаны соотношениями [c.147]

Из изложенного следует, что функции перемещений звеньев должнь[ строиться из отрезков многозначных функций положений звеньев по условиям гладкости и, вообще говоря, явля-ютея комбинациями функций положений, стыкуемых в точках ветвления (бифуркации) функций положения. [c.46]

Под гладкостью здесь понимается наличие достаточного числа непрерывных производных, причем предполагается, что производные функций /г, g по пространственным координатам кусочнонепрерывны по t, как отображения отрезка [0, Т в пространство непрерывных функций. Тогда решение — гладкое в области и Да, где Да — круг радиуса 3, с центром в точке Хц, значение с1 произвольно. Выберем <1 так, чтобы Даа С V. [c.149]

Хотя предложенный метод является приближенным для N < оо, в принципе погрешность можно сделать сколь угоднО малой при достаточно большом числе N и достаточно близких друг к другу значениях Хг. Это следует из свойства полноты системы интегрируемых с квадратом функций, в рядах Дирихле [87]. На практике, однако, точность обращения ограничивается гладкостью изображений по Лапласу. Ошибки за счет округления, неизбежные при любых численных представлениях, и погрешности при интерполяции, например при 1юлучении ассоциированного упругого решения методами конечных разностей или конечных элементов, определяют нижнюю границу погрешности для квадратичного отклонения [19, 84, 87]. Оказывается, что для принятых численных значений изображений Лапласа при сближении Хг квадратичная ошибка сначала уменьшается, а затем увеличивается. Этот рост отражает перемену знака возрастающих членов в функции Д/с(0- [c.146]

Очевидно, при произвольных нелинейных характеристиках звеньев система уравнений движения машинного агрегата (дифференциальная или алгебро-дифференциальная) оказывается нелинейной системой общего вида и не может быть решена аналитически. В ряде случаев характеристики нелинейных звеньев являются дискретными функциями задаваемых таблицами параметров. Указанное относится, прежде всего, к звеньям, характеристики которых получаются экспериментально. Как правило, эти функции не обладают достаточной гладкостью для существования классического решения системы дифференциальных уравнений движения [94]. Следовательно, при табличном задании характеристик некоторых звеньев машинного агрегата задача отыскания точного решения системы уравнений движения, вообще говоря, не имеет смысла. [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...