Функция деформации

Считая Wo функцией деформаций ej/, найдем [c.114]

Это выражение должно быть полным дифференциалом, внутренняя энергия есть функция деформации и энтропии [c.67]

Будем называть упругим телом такое тело, у которого напряжение в каждой точке есть однозначная функция деформации [c.236]

Здесь 8Uv— приращение энергии деформации, отнесенное к объему, а Uv — объемная плотность энергии дес рмации. Если напряжение а, известно как функция деформации е , то [c.59]

Таким образом, потенциальная энергия системы определяется с точностью до постоянной. Если предположить, что среда упругая, то, как было показано в 8.4, можно ввести такую функцию деформаций Uv Ul (7"е), Л (Те), h (T e)l. что [c.195]

Если заданы функции перемещений и, и, ю, то все шесть составляющих деформации однозначно определяются уравнениями (1.19). Однако, если мы произвольно зададим шесть функций деформаций, то при определении функций перемещений будет иметь место произвол. [c.31]

Уравнения (1.29) называют уравнениями совместности деформаций или уравнениями неразрывности. Физический смысл этих уравнений состоит в том, что при произвольном задании шести функций деформаций е , е , бг, ху, У без [c.33]

После того как будут найдены функции напряжений, из уравнений обобщенного закона Гука можно определить все деформации, а далее интегрированием функций деформаций (уравнений Коши) можно получить и функции перемещений, удовлетворяющие заданным геометрическим граничным условиям. [c.56]

Райс показал, что поскольку плотность энергии деформации есть квадратичная функция деформации, то J = g. Таким образом, взяв J по контуру, лежащему вне любой нелинейной области, можно получить g во многих задачах, не проводя моделирования сложного нелинейного поведения. Более того, в то время как классическая теория разрушения предполагает, что трещина распространяется линейно, использование /-интеграла не связано с таким ограничением. Эта особенность очень полезна при анализе композитов, в которых направление роста трещины может изменяться. [c.231]

Из уравнения (4.19) можно вычислить и и m как линейную функцию деформаций 6, ф. В этом случае получаем [c.179]

Представление зависимостей, учитывающих совместное влияние нелинейных статических и динамических факторов. Для резиноподобных материалов, на которые действует динамическая нагрузка, накладывающаяся на нелинейное статическое нагружение, в работе [3.2] было предложено представить напряжение в виде произведения функции частоты колебаний со и функции деформации X [c.125]

Полученный результат имеет место при любых элементарных законах для нормального давления как функции деформации и силы трения. [c.170]

Энергия деформации в функционале вычисляется интегрированием по объему произведения функций деформации и напряжения. Для этого необходимо [c.23]

Задача определения напряженно-деформированного состояния твердого тела в общем случае внутренне статически неопределима, и для ее решения необходимо дополнить уравнения равновесия конкретными зависимостями между напряжениями и деформациями. Рассмотрим нелинейно упругое тело, у которого напряжения являются однозначными функциями деформаций, не зависящими от истории деформирования. Частный случай такого тела (линейно упругого) был подробно описан в гл. 1. [c.75]

Для упругого тела можно ввести понятие удельной потенциальной энергии деформации t/o, являющейся функцией деформаций и обладающей тем свойством, что [c.75]

Для линейного упругого тела, как это следует из (3.12), удельная потенциальная энергия должна быть квадратичной функцией деформаций. В общем случае можно записать [c.77]

В отличие от идеальных газов, энергия которых не зависит от объема, энергия идеальных стержней является квадратичной функцией деформации. [c.69]

Как установлено в гл. 5, величина Г представляет собой скорость высвобождения энергии при динамическом процессе распространения трещины только для случая упругих материалов— линейных или нелинейных. Кроме того, для упругих (без диссипации) материалов плотность полной работы напряжений W идентична плотности энергии деформаций и представляет собой однозначную функцию деформаций е,/. Однако в случае, когда материал в окрестности вершины трещины переходит в пластическое состояние, вследствие чего напряжения оказываются конечными, понятие высвобожденной энергии оказывается, вообще говоря, бессодержательным. [c.64]

