Теория нулевого приближения

Сначала на примере одномерной задачи теории упругости прослеживается техника осреднения периодических структур. Затем подробно излагаются методы решения статической пространственной задачи теории упругости в перемещениях и в напряжениях для композитов, являющихся периодическими структурами. При этом описывается методика определения эффективных тензоров модулей упругости и упругих податливостей. Указывается схема построения задачи теплопроводности для композитов и определения эффективных тензоров теплопроводности, теплового расширения и удельной теплоемкости. Дается определение регулярной структуры, квазипериодической структуры и описывается метод решения статических пространственных задач теории упругости для композитов, у которых тензор модулей упругости не обладает свойством периодичности по координатам. Разрабатывается теория нулевого приближения , по которой можно, решая задачу только по теории эффективного модуля, найти приближенно микроперемещения и микронапряжения. Рассматриваются условия неидеального контакта, когда один компонент композита может, например, проскальзывать относительно другого. [c.91]

Теория нулевого приближения [c.128]

Теория нулевого приближения для этой задачи дает нам решение в виде [c.129]

Локальные функции первого уровня Мцк ) (в силу того, что в теории нулевого приближения больше никаких уровней не существует, индекс, соответствующий номеру уровня, опущен) определяются из решения задачи Жа(—1) (2.40) [c.129]

Заметим, что если при вычислении перемещений в (6.3) положить а=0, то будут выполняться кинематические граничные условия (6.2), а перемещения по теории нулевого приближения будут совпадать с перемещениями, вычисленными по теории эффективного модуля (без учета микроперемещений). [c.130]

Решение задачи (6.14), (6.15) по теории нулевого приближения имеет вид [c.130]

Если объемные силы обладают потенциалом (3.30), то можно ввести тензор функций напряжений <р (3.31) и для него сформулировать задачу (3.32) — (3.35). Решение этой задачи по теории нулевого приближения имеет вид [c.131]

По теории нулевого приближения тензор напряжений а выражается по формуле (3.31), где тензор <р находится из (6.25), а тензор деформаций е — по формуле [c.132]

Заметим, что во всех трех задачах А, Б, В для их решения по теории нулевого приближения не требовалось больше информации, чем при решении по теории эффективного модуля. Следовательно, зная указанные выше локальные функции, можно, не решая никакой задачи, подправить решение по теории эффективного модуля, с тем чтобы получить микроперемещения и микронапряжения. [c.132]

Точно так же строится теория нулевого приближения для задачи теплопроводности (4.3), (4.4). А именно [c.133]

Теория нулевого приближения для непериодических регулярных структур отличается от теории периодических структур тем, что локальные функции (и, может быть, тензор модулей упругости) зависят от медленных координат. Пусть, например, требуется решить задачу (5.11) — (5.14). Согласно теории нулевого приближения решение этой задачи ищется в виде [c.133]

Напряжения по теории нулевого приближения подсчитываются по формуле [c.134]

Упражнение 6.2. Показать, что если при рассмотрении регулярной структуры можно ввести прямоугольную декартову систему координат (Пт =0), то теория нулевого приближения для регу- [c.134]

В заключение заметим, что напряжения по теории нулевого приближения можно выразить через напряжения по теории эффективного модуля стг/ =тг/ по формуле [c.135]

Аналогично, деформации по теории нулевого приближения выражаются через деформации по теории эффективного модуля по формуле [c.135]

ПО теории нулевого приближения показать, что они эквивалентны условиям (7.11), так как для вектора V выполняется условие [c.137]

Выражения (8.31), (8.30) являются приближенным решением задачи (8.8) — (8.9), если граничные условия удовлетворяются приближенно или в рядах (8.31), (8.30) сохранены только несколько первых членов (например, рассматривается теория нулевого приближения). [c.141]

До сих пор при разыскании решения задачи теории упругости в виде асимптотического разложения по геометрическому параметру а предполагалось, что этот параметр мал (т. е. велико число ячеек периодичности), и решение поставленной задачи считалось тем точнее, чем меньше параметр а. Однако не было дано ответов на вопросы что такое параметр мал , сходится ли когда-нибудь асимптотический ряд, а если сходится, то к решению ли исследуемой задачи , какова точность теории нулевого приближения и от чего она зависит [c.143]

Описывается численный метод для решения пространственных задач теории упругости слоистого композита. Для некоторого слоистого параллелепипеда подсчитываются напряжения по теории нулевого приближения. [c.144]

Заметим, что полученных соотношений (1.11), (1.12), (1.14) достаточно, чтобы решить задачу теории упругости в перемещениях (задачу А) по теории нулевого приближения. Для этого нужно знать решение этой задачи для анизотропного однородного тела. [c.146]

Чтобы найти вектор теплового потока по теории нулевого приближения, найдем тензор теплопроводности нулевого приближения [c.156]

