Функции деформации и напряжений

Энергия деформации в функционале вычисляется интегрированием по объему произведения функций деформации и напряжения. Для этого необходимо [c.23]

Применение функции деформаций и напряжений. В общем случае изгиба цилиндрической оболочки, для которой отношение Ija (рис. 260) не обязательно должно быть большим, влиянием моментов и Мху пре- [c.574]

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ [c.575]

Согласно соотношениям (531) функции деформаций и напряжений определятся выражениями [c.164]

Таким образом, функции деформаций и напряжений принимают следующий окончательный вид [c.164]

В приведенных уравнениях для ДФ и ДФ чисто температурный (последний) член не варьируется и его можно не учитывать, считая формально с = Св = 0. В этом случае функции ДФ и ДФ могут соответственно рассматриваться как потенциальные функции деформации и напряжения [4].. [c.197]

Важно подчеркнуть, что при г, стремящемся к нулю, Ur стремится к бесконечности, это же происходит с деформациями и напряжениями. Вообще говоря, уравнения Ляме не годятся для описания среды, испытывающей большие деформации. Но формально эти уравнения такие решения допускают и они пригодны и удобны для описания реальных процессов, когда г ограничено снизу. Пусть, например, упругая волна вызвана равномерным давлением, приложенным к поверхности сферической полости радиуса Го. Тогда формула (10.11) описывает решение в области г го, и особенность при г- 0 оказывается вне области, в которой ищется решение. В этом примере функция f, фигурирующая в формуле (10.11), легко определяется по заданному на полости давлению р=р(го, t). [c.252]

Приведем, следуя [124], соотношения. между введенными выше аналитическими функциями, имеющие место на плоскости 2 = 0. Заметим, что в этом случае 6 = 0i = 02 = /х. Для их вывода буде.м использовать краевое условие (10.6), а также соотношения (5.53) и (5.54) гл. III и соотношения, связывающие деформации и напряжения со смещениями. Вводится одна функция [c.448]

Здесь Ui — функции только координат, но не времени. Аналогичным образом представятся, очевидно, компоненты деформации и напряжения. Обозначая теперь через щ, Оу амплитуды перемещений и напряжений, так что Ui=Ui, мы получим вместо (13.1.3) следующую систему [c.433]

При Ое = 0 е = —k( a ) таким образом, функция h —ai) представляет непосредственно зависимость между пластической деформацией и напряжением 0 при простом сжатии. В дайной теории диаграмма сжатия совпадает с диаграммой растяжения, уравнение которой получается путем простой перемены знаков el=h[a ). [c.556]

Определим вид этой функции. Подставляя функцию прогибов (8.1) в формулы (7.5) и (7.6), убеждаемся, что составляющие деформации и напряжений являются линейными функциями параметров а,-. Подставляя составляющие деформации и напряжений в формулу (3.19), убеждаемся, что потенциальная энергия и является квадратичной функцией параметров а . Подставляя функцию прогибов (8.1) в формулу (8.4), убеждаемся, что работа внешних сил А в пластинке является линейной [c.156]

В последующем мы будем часто использовать выше примененный метод наложения, или суперпозицию, для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами. Он является законным до тех пор, пока деформации малы, а соответствующие им малые перемещения не влияют существенно на действие внешних сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела, а также малыми перемещениями точек приложения внешних сил, и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела. Получающиеся в результате перемещения можно находить с помощью суперпозиции в виде линейных функций внешних усилий, как это было сделано при выводе соотношений (3). [c.28]

Использование метода конечных элементов в вышеописанном виде заключает в себе источник погрешности, связанной с тем, что на границах конечных элементов не обеспечивается неразрывность деформаций и напряжений, которая обычно имеет место в статических задачах теории упругости. Для обеспечения неразрывности напряжений требуется сопрягать на границах конечных элементов также производные от аппроксимирующих функций. [c.563]

Закон движения рабочего звена должен обеспечивать выполнение заданных функций при наиболее благоприятных условиях работы механизма. Для уменьшения дополнительных динамических нагрузок следует выбирать закон движения с возможно меньшими ускорениями а, так как чем больше ускорения центра массы толкателя, тем больше силы инерции давления пружин, уравновешивающих эти силы силы трения износ деформации и напряжения в материале деталей механизма. [c.228]