Рассмотрим сначала старт трещины при квазистатических условиях в упругопластическом материале. До сего времени /-интеграл [46] был наиболее широко используемым параметром, который, в частности, обеспечил достаточно внушительные достижения в исследованиях упругопластического разрушения. В случае зарождающегося автомодельного роста трещины в упругом материале в квазистатических условиях / (который равен ] когда в (2.49) iii и ih принимаются равными нулю) имеет смысл энергии, высвобожденной на единицу прироста трещины. Как и в ситуации с параметром ] из (2.49), не зависящий от пути /, рассматриваемый теперь только как контурный интеграл, может быть определен, если плотность энергии деформации представляет собой однозначную функцию деформации материала, материал однороден, а объемные силы равны нулю. [c.159]

Рис. 3.16. Аппроксимирующие функции деформаций

Введя, таким образом, векторхарактеризующий деформацию, и выяснив его свойства, мы можем вывести выражение для упругой свободной энергии изогнутого стержня. Упругая энергия (отнесенная к единице длины стержня) является квадратичной функцией деформации, т. е. в данном случае квадратичной функцией компонент вектора й. Легко видеть, что в этой квадратичной форме должны отсутствовать члены, пропорциональные кли Действительно, поскольку стержень однороден вдоль [c.99]

В дальнейшем мы не 10льк0 будем рассматривать тела как абсолютно упругие, но будем предполагать, что все деформации не выходят за пределы области пропорциональности, т. е. что для них справедлив закон Гука. Такая область принципиально должна существовать для всякого материала, у которого силы однозначно определяются деформациями. Это скорее математическое утверждение, чем физический закон сила как функция деформации может быть разложена в ряд Тэйлора, и поэтому для малых изменений аргумента всегда можно ограничиться первым членом ряда. Утверждение, заключающееся в законе Гука, состоит в том, что существует достаточно широкая область, в которой силы пропорциональны деформациям, и что вне этой широкой области сразу начинаются резкие отклонения от пропорциональности. Однако о том, как велика эта область, закон Гука ничего не говорит. Этот вопрос должен быть выяснен опытом для каждого конкретного случая. [c.468]

Теория упрочнения позволяет определить напряжение течения (сопротивление деформации) как функцию деформации, скорости деформации и истории развития деформаций во времени. Однако при развитых деформациях, характерных для процессов обработки давлением, учет развития напр 1жений и деформаций во времени затруднен, что заставляет отказаться от использования этой теории при расчетах процессов обработки металлов давлением. [c.484]

Результаты недавней работы Браунрига и Спицига [3931 показывают, однако, что предположение о кумулятивном характере зарождения пор в материалах с большим содержанием частиц не подтверждается. Обнаружено, что при наложении гидростатического давления, задерживающего отслоение частиц, число отслоившихся частиц растет незначительно с ростом деформации до разрушения (рис. 5.8). Такая зависимость от наложенного давления означает, что зарождение пор не носит кумулятивного характера, является непрерывной функцией деформации, а фронт зарождения пор движется через все распределение частиц в зависимости от наложенного гидростатического [c.197]

Для линейных систем справедлив принцип незави симого действия сил или принцип наложения. С математической точки зрения принцип наложения эквивалентен возможности истокообразного представления для функции деформации. Поэтому динамический прогиб ротора при поперечных колебаниях можно выразить в функции приложенных обобщенных сил [c.142]

Из-за наличия упоров силовые ударные характеристики являются нелинейными функциями деформации упругого элемента однако при относительно небольших (по сравнению с величиной рабочего хода) деформациях допустима их линейная апрокснмацня [c.269]

Если уравнения совместности деформаций не удовлетворяются (шесть функций деформации не обращают уравнения совместности в тождество), то деформируемое тело в конечном состоянии уже не заполняет часть пространства наблюдателя сплошным образом. Пространство I , состоящее из точек деформируемого тела, в конечном состоянии не является непрерывным, имеет зазоры , а потому не является евклидовым. Действительно, в этом случае декартову систему координат можно ввести только в пределах каждой отдельной частицы, на которые распалось деформируемое тело, поскольку зазоры между частицами принадлежат пространству наблюдателя, а не пространству . Следовательно, уравнения совместности деформаций можно получить из условия принадлежности начального и конечного состояний сплошной среды (деформируемого тела) евклидовому пространству. [c.83]