Из (4.38) видно, что для того чтобы решение по теории нулевого приближения отличалось от точного на заданную величину б [c.163]

Для подсчета напряженного состояния по теории нулевого приближения [c.172]

В предыдущем параграфе была дана оценка точности теории нулевого приближения в зависимости от числа ячеек периодичности (параметра а). Эта оценка проводилась на задаче о слоистой трубе под действием равномерного внутреннего давления. [c.176]

Из (6.4) следует, что при 6->-0 отношение сгц , вычисленного по теории эффективного модуля, к точному значению Оц имеет конечное значение, в то время как погрешность теории нулевого приближения (6.5) при 6- -0 стремится к оо. [c.178]

Точное решение задачи о слоистой трубе под действием неосесимметричной нагрузки получено в тригонометрических рядах. Для того чтобы выяснить вопрос о точности теории нулевого приближения, будем аппроксимировать ступенчатую нагрузку, изображенную на рис. 27 конечной суммой членов ряда, в который разлагается эта нагрузка при получении точного решения. Вид нагрузки при некоторых значениях углов р показан на рис. 29, где [c.178]

TOB велико. В этом случае для определения микронапряжений может быть использована теория нулевого приближения. [c.182]

Как следует из предыдущего, для этого достаточно решить данную задачу по теории эффективного модуля, ибо все характеристики теории нулевого приближения для слоистой трубы нам известны. [c.182]

В самом деле, как только станет известен вектор ui=Ыi напряжения теории нулевого приближения подсчитываются по формуле [c.182]

После этого легко находятся напряжения теории нулевого приближения (7.1) [c.184]

Поскольку для слоистых композитов локальные функции первого уровня и эффективные тензоры модулей упругости и упругой податливости определены, решение задачи Д(0) по теории эффективного модуля, т. е. для однородной анизотропной упругой среды, позволяет построить решение по теории нулевого приближения, т. е. получить микроперемещения или микронапряжения. [c.186]

По результатам счета были получены напряжения теории нулевого приближения (8.2). [c.190]

Для решения задачи теории упругости для такой среды (плоская задача теории упругости) по теории нулевого приближения иеобходимо решить соответствующую задачу по теории эффективного модуля [c.210]

Для расчета эффективных модулей в ряде случаев может быть использован метод конечных элементов. Так, для модельного композита, ячейка периодичности которого изображена на рис. 52, были рассчитаны тензор модулей упругости нулевого приближения и эффективный тензор модулей- упругости. По теории нулевого приближения были рассчитаны микронапряжения в модельной задаче о растяжении плоскости, изготовленной из описанного композита, равномерной нагрузкой интенсивности 1 яа бесконечности (в направлении Ха). Были выбраны характеристики композита [c.213]

Получено точное решение плоской задачи теории упругости о полосе с произвольной неоднородностью по одной координате при различных граничных условиях и на этих примерах выясняется вопрос о точности теории нулевого приближения. Рассматриваются произвольные регулярные слоистые структуры, для которых в явном виде выписываются эффективные характеристики. Как частный случай таких структур рассматривается слоистый пустотелый цилиндр. На примере задачи Гадолина (о слоистой трубе под давлением) оценивается зависимость теории нулевого приближения (а также первого и второго) от числа ячеек периодичности. На примере неосесимметричной задачи о трубе под действием локальных нагрузок выясняется характер зависимости точности теории нулевого приближения от степени локализации нагрузки. По теории нулевого приближения подсчитываются на- [c.143]

Теперь достаточйо решить задачу Да(0) для однородного тела, чтобы сразу же выписать решение этой задачи по теории нулевого приближения, т. е. учесть микронапряжения. [c.169]

Пусть теперь, например, известно решение задачи для трубы, сечение которой изображено на рис. 27, по теории эффективного модуля. Если в (4.6.44) положить а=0, то перемещения по теории нулевого приближения совпадают с перемещениями по теории эффективного модуля. Напряжения в теории нулевого приближения подсчитываются по формуле (4.6.57), причем так как величины (4.6.58) и (4.6.59) при = 2 не зависят от быстрой переменной I, то напряжения на площадках г=соп81, вычисленные по теории нулевого приближения, не отличаются от соответствующих напряжений теории эффективного модуля [c.178]

Дело обстоит как раз так, что чем труднее непосредственное применение разностных методов из-за сложности проблемы дискретизации (т. е. чем больше структурных элементов содержит композит), тем лучше работает метод осреднения и проще его реализация (в предыдущих параграфах было установлено, что при большом числ ячеек периодичности теория нулевого приближения достаточно точна)< [c.186]

Для решения задачи теории упругости в перемещениях для однонаправленного волокнистого композита по теории нулевого приближения необходимо решить две задачи Да(0) и Жа(—1). Первая из них совпадает с задачей по теории эффективного мо- [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...