Конечный элемент степени свободы

До сих пор методы Лагранжа и Гамильтона излагались применительно к системам, имеющим конечное число степеней свободы. Целью настоящей главы является распространение этих методов на непрерывные системы, в которых число степеней свободы бесконечно велико. Это нетрудно сделать, если выбрана подходящая функция Лагранжа однако в отношении формы параметров, от которых зависят различные функции, имеется известный элемент неожиданности. [c.117]

Поэтому там, где это можно, для упрощения расчета сложных систем отдельные элементы их упрощают, считая их дискретными , наделяя их только одним из отмеченных свойств. Крупные, массивные детали наделяются только инерционными свойствами, т. е. считаются твердыми телами, обладающими только массой и моментом инерции (в электросхемах — индуктивностью). Легко деформируемым деталям с небольшой массой приписывают только упругие свойства (соответственно емкостные). Считают, что абстрагированные линейные силы трения (внешнего или внутреннего в материале) могут возникать между плоскостями без массы и упругости, имеющими лишь относительную скорость перемещения. Дискретные системы имеют конечное число степеней свободы, ограниченный спектр собственных частот и описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. [c.22]

Близкими оказались только первые частоты. Известно, что по МКЭ можно определить только приближенный спектр частот, так как в этом методе упругая система с бесконечным числом степеней свободы заменяется системой с конечным числом степеней свободы. В этом и других примерах показано, что МКЭ удовлетворительно точно определяет только первую частоту, и повышение точности расчета достигается дроблением сетки конечных элементов с соответствующим повышением порядка системы разрешающих уравнений [184]. Действительные частоты меньше частот, определенных по МГЭ, но точность спектра достаточно высока. Ниже, в главе Устойчивость будет показано, что, например, первая частота по МГЭ для систем с неподвижными узлами имеет погрешность не более 2,0 %. [c.151]

Уравиеиия свободных колебаний. В большинстве практических случаев колебания исследуемой реальной механической системы близки к колебаниям некоторой идеализированной линейной системы с эквивалентным вязким трением. Исключение представляют специальные случаи, когда реальная конструкция содержит элементы с резко выраженными нелинейными свойствами. Их следует рассматривать отдельно. Целесообразен подход к реальной распределенной конструкции как к идеализированной системе, с конечным числом степеней свободы, имеющей определенные собственные характеристики, которыми с достаточной точностью определяют колебания исследуемой конструкции, поскольку практически исследуют ограниченное число собственных тонов. Таким образом, если принять характер демпфирования вязким (силы трения пропорциональны скорости), то предметом рассмотрения является линейная система с п степенями свободы, дифференциальное уравнение движения которой можно представить в следующем виде [c.330]

Вынужденные колебания. Решение задачи о вынужденных колебаниях в диссипативных системах с конечным числом степеней свободы может быть получено с использованием нормальных координат недиссипативной системы. В случае, если матрица В является линейной комбинацией матриц А и С, это решение будет точным. При произвольной матрице В придется пренебречь, как указано выше, недиагональными элементами преобразованной матрицы демпфирования. [c.326]

Конструкция называется статически неопределимой, если уравнений равновесия недостаточно для определения всех внутренних сил степень статической неопределимости равна разности между числом неизвестных внутренних сил н числом независимых уравнений равновесия конструкции. Согласно этой терминологии, конструкции можно в принципе рассматривать как многосвязные сплошные тела с бесконечной степенью статической неопределимости. Анализ подобных систем потребовал бы невероятно трудных вычислений. Однако экспериментальные данные н опыт проектирования показали справедливость упрощенного подхода к анализу конструкций, основанного на аппроксимации деформаций элементов конструкции системами с конечным числом степеней свободы. Иначе говоря, конструкции можно рассматривать как тела с конечной степенью статической неопределимости. [c.289]

МКЭ —. один из основных методов решения задач строительной механики, механики деформируемого твердого тела, теплопроводности, гидромеханики и др. Идея метода заключается в аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Например, аппроксимация несущей системы токарного полуавтомата совокупностью простых элементов (тонких пластин и стержней) обеспечивает максимальное приближение P к исходной (рис. 1.1). [c.8]