Потенциал тензора напряжений. Допустим, что процесс упругой деформации является изотермическим и адиабатическим, а кинетическая энергия деформируемого тела не меняется со временем. Тогда с учетом закона сохранения механической энергии dAn + dAm — dA [формула (V.29) ] закон сохранения энергии (V.33) примет вид dU == 1 Лв, т. е. приращение внутренней энергии тела равно элементарной работе внутренних сил. Или для единицы объема du = da , где и — удельная внутренняя энергия, йв — удельная работа внутренних сил. Поскольку в нашем случае приращение внутренней энергии в сравнении с недеформи-рованным телом равно приращению свободной энергии и зависит поэтому только от деформаций, du, а, следовательно, и das являются полными дифференциалами функции деформаций, т. е. doB = dasfdeij) dsip По формуле (V.27) найдем dAs = = [c.181]

Наиболее общие математически возможные соотношения напряжение — деформация необязательно являются производными от одной скалярной функции. Например, из классической теории упругости хорошо известно, что введение деформационно-энергетической функции уменьшает число независимых упругих констант в соотношениях напряжение—деформация. Ограничения на соотношения напряжение — деформация для изотропных материалов в теории больших конечных деформаций были рассмотрены Лоджем и Вейссенбергом Р]. Некоторые авторы ввели термин гипоупругость (т. е. меньше, чем упругость) для описания упругих материалов, напряжение в которых является производной только от простой деформационно-энергетической функции. По-видимому, весьма маловероятно, чтобы реально существовала упругая среда (в том смысле, что напряжение есть однозначная функция деформации), которая в то же время была бы негипоупругой. В этом случае переменных Т, уц было бы достаточно для описания напряжений, но не термодинамического состояния, что довольно странно. Если это так, то различие между упругими и гипоупругими твердыми телами скорее математическое, нежели физическое. [c.206]

Вернемся к нашему опыту, результаты которого представлены в виде диаграммы на рис. VI. 1. Если мы после того, как будет достигнута точка / на кривой, разгрузим образец, то произойдет некоторая упругая деформация, соответствуюш,ая разности абсцисс в точках / и g, а деформация og будет пластической или остаточной. Затем снова произведем нагружение до величины, соответст-вуюш,ей точке /, при этом мы приблизительно достигнем той же точки (обозначенной на рисунке h) за счет упругой деформации образца с тем же самым модулем упругости, что и при нагружении. Это видно на рисунке, где наклон линии gh совпадает с наклоном линии оа. Таким образом, кривая а — с — Ь — е является геометрическим местом точек всех пределов текучести, соответствующих последовательно возрастающей деформа ц и и Тем не менее, как уже ясно по причинам, с которыми мы уже сталкивались раньше в двух других случаях предел текучести не могкет непосредственно зависеть от деформации. Мы упоминали в параграфе 10 о повышении предела текучести материала при кручении стержня. Совершенно ясно, что это явление не может зависеть от того, закручиваем мы стержень в нанравлении часовой стрелки или против часовой стрелки. Поэтому предел текучести Тт должен быть четной функцией деформации сдвига у, т. е. функцией Y Вспомним (см. главу IV, параграф 5), что величина тт сама вычисляется, как корень квадратный от другой величины предельной упругой потенциальной энергии, которая сама есть четная функция напряжения. Полезно вспомнить и тот факт, что нри повышении предела текучести затрачивается р а б о т а на пластическую, по не полную деформацию. Представим себе, что существует такой гигант, который обладает достаточной силой для того, чтобы месить мягкое железо, так как мы месим мучпое тесто. Дадим ему стальной шар, которому он будет придавать любую форму, а в конце восстановит сферическую форму. Когда он вернет нам шар, деформация его будет нулевой все искажения формы — ноложительные и отрицательные — уничтожат друг друга. Однако, работа деформации будет все время возрастать до определенной величины. Если мы предположим, для того чтобы сделать наши рассуждения более определенными, что деформация представляет собой простые сдвиги, в положительном или отрицательном нанравлении, то работа, выраженная через деформацию, в соответствии [c.338]

Тогда подьштегральное выражение левой части (2.1) представляет собой билинейную функцию деформаций [c.82]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...