Определив функцию А (t) из уравнения (7.43), находим далее перемещения, деформации и напряжения по формулам (7.41), (7.42), (7.38). [c.124]

Смешанная форма решения, согласно которой в качестве основных неизвестных вводятся функции прогиба и напряжений [150], предусматривает удовлетворение уравнения совместности деформаций, которое следует из равенств (75) и заменяет соответствующее линейное уравнение (44), [c.189]

Изложенные закономерности сопротивления термоциклическому нагружению относятся к однородным напряженным состояниям растяжения — сжатия или чистого сдвига. Они являются основой для определения малоцикловой несущей способности неоднородно напряженных элементов конструкций. Эта циклическая напряженность находится в упругопластической области, являясь при стационарном внешнем нагружении нестационарной в силу процессов перераспределения деформаций и напряжений при повторном деформировании. Анализ полей деформаций в зонах наибольшей напряженности элементов, особенно в местах концентрации, связан с решением достаточно сложных краевых задач, о чем далее будут изложены некоторые данные. Применительно к задачам концентрации напряжений и деформаций представилось возможным применить решение Нейбера [23], связывающее коэффициенты концентрации напряжений и деформаций Ке, в упругопластической стадии с коэффициентом концентрации напряжений а в упругой стадии. Анализ ряда теоретических, в том числе вычислительных, решений и опытных данных о концентрации деформаций позволил [241 усовершенствовать указанное решение путем введения в правую часть соответствующего выражения функции F (5н, а, тп), отражающей влияние уровня номинальных напряжений Он, отнесенных к пределу текучести, уровня концентрации напряжений а и показателя степени т диаграммы деформирования при степенном упрочнении. Зависимость Нейбера в результате введения этих влияний выражается следующим образом [c.16]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

В работе изучается напряженное состояние брусьев в геометрически нелинейной постановке, но с линейной зависимостью между деформациями и напряжениями, т. е. рассматриваемая задача физически линейная, а геометрически нелинейная. Решение задачи сводится к граничным задачам плоской теории упругости (одной бигармонической функции) в области поперечного сечения бруса. Рассматривается частный пример, когда область поперечного сечения является кругом. В работе приведены. явные выражения компонентов напряжений и деформации для круглого сечения. [c.433]

При использовании достаточно густой сетки можно пренебречь искривлением сетки и считать, что ее узлы соединяются прямыми линиями. В этом случае могут быть использованы треугольные элементы. Построение полей перемещений для треугольных элементов не требует никаких отображений. В случае плосконапряженного состояния (а оно является одним из решающих для пологой оболочки) Б качестве поля перемещений для треугольного элемента используется уравнение плоскости, что соответствует однородному напряженному состоянию [4]. В результате полное поле деформаций и напряжений для всей области аппроксимируется ступенчатой функцией, что влечет за собой использование достаточно густой сетки. Если рассмотреть решение простейшей задачи изгиба консольной балки с использованием треугольных и прямоугольных элементов, то можно убедиться, что треугольный элемент, даже при большом числе неизвестных, дает худший результат, чем прямоугольный [4]. [c.222]

Поскольку поле перемещений внутри каждого элемента однозначно определяется его функциями формы и значениями перемещений в его узлах, после решения системы (1.2) можно вычислить деформации и напряжения на всех элементах. [c.25]

Наиболее перспективен и интересен метод исследования поверхностного растрескивания пластмасс в агрессивных жидких средах, основанный на различном нагружении одного исследуемого образца с помощью переменной деформации изгиба. Особенностью метода является возможность получения на одном образце различных деформаций по длине образца. Это достигается тем, что длинный плоский образец изгибается по образующей эллипса. Поверхностная деформация и напряжение являются функцией радиуса кривизны образующей эллипса и толщины образца. Предел изменения поверхностной относительной деформации и напряжения можно регулировать геометрическими размерами эллипса. [c.48]

Определим вид этой функции. Подставив функцию прогибов (9.1) в формулы (8.5) и (8.6), можно убедиться, что составляющие деформации и напряжений являются линейными функциями параметров Подставляя составляющие деформации и напряжений в юрмулу (3.21), убеждаемся, что потенциальная энергия t/ является квадратичной функцией этих параметров. Подставляя функцию прогибов [c.153]