Изложены основные разделы статистической механики, основы теории надежности и их использование в практике проектирования приборов, машин и конструкций в различных отраслях промышленности. Описана теория случайных колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы и систем с распределенными параметрами. Приведены методы численного решения прикладных задач статистической динамики рассмотрены теория и численные методы определения надежности элементов конструкций, а также нетрадиционные задачи, при решении которых нельзя воспользоваться методами статистической динамики. [c.2]

В предыдущих главах, посвященных случайным колебаниям механических систем с конечным числом степеней свободы, считалось, что упругие элементы (например, стержневые элементы рис. 5.8, 5.9, 5.24, 6.7, 6.10) являются безынерционными. Это, конечно, не совсем так. Это справедливо только в том случае, когда сосредоточенные массы много больше масс упругих элементов. К сожалению, понятие много больше не связано с конкретной числовой оценкой, поэтому является неопределенным и не всегда убедительным. Все зависит от точности, предъявляемой к конечным числовым результатам расчета. Например, на рис. 5.24 была показана сосредоточенная масса т, связанная с пружиной, которая рассматривалась как безмассовая (безынерционная). Но реальная пружина имеет массу, поэтому при колебаниях возникнут силы инерции, которые могут существенно изменить результаты расчета, полученные без их учета. [c.306]

Если в уравнениях движения вполне определенной системы с конечным числом степеней свободы (4) 135 изменить знак элемента времени dt, то уравнения остаются без изменения. Движение, таким образом, обратимо, т. е. если при прохождении системы через некоторое определенное положение скорости q , Qn будут обращены, то система (если силы в одинаковых положениях будут всегда одинаковы) пройдет свой первоначальный путь в противоположном направлении. Важно заметить, что сказанное не всегда имеет место для гиростатической системы именно, те члены в (23), которые линейны относительно ( у, q , меняют свой знак одновременно с 8t, в то время как другие члены не делают этого. Следовательно, в рассматриваемом нами случае движение тел будет необратимо, если только мы не предположим, что циркуляции также меняют свой знак одновременно со скоростями qi, qn ). [c.245]

Каждая сосредоточенная масса — абсолютно твердое тело — в общем случае может иметь шесть степеней свободы три поступательных перемещения в направлении его главных осей и три вращательных перемещения вокруг них. Упругая система с конечным числом степеней свободы представляется как совокупность сосредоточенных масс, связанных между собой упругими элементами (связями), лишенными массы. [c.340]

Выше речь шла всюду об управляемых объектах с конечным числом степеней свободы, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями или уравнениями, обобщающими их с учетом случайных обстоятельств, импульсных б-воздействий и т. д. Здесь будут обсуждаться результаты, относящиеся к задачам об оптимальном управлении объектами с бесконечным числом степеней свободы (так называемые объекты с распределенными параметрами). Эти объекты, содержащие обычно элементы со сплошной средой, описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегро-диффе ренциальными уравнениями и т. д. [c.234]

Следуя известной схеме построения основ аналитической механики несвободных систем с конечным числом степеней свободы, прежде всего надо рассмотреть уравнения связей, ограничивающих движения элементов сплощной среды [c.14]

Все сооружения и машины состоят из частей, каждая из которых обладает как массой, так и жесткостью. Во многих случаях эти части можно путем идеализации представлять как сосредоточенные в точке массы, абсолютно жесткие тела или деформируемые невесомые элементы. Подобные системы обладают конечным числом степеней свободы, поэтому их можно исследовать с помощью методов, описанных в предыдущих главах. Однако некоторые системы можно исследовать и в более строгой постановке, не прибегая к дискретизации аналитической модели. В данной главе будут рассматриваться упругие тела, чьи массовые и деформационные характеристики распределены непрерывным образом. В число элементов конструкций, которые можно рассматривать подобным образом, входят стержни, валы, канаты, балки, простые рамы, кольца, арки, мембраны, пластины, оболочки, а также трехмерные тела. Многие из задач, связанных-с этими элементами, будут здесь обсуждаться подробно, но вопросы, связанные с оболочками и трехмерными телами, рассматриваются как выходящие за рамки этой книги . Очень трудно исследовать с позиций упругих сред такие геометрически сложные конструкции, как каркасы, арки, пластины с вырезами, фюзеляжи самолетов, корпуса судов и т. д. В подобных случаях необходимо использовать дискретные аналитические модели с большим, но конечным числом степеней свободы . [c.322]

Элементы более высокого порядка с наборами узлов, соответствующих треугольнику Паскаля, т. е. с узлами вдоль сторон и внутри элементов, приводят к более общим уравнениям жесткости с большей шириной ленты в соответствующих ленточных матрицах по сравнению с элементами, степени свободы которых сосредоточены лишь в вершинах. Причину этого можно выяснить, добавив совокупность из двух треугольных элементов к конечно-элементной [c.273]

Метод конечных элементов по существу сводится к аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы. Затем между этими элементами каким-либо способом устанавливается взаимосвязь. Подобные способы хорошо известны инженерам, занимающимся исследованием дискретных конструкций или электрических цепей. Популярность метода, несомненно, объясняется простотой его физической интерпретации и математической формы. Использование ЭВМ позволяет получать решения многих сложных технических задач. Метод конечных элементов уже сейчас используется во многих конструкторских организациях в качестве обычного инженерного метода. [c.7]

За последние два десятилетия, метод конечных элементов [20, 23, 24] стал одним из наиболее распространенных методов решения задач механики твердого деформируемого тела на ЭВМ. Слово конечный в данном случае имеет два значения. С одной стороны, оно отражает сеточный характер метода, связанный С разбивкой области на конечные элементы и возможностью предельного перехода при неограниченном уменьшении размера элемента. С другой стороны, указывает, что элемент обладает конечным числом степеней свободы и его состояние описывается конечным числом параметров. В соответствии С этим метод конечных элементов можно рассматривать либо как вариационно-разностный метод решения континуальных задач [23], либо как прием построения и исследования системы фиксированных элементов с конечным числом степеней свободы. Нас будет интересовать только второй из указанных вопросов, главным образом применительно к стержневым системам. [c.3]

Стержневая система является примером механической системы, которую можно представить в виде связанного набора фиксированных элементов с конечным числом степеней свободы. Это позволяет непосредственно применить для ее расчета процедуру метода конечных элементов. Кроме того, стержневой системой удобно пользоваться как простой моделью при рассмотрении систем более сложных элементов. Данная книга посвящена в основном расчету линейно-деформируемых и упругих стержневых систем на основе процедуры метода конечных элементов. [c.3]

Смысл функциональной матрицы и вытекает из (1.5). Она может быть.построена путем последовательного расчета элемента на действие единичных перемещений его концов, примыкающих, к узлам. Для этого один из компонентов я " принимается равным единице, остальные — нулю, и решается задача для элемента на определение вектора и . Последний является соответствующим столбцом матрицы и . Формула (1.5) позволяет заключить, что перемещения и углы поворота в элементе определяются вектором Я перемещений узлов элемента вг. Таким образом, я " можно считать вектором обобщенных перемещений, полностью определяющим всю кинематическую картину на элементе, а сам элемент — системой с конечным числом степеней свободы. Это обстоятельство позволяет свести расчет стержневой системы к решению конечномерной задачи. [c.15]

Сформулированная основная задача состоит в расчете связанного набора (ансамбля) элементов под действием узловой нагрузки, где каждый элемент обладает конечным числом степеней свободы. Получаемое в результате решение является точным для рассматриваемой постановки задачи. Аналогичная задача имеет место при применении известного метода конечных элементов к более сложным деформируемым системам и, [c.18]

Формализация и основанная на ней автоматизация процедуры- расчета методом сил особенно удобны в строительной механике конечных элементов, где могут фигурировать элементы с конечным числом степеней свободы достаточно общего вида. В этом случае механические соображения, широко исполь- [c.146]