Так как каждый элемент вектора Ur есть функция от координат X, у, Z для точек области г, конечного элемента, то и элементы вектора г и lOr, т. е. виды деформаций и напряжений Ех, еу,Хху,Ох и т. д., также будут функциями координат х, у, z. Подставив конкретное значение х, у, z для рассматриваемой точки, получим величины всех компонентов напряженно-деформированного состояния в этой точке. Это не должно создавать иллюзии, что решение задачи по МКЭ получается в аналитическом виде основным результатом решения задачи являются дискретные значения узловых перемещений q. Значения же перемещений, деформаций и напряжений в произвольной точке Qr в данном случае нужно рассматривать как своеобразные интерполяционные выражения. Причем закон интерполяции обусловлен системой аппроксимирующих функций фг, т. е. принят на самых ранних этапах расчета. Следует отметить, что метод перемещений обусловливает разрывы напряжений и деформаций на границах конечных элементов.. [c.105]

Для нелинейно-вязкого тела связь между скоростями деформаций и напряжениями можно представить, введя потенциальную функцию Л [27] [c.123]

Получить точное решение обратной задачи, как правило, неизмеримо проще. Действительно, если для области произвольной формы заданы какие-то функции перемещений и = и х, у) п v = v х, у), то по формулам (2.2) и (2.3) легко определить деформации и напряжения. [c.40]

Замечание. Некоторые вариационные принципы теории упругости при разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений впервые были рассмотрены без исследования экстремальных свойств в [0.12]. Функционалы с разрывными функциями напряжений и экстремальные свойства получены авторами. [c.94]

Некоторые дополнительные сведения о связи перемещений с деформациями и напряжений с функциями напряжений [c.147]

Ниже приведены результаты решения стохастической краевой задачи с учетом реального вида моментных функций упругих свойств двухфазных композитов. Построено полное корреляционное приближение задачи в перемещениях, когда при вычислении бинарных ко >-реляционных тензоров деформаций удерживаются только члены бесконечного ряда, содержащие моментные функции упругих свойств с порядком не выше второго. Однако при вычислении бинарных корреляционных тензоров напряжений и условных моментов, характеризующих средние значения и дисперсии полей деформаций и напряжений [c.39]

Нагрев и охлаждение металлов вызывают изменение линейных размеров тела и его объема. Эта зависимость выражается через функцию свободных объемных изменений а, вызванных термическим воздействием и структурными или фазовыми превращениями. Часто эту величину а называют коэффициентом линейного расширения. Значения коэффициентов а в условиях сварки следует определять дилатометрическим измерением. При этом на образце воспроизводят сварочный термический цикл и измеряют свободную температурную деформацию ёсв на незакрепленном образце. Текущее значение коэффициента а представляют как тангенс угла наклона касательной к дилатометрической кривой дг в/дТ. В тех случаях, когда полученная зависимость Вс Т) значительно отклоняется от прямолинейного закона, в расчет можно вводить среднее значение коэффициента ср = tg0 p, определяемое углом наклона прямой линии (рис. 11.6, кривая /). Если мгновенные значения а = дгс /дТ на стадиях нагрева и охлаждения существенно изменяются при изменении температуры, то целесообразно вводить в расчеты сварочных деформаций и напряжений переменные значения а, задавая функции а = а(Т) как для стадии нагрева, так и для стадии охлаждения. 4В [c.413]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

Здесь будет показано, что использование комплексного модуля является удобным методом описания поведения вязко-упругого материала, причем в одних случаях он более удобен, чем обобщенная стандартная модель или модель с обобщенными производными, в других — менее, однако его можно связать с рядом наблюдаемых в экспериментах и до сих пор не обсуждавшихся фактов. Прежде всего следует вспомнить, что, применяя комплексное представление exp(ift)0. мы просто используем удобный математический аппарат, позволяющий комбинировать две функции os at и sin o , каждая из которых одинаково хорошо представляет гармоническое движение во временном пространстве. Если деформации и напряжения изменяются но закону e = eosin или e = eo os( i, соотношение (2.62) можно представить в виде [c.92]

Анализируя различные подходы к решению геометрически и физически нелинейных задач теории оболочек, выбираем вариационный подход. При построении вариационного уравнения термоползучести используем допущения технической теории гибких оболочек, успещ-но применяемой в расчетах упругих пологих оболочек, и физические соотношения в форме связи тензоров скоростей изменения деформаций и напряжений с учетом ползучести материала. Вариационное уравнение смешанного типа, в котором независимому варьированию подвергаются скорости изменения прогиба и функции усилий в срединной поверхности, позволяет использовать для описания реологических свойств материала хорошо обоснованные теории ползучести типа течения и упрочнения. Задачи мгновенного деформирования решаем методом последовательных нагружений, а задачи ползучести — методом шагов по времени. [c.13]

По результатам расчетов и экспериментов на рис. 1.8 построены кривые, иллюстрирующие поцикловую кинетику коэффициентов концентрации деформаций и напряжений Ks определенных по зависимостям, предложенным в работах [8, 9] (кривая 2), по МКЭ (кривая 1) и по измерениям методом муаровых полос (кривая 3). В качестве исходных данных при этих расчетах были использованы экспериментально определенные при однородном напряженном состоянии диаграммы циклического нагружения 5 = / (ё). Для расчетов по МКЭ изоциклические кривые 5 = / (ё) аппроксимировали сплайн-функциями [13], для вычислений по формулам типа (1.10) диаграммы деформирования аппроксимировали степенными функциями типа 5 = [c.21]

Прямоугольный конечный элемент плоского напряженного состояния. Для этого элемента приведены (см. п. 1.3) аппроксимирующие функции (1.20) и иссяедован порядок сходимости, который совпадает с треугольным элементом. Вместе с тем численные эксперименты показывают, что решение, полученное на основе прямоугольного элемента, гораздо ближе к точному, чем на основе треугольного. Это объясняется наличием в аппрокси-, мирующем полиноме для прямоугольного элемента члена ху, что обусловливает переменные значения деформаций и напряжений по области Qr, в то время как у треугольного элемента они постоянны. [c.34]

Приведенные соотношения для реономного варианта структурной модели позволяют числовыми расчетами определять деформации и напряжения в моделируемом материале М при произвольных программах изменения внешних воздействий и любых реальных (полученных из экспериментов) определяюш,их функциях Ф (г, Т) и / (z). При этом введение каких-либо дополнительных допуи ений в принципе не является необходимым. Однако, как будет показано, при использовании некоторых, надлежаш,им образом обоснованных упрош,аюш,их допущений, практически не искажающих количественных соотношений (исключая некоторые специфические программы нагружения), можно построить отчетливую качественную картину, характеризующую закономерности процессов деформирования реономных материалов. При этом будет принята во внимание отмеченная уже близость (по форме) кривых деформирования идеально вязких подэлементов к диаграмме идеального упругопластического материала. [c.47]

В неодносвязном объеме обеспечивается непрерывность тензоров деформации и напряжений и при наличии неоднозначности перемещений, создаваемой с помощью дисторсии Воль-терра, как описано в п. 2.4 гл. II. В приведенной формулировке теорема Кирхгоффа также здесь не имеет места. Она дополняется требованием, чтобы решениям и, и" соответствовали одинаковые циклические постоянные векторы Ь, с (одна и та же дисторсия). Тогда вектор и = и — и" — непрерывная и однозначная функция и приведенное доказательство сохраняется. Более подробно об этом см. 5 этой главы. [c.184]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

В этом параграфе будут рас смотрены обобщения принципа ми нимума потенциальной энергии Сначала напомним рассуждения которые привели к выводу прин ципа минимума потенциальной энергии из принципа виртуальной работы. Мы предполагали (1) можно вывести положительно определенную функцию состояния Л (е, ty, Уху) из соотношений между деформациями и напряжениями (2) компоненты деформаций удовлетворяют уравнениям совместности, т. е. их можно вычислить по формулам (1,5) из и, V, w (3) компоненты перемещений ы, v, w определены так, чтобы удовлетворялись геометрические граничные условия (1.14) (4) объемные и поверхностные нагрузки должны выводиться из потенциальных функций Ф и Ч по формулам (2.10) и (2.11). Если принять эти предположения, то, согласно принципу минимума потенциальной энергии, действительные деформации могут быть получены из условий минимума функционала П, определенного по формуле (2.12). [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...