ДРУГИЕ ТИПЫ ЭЛЕМЕНТОВ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [c.188]

В предыдущих главах рассматривались элементы стержневого типа и составленные из них стержневые системы. При этом на отдельный элемент налагалось условие по формуле (1.5), которое сводилось к тому, чтобы он обладал конечным числом степеней свободы. Конкретный вид элемента при выводе основных соотношений не играл роли. Таким образом, изложенная выше процедура расчета стержневых систем распространяется и на другие типы элементов, обладающие конечным числом степеней свободы. В результате механика стержневых систем становится частным случаем механики элементов с конечным числом степеней свободы — механики конечных элементов. [c.188]

Будем считать, что элемент вг обладает конечным числом степеней свободы и перемещения его точек зависят линейно от обобщенных узловых перемещений в соответствии с формулой, аналогичной (1.5). Пусть элемент е-г содержит узлы г, /, т,. ... тогда [c.189]

В предыдущих главах рассматривался расчет стержневых систем или систем элементов с конечным числом степеней свободы. Из-за относительной простоты таких систем возникает вопрос об их использовании для аппроксимации и расчета континуальных задач. Существует несколько способов перехода от континуальных задач для деформируемых систем к задачам механики элементов с конечным числом степеней свободы. Они основаны на тех или иных прямых методах математической физики. Сюда, в частности, относится и метод конечных Цементов. Настоящая глава посвящена вопросу построения стержневых схем для задач теории пластин и оболочек, основанному на методе расчленения. Метод расчленения и построение на его основе стержневых схем были предложены в начале 60-х годов автором настоящей книги. В последующем эти вопросы полу- чили развитие. [c.212]

В противоположность этому классическому подходу при использовании метода конечных элементов начинают с изучения свойств элементов конечных размеров. При установлении этих свойств могут использоваться уравнения, описываюш ие поведение континуума, но размеры элементов остаются все время конечными, интегрирование заменяется конечным суммированием, а дифференциальные уравнения в частных производных заменяются, скажем, системами алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. Сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы представляется, таким образом, дискретной моделью, имеющей конечное число степеней свободы. При этом если удовлетворяются некоторые условия полноты, то с увеличением числа конечных элементов и уменьшением их размеров поведение дискретной системы приближается к поведению непрерывной системы — сплошной среды. Существенной особенностью такого подхода является то, что он в принципе применим к доследованию конечных деформаций физически нелинейных анизотропных неоднородных тел любой геометрической формы при произвольных краевых условиях. [c.11]

Картина движения перерабатываемой композиции в поперечном сечении смесителя чрезвычайно сложна. Поэтому для ее исследования и моделирования был использован метод конечных элементов (МКЭ) как один из современных методов, дающих хорошие результаты при численном решении систем дифференциальных уравнений, описывающих различные физические процессы. Сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы представляется как дискретная модель, имеющая конечное число степеней свободы. При этом, если удовлетворяются некоторые условия [c.97]

Другим приёмом, позволяющим свести реальную систему к системе с конечным числом степеней свободы, является метод прямой дискредитации. Чем больше число элементов, на которые разбита система при использовании этого метода, тем ближе расчётная схема к исходной системе. Вместе с тем, если элементы выбраны однотипными, то даже при большом их числе оказывается возможным реализовать расчёт колебаний, используя матричные методы с применением ЭВМ. Примерами таких методов являются метод начальных параметров в форме матриц перехода и метод прогонки. [c.220]

Участки валопровода между массами обычно состоят из частей вала различной формы. Податливость таких участков равняется сумме податливости отдельных частей вала, так как они представляют собой последовательно соединенные упругие элементы. Таким образом, приведение длин сводится к вычислению крутильных податливостей участков вала различных конструктивных форм. Приведенная система является системой с конечным числом степеней свободы, причем число степеней свободы равно числу масс системы. Однако так как одной из степеней свободы этой системы соответствует равномерное вращение всех масс, то число степеней свободы приведенной системы в отношении крутильных колебаний равно г — 1), т. е. равно числу упругих участков системы. [c.142]

Для успешного применения методов инженерного анализа требуется исключительно высокий уровень квалификации. Дело в том, что слишком легко неверно интерпретировать результаты часто только очень тренированный глаз способен отличить верные результаты от ложных. Более того, сама подготовка данных для программного обеспечения инженерного анализа требует особой тщательности. Например, тип и форма элементов, степени свободы, тип анализа — все это влияет на результаты анализа методом конечных элементов (МКЭ). Обычно необходимым предварительным требованием для выполнения анализа по МКЭ является степень магистра по механике. Этот принцип применим и к другим видам усложненного инженерного анализа, таким, как анализ цепей, моделирование электромагнитного поля, кинематика и другие имитации физических систем. [c.147]

На рис. 1.5 приведены два различных способа нумерации узлов произвольной области, разбитой на конечные элементы. При первом способе (рис. 1.5, а) N=14, при втором (рис. 1.5, б) N=5. Ширина полосы для представленных способов при одной степени свободы в узле получается равной соответственно 15 и 6 [c.18]

При использовании аппроксимаций второй степени по совокупности переменных используют тетраэдральные элементы, за степени свободы которых выбирают перемещения вершин и перемещения середин ребер при использовании аппроксимаций степени k по каждой переменной в отдельности в качестве конечных элементов используют параллелепипеды (не обязательно прямоугольные). [c.145]

Различные виды анализа, выполняемые в программных системах первой, второй и третьей групп, основаны на классических инженерных подходах к разработке математических моделей поведения изделия при различных воздействиях. В конечно-элементной постановке задачи моделирования исследуемая область предварительно разбивается на ограниченное множество конечных элементов, связанных между собой конечным числом узлов. Искомыми переменными уравнений математических моделей являются перемещения, повороты, температура, давление, скорость, потенциалы электрических или магнитных полей. Эти переменные определяют степени свободы узлов. Их конкретное содержание зависит от типа (физической природы) элемента, который связан с данным узлом. Например в задачах прочностного анализа для каждого элемента с учетом степеней свободы его узлов могут быть сформированы матрицы масс, жесткости (или теплопроводности) и сопротивления (или удельной теплоемкости). Множество степеней свободы, определяющих состояние всей системы в данный мо- [c.58]

Но когда при колебаниях тела достаточно большое число атомов, заключенных в малом элементе объема, движется одинаково, можно рассматривать движение такого элемента объема как целого, не учитывая того, что он состоит из атомов. Вместе с тем и свойства тела — его плотность и упругость (которые вследствие атомной структуры должны резко изменяться от точки к точке) — внутри малого элемента объема следует считать постоянными, имеющими некоторые средние по элементу объема значения (койечно, если тело неоднородно, то от элемента к элементу свойства его могут постепенно изменяться). Так от дискретной системы с большим, но конечным числом степеней свободы мы переходим к сплошной колебательной системе с бесконечно большим числом степеней свободы. [c.693]

Для математического описания подрельсового основания существует ряд моделей. При статических расчетах пути применяют модель Винклера. Эта модель не обладает распределительной способностью и ие дает возможность учесть инерционные свойства основания. Был предложен ряд моделей основания без указанных недостатков. Наиболее удобной для исследований взаимодействия подвижного состава и пути является модель В. 3. Власова [7J. Эта модель позволяет достаточно просто вырапить перемещения всех точек балки и основания через перемещения точек контакта колес и рельсов. Получается система с конечным числом степеней свободы, равным числу степеней свободы движущегося рельсового экипажа. Если рассматривать четырехосный вагон как систему трех тел, то при тех же обобщенных координатах, которые были взяты выше, дифференциальные уравнения движения имеют вид (9). Новые уравнения отличаются только значениями элементов матриц М, В, С и вектора Q [29]. [c.415]

Для рассмотрения связанных колебаний пространственно-много-мерных механических цепей наиболее удобны общие методы исследования линейных систем с конечным числом степеней свободы [64, 79]. Однако при исследовании довольно распространенных пространственноодномерных механических цепей для инженерных целей более удобными оказываются методы, в которых уравнения движения системы находят непосредственно из топологии рассматриваемой механической цепи на основе законов Кирхгофа. Ниже при рассмотрении простран-ственно-одномерных цепей двухполюсников введены воспринимаемые силы, параметры двухполюсников и их ассоциированные направления, выбираемые одинаковыми для всех элементов относительно принятой системы отсчета. Это позволяет применить для описания и анализа указанных цепей аппарат теории графов и дать систематический и формализованный подход к исследованию механических цепей. [c.31]

Для упрощения исследования стремятся динамическую модель механической системы облегчить, оставляя лишь конечное число степеней свободы. Поэтому выделяются наиболее массивные и наиболее податливые элементы. Массивные элементы заменяются абсолютно твердыми телами, а наиболее подат- [c.837]

Пока что мы рассматривали вопрос о формировании оптического изображения, не учитывая шумов, обусловленных флуктуациями числа фотонов, создающих изображение, или флуктуациями параметров чувствительного элемента (глаза, фотоэлемента, пленки и т. д.). При фотографической регистрации изображения основным источником шума являются флуктуации, обусловленные неоднородной зернистой структурой. Конечно, с точки зрения теории информации для того, чтобы передать определенную плотность информации в битах ) на 1 мм , необходимо учесть не только ширину полосы пропускания (разрешающую способность), но и шумовые ограничения (гранулярность), Это справедливо для всех физических измерений- Каждый реальный физически11 сигнал ограничен во времени, в пространстве и по частоте. Кроме того, при любых измерениях неизбежны шумы. Ограниченной шириной полосы пропускания определяется конечное число степеней свободы формы сигнала, но если бы не было шума, дискретные значения ординаты можно было бы отличать друг от друга с любой степенью точности. [c.165]

В книге строительная механика стержневых систем рассматривается как механика систем элементов, обладающих конечным числом степеней свободы. Используются только основные общие положения механнкн н простейшие понятия линейной алгебры. Расчет стержневых систем включен в единую схему расчета систем, состоящих из различного рода элементов с конечным числом степеней свободы,, что дает возможность унифицировать решение разнообразных задач для деформируемых систем. [c.2]

Гл. 8 относится уже к элементам с конечным числом степеней свободы, отличным от стержней. В ней рассматриваются ли-нейно-деформируемые упругие плоские и пространственные элементы в форме треугольников, прямоугольников, тетраэдров и прямоугольных параллепипедов. Вводятся упругие и динамические характеристики для таких элементов. В результате методы, развитые в предыдущих главах, переносятся на системы элементов с конечным числом степеней свободы общего вида. [c.5]

Будем использовать результаты 3.1, 3.3. Предноложим, что область Q (одно-, дву- или трехмерная) представлена в виде объединения конечных элементов Т , выберем степени свободы (искомые параметры), которые на элементе Tg объединим в вектор так что [c.155]

Qi. Прямоугольный конечный элемент имеет, как это показано на рис. 8.11, двенадцать обобщенных перемещений нлн двенадцать етененей свободы. Перемещения между узловыми точками зададим иолпномом с таким числом произвольных коэффициентов, какое число степеней свободы имеет конечный элемент, т. е. в рассматриваемом примере 12. [c.218]

В методе суперэлементов некоторая часть смежных элементов сводится к одному эквивалентному элементу. Суперэлемент может формироваться из конечных элементов любого типа, однако нужно учитывать, что в этом случае поведение суперэлемента предполагается линейным даже в том случае, когда в его состав введен нелинейный элемент. Аналогичные упрощения можно выполнить и с расчетной моделью - простые участки расчетной модели изделия рассматриваются как домен, на котором создается один конечный суперэлемент. В основе такого подхода лежит матричное уплотнение, с помощью которого такие параметры, как жесткость (проводимость), масса (удельная теплоемкость) и сопротивление приводятся к системе ведущих степеней свободы. Метод супермоделей позволяет сократить время решения. